高一數(shù)學函數(shù)知識點歸納

高一數(shù)學函數(shù)知識點歸納高一數(shù)學函數(shù)知識點歸納1高一數(shù)學函數(shù)知識點歸納1、函數(shù)：設(shè)A、B為非空集合，如果按照某個特定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，寫作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x相對應的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合B={f(x)∣x∈A}叫做函數(shù)的值域。2、函數(shù)定義域的解題思路：⑴若x處于分母位置，則分母x不能為0。⑵偶次方根的被開方數(shù)不小于0。⑶對數(shù)式的真數(shù)必須大于0。⑷指數(shù)對數(shù)式的底，不得為1，且必須大于0。⑸指數(shù)為0時，底數(shù)不得為0。⑹如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，那么，它的定義域是各個部分都有意義的x值組成的集合。⑺實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義。3、相同函數(shù)⑴表達式相同：與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。⑵定義域一致，對應法則一致。4、函數(shù)值域的求法⑴觀察法：適用于初等函數(shù)及一些簡單的由初等函數(shù)通過四則運算得到的函數(shù)。⑵圖像法：適用于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù)已經(jīng)分段函數(shù)。⑶配方法：主要用于二次函數(shù)，配方成y=(x-a)2+b的形式。⑷代換法：主要用于由已知值域的函數(shù)推測未知函數(shù)的值域。5、函數(shù)圖像的變換⑴平移變換：在x軸上的變換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進行加減。⑵伸縮變換：在x前加上系數(shù)。⑶對稱變換：高中階段不作要求。6、映射：設(shè)A、B是兩個非空集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于A中的任意儀的元素x，在集合B中都有唯一的確定的y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的映射。⑴集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。⑵集合A中的不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個。⑶不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。7、分段函數(shù)⑴在定義域的不同部分上有不同的解析式表達式。⑵各部分自變量和函數(shù)值的取值范圍不同。⑶分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。8、復合函數(shù)：如果(u∈M)，u=g(x)(x∈A),則，y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)，稱為f、g的復合函數(shù)。高一數(shù)學函數(shù)的性質(zhì)1、函數(shù)的局部性質(zhì)——單調(diào)性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對應定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個變量x1、x2，當x1<x2時，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，D是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。⑴函數(shù)區(qū)間單調(diào)性的判斷思路ⅰ在給出區(qū)間內(nèi)任取x1、x2，則x1、x2∈D，且x1<x2。ⅱ做差值f(x1)-f(x2)，并進行變形和配方，變?yōu)橐子谂袛嗾摰男问?。ⅲ判斷變形后的表達式f(x1)-f(x2)的符號，指出單調(diào)性。⑵復合函數(shù)的單調(diào)性復合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律為“同增異減”;多個函數(shù)的復合函數(shù)，根據(jù)原則“減偶則增，減奇則減”。⑶注意事項函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成并集，如果函數(shù)在區(qū)間A和B上都遞增，則表示為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為A和B，不能表示為A∪B。2、函數(shù)的整體性質(zhì)——奇偶性對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(-x)，則f(x)就為偶函數(shù);對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=-f(x)，則f(x)就為奇函數(shù)。⑴奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)ⅰ無論函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，只要函數(shù)具有奇偶性，該函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點對稱。ⅱ奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。⑵函數(shù)奇偶性判斷思路ⅰ先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不關(guān)于原點對稱，則為非奇非偶函數(shù)。ⅱ確定f(x)和f(-x)的關(guān)系：若f(x)-f(-x)=0，或f(x)/f(-x)=1，則函數(shù)為偶函數(shù);若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/f(-x)=-1，則函數(shù)為奇函數(shù)。3、函數(shù)的最值問題⑴對于二次函數(shù)，利用配方法，將函數(shù)化為y=(x-a)2+b的形式，得出函數(shù)的最大值或最小值。⑵對于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù)，畫出圖像，從圖像中觀察最值。⑶關(guān)于二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題ⅰ判斷二次函數(shù)的頂點是否在所求區(qū)間內(nèi)，若在區(qū)間內(nèi)，則接ⅱ，若不在區(qū)間內(nèi)，則接ⅲ。ⅱ若二次函數(shù)的頂點在所求區(qū)間內(nèi)，則在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a>0時，頂點為最小值，a<0時頂點為最大值;后判斷區(qū)間的兩端點距離頂點的遠近，離頂點遠的端點的函數(shù)值，即為a>0時的最大值或a<0時的最小值。ⅲ若二次函數(shù)的頂點不在所求區(qū)間內(nèi)，則判斷函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性若函數(shù)在[a，b]上遞增，則最小值為f(a)，最大值為f(b);若函數(shù)在[a，b]上遞減，則最小值為f(b)，最大值為f(a)。高中高一數(shù)學函數(shù)知識點歸納2一：函數(shù)及其表示知識點詳解文檔包含函數(shù)的概念、映射、函數(shù)關(guān)系的判斷原則、函數(shù)區(qū)間、函數(shù)的三要素、函數(shù)的定義域、求具體或抽象數(shù)值的函數(shù)值、求函數(shù)值域、函數(shù)的表示方法等1.函數(shù)與映射的區(qū)別：2.