備戰(zhàn) 2022新高考《2021年全國(guó)新高考H卷》真題分析

備戰(zhàn)2022新高考《2021年全國(guó)新高考H卷》真題分析

一、2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題評(píng)析

2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷共6套，由教育部考試中心命制，包括全國(guó)甲卷2套（文、

理科）、全國(guó)乙卷2套（文、理科）、新高考I卷1套（不分文理科）、新高考H卷1

套（不分文理科）。

2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷命題，落實(shí)高考內(nèi)容改革總體要求，貫徹德智體美勞全面

發(fā)展教育方針，聚焦核心素養(yǎng)，突出關(guān)鍵能力考查，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的科學(xué)選拔功能和

育人導(dǎo)向。試題突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視理性思維，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則；

倡導(dǎo)理論聯(lián)系實(shí)際、學(xué)以致用，關(guān)注我國(guó)社會(huì)主義建設(shè)和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的重要成果，通

過(guò)設(shè)計(jì)真實(shí)問(wèn)題情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；穩(wěn)步推進(jìn)改革，科學(xué)把握必備知識(shí)與關(guān)鍵

能力的關(guān)系，科學(xué)把握數(shù)學(xué)題型的開(kāi)放性與數(shù)學(xué)思維的開(kāi)放性，穩(wěn)中求新，體現(xiàn)了基礎(chǔ)

性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求。

1、發(fā)揮學(xué)科特色，彰顯教育功能

2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷命題，堅(jiān)持思想性與科學(xué)性的高度統(tǒng)一，發(fā)揮數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛、

聯(lián)系實(shí)際的學(xué)科特點(diǎn)，命制具有教育意義的試題，以增強(qiáng)考生社會(huì)責(zé)任感，引導(dǎo)考生形

成正確的人生觀、價(jià)值觀、世界觀。試題運(yùn)用我國(guó)社會(huì)主義建設(shè)和科技發(fā)展的重大成就

作為情境，深入挖掘我國(guó)社會(huì)經(jīng)濟(jì)建設(shè)和科技發(fā)展等方面的學(xué)科素材，引導(dǎo)考生關(guān)注我

國(guó)社會(huì)現(xiàn)實(shí)與經(jīng)濟(jì)、科技進(jìn)步與發(fā)展，增強(qiáng)民族自豪感與自信心，增強(qiáng)國(guó)家認(rèn)同，增強(qiáng)

理想信念與愛(ài)國(guó)情懷。

一是關(guān)注科技發(fā)展與進(jìn)步。新高考H卷第4題以我國(guó)航天事業(yè)的重要成果北斗三號(hào)全球

衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為試題情境設(shè)計(jì)立體幾何問(wèn)題，考查考生的空間想象能力和閱讀理解、數(shù)

學(xué)建模的素養(yǎng)。

二是關(guān)注社會(huì)與經(jīng)濟(jì)發(fā)展。乙卷理科第6題以北京冬奧會(huì)志愿者的培訓(xùn)為試題背景,

考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。新高考I卷第18題以“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽為背

景，考查考生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)的理解與應(yīng)用。甲卷文、理科第2題以我國(guó)在脫貧攻

堅(jiān)工作取得全面勝利和農(nóng)村振興為背景，通過(guò)圖表給出某地農(nóng)戶家庭收入情況的抽樣調(diào)

查結(jié)果，以此設(shè)計(jì)問(wèn)題，考查考生分析問(wèn)題和數(shù)據(jù)處理的能力。

三是關(guān)注優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。乙卷理科第9題以魏晉時(shí)期我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽的著作《海島算

經(jīng)》中的測(cè)量方法為背景，考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，讓考生充分感悟到

我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的聰明才智。新高考I卷第16題以我國(guó)傳統(tǒng)文化剪紙藝術(shù)為背景，讓

考生體驗(yàn)探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，重點(diǎn)考查考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題的能力。

2、堅(jiān)持開(kāi)放創(chuàng)新，考查關(guān)鍵能力

《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》提出，構(gòu)建引導(dǎo)考生德智體美勞全面發(fā)展的

考試內(nèi)容體系，改變相對(duì)固化的試題形式，增強(qiáng)試題開(kāi)放性，減少死記硬背和“機(jī)械刷

題”現(xiàn)象。2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷命題積極貫徹《總體方案》要求，加大開