求函數(shù)定義域常見的用解析式表示的函數(shù)f(x)的定義域可以歸納如下：①當f(x)為整式時，函數(shù)的定義域為R.②當f(x)為分式時，函數(shù)的定義域為使分式分母不為零的實數(shù)集合。③當f(x)為偶次根式時，函數(shù)的定義域是使被開方數(shù)不小于0的實數(shù)集合。④當f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是使真數(shù)為正、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合。⑤如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合，即求各部分有意義的實數(shù)集合的交集。⑥復合函數(shù)的定義域是復合的各基本的函數(shù)定義域的交集。⑦對于由實際問題的背景確定的函數(shù)，其定義域除上述外，還要受實際問題的制約。3.求函數(shù)值域(1)、觀察法：通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域;(2)、配方法;如果一個函數(shù)是二次函數(shù)或者經(jīng)過換元可以寫成二次函數(shù)的形式，那么將這個函數(shù)的右邊配方，通過自變量的范圍可以求出該函數(shù)的值域;(3)、判別式法：(4)、數(shù)形結(jié)合法;通過觀察函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域;(5)、換元法;以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進而求出值域;(6)、利用函數(shù)的單調(diào)性;如果函數(shù)在給出的定義域區(qū)間上是嚴格單調(diào)的，那么就可以利用端點的函數(shù)值來求出值域;(7)、利用基本不等式：對于一些特殊的分式函數(shù)、高于二次的函數(shù)可以利用重要不等式求出函數(shù)的值域;(8)、最值法：對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域;(9)、反函數(shù)法：如果函數(shù)在其定義域內(nèi)存在反函數(shù)，那么求函數(shù)的值域可以轉(zhuǎn)化為求反函數(shù)的定義域。高一數(shù)學函數(shù)知識點歸納3【(一)、映射、函數(shù)、反函數(shù)】1、對應、映射、函數(shù)三個概念既有共性又有區(qū)別，映射是一種特殊的對應，而函數(shù)又是一種特殊的映射.2、對于函數(shù)的概念，應注意如下幾點：(1)掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素，會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).(2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式，特別是會求分段函數(shù)的解析式.(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的復合函數(shù)，其中g(shù)(x)為內(nèi)函數(shù)，f(u)為外函數(shù).3、求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟：(1)確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域;(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);(3)將x，y對換，得反函數(shù)的習慣表達式y(tǒng)=f-1(x)，并注明定義域.注意①：對于分段函數(shù)的反函數(shù)，先分別求出在各段上的反函數(shù)，然后再合并到一起.②熟悉的應用，求f-1(x0)的值，合理利用這個結(jié)論，可以避免求反函數(shù)的過程，從而簡化運算.【(二)、函數(shù)的解析式與定義域】1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數(shù)是不存在的，因此，要正確地寫出函數(shù)的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時，求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種類型：(1)有時一個函數(shù)來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結(jié)合實際意義考慮;(2)已知一個函數(shù)的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：①分式的分母不得為零;②偶次方根的被開方數(shù)不小于零;③對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;④指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;⑤三角函數(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函數(shù)y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.應注意，一個函數(shù)的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集).(3)已知一個函數(shù)的定義域，求另一個函數(shù)的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍，而已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f(x)的定義域，即g(x)的值域.2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況(1)根據(jù)某實際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時，必須引入合適的變量，根據(jù)數(shù)學的有關(guān)知識尋求函數(shù)的解析式.(2)有時題設(shè)給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可采用待定系數(shù)法.比如函數(shù)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b為待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求出a，b即可.(3)若題設(shè)給出復合函數(shù)f[g(x)]的表達式時，可用換元法求函數(shù)f(x)的表達式，這時必須求出g(x)的值域，這相當于求函數(shù)的定義域.(4)若已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量(如f(-x)，等)，必須根據(jù)已知等式，再構(gòu)造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(x)的表達式.【(三)、函數(shù)的值域與最值】1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則，不論采用何種方法求函數(shù)值域都應先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下：(1)直接法：亦稱觀察法，對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應用不等式的性質(zhì)，直接觀察得出函數(shù)的值域.(2)換元法：運用代數(shù)式或三角換元將所給的復雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當根式里一次式時用代數(shù)換元，當根式里是二次式時，用三角換元.(3)反函數(shù)法：利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)的定義域和值域間的關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得.(4)配方法：對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數(shù)的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.(6)判別式法：把y=f(x)變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當能確定函數(shù)在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調(diào)性，可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域.(8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域.2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.如函數(shù)的值域是(0，16]，值是16，無最小值.再如函數(shù)的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數(shù)無值和最小值，只有在改變函數(shù)定義域后，如x>0時，函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響.3、函數(shù)的最值在實際問題中的應用函數(shù)的最值的應用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”，“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現(xiàn)實問題上，求解時要特別關(guān)注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值.【(四)、函數(shù)的奇偶性】1、函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)f(x)，如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù)).正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要注意兩點：(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)).2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要將函數(shù)化簡或應用定義的等價形式：注意如下結(jié)論的運用：(1)不論f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，f(|x|)總是偶函數(shù);(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù)，那么在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函數(shù)，f(x)·g(x)是偶函數(shù)，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;(3)奇偶函數(shù)的復合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù);(4)奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)。3、有關(guān)奇偶性的幾個性質(zhì)及結(jié)論(1)一個函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱;一個函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱.(2)如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱且函數(shù)值恒為零，那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(3)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立.(4)若f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù)，則奇(偶)函數(shù)在正負對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同(反)的。(5)若f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù)，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù).(6)奇偶性的推廣函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，即y=f(a+x)為偶函數(shù).函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a+x)為奇函數(shù)?！?五)、函數(shù)的單調(diào)性】1、單調(diào)函數(shù)對于函數(shù)f(x)定義在某區(qū)間[a，b]上任意兩點x1，x2，當x1>x2時，都有不等式f(x1)>(或<)f(x2)成立，稱f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增(或遞減);增函數(shù)或減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).對于函數(shù)單調(diào)性的定義的理解，要注意以下三點：(1)單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念.一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性.(2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，因此定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.(3)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，討論單調(diào)性必須在定義域范圍內(nèi).(4)注意定義的兩種等價形式：設(shè)x1、x2∈[a，b]，那么：①在[a、b]上是增函數(shù);在[a、b]上是減函數(shù).②在[a、b]上是增函數(shù).在[a、b]上是減函數(shù).需要指出的是：①的幾何意義是：增(減)函數(shù)圖象上任意兩點(x1，f(x1))、(x2，f(x2))連線的斜率都大于(或小于)零.(5)由于定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數(shù)，且(或x1>x2)，這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”.5、復合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性若u=g(x)在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)性，與y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的單調(diào)性相同，則復合函數(shù)y=f[g(x)]在[a，b]上單調(diào)遞增;否則，單調(diào)遞減.簡稱“同增、異減”.在研究函數(shù)的單調(diào)性時，常需要先將函數(shù)化簡，轉(zhuǎn)化為討論一些熟知函數(shù)的單調(diào)性。因此，掌握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將大大縮短我們的判斷過程.6、證明函數(shù)的單調(diào)性的方法(1)依定義進行證明.其步驟為：①任取x1、x2∈M且x1(或<)f(x2);③根據(jù)定義，得出結(jié)論.(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導.如果f′(x)>0，則f(x)為增函數(shù);如果f′(x)<0，則f(x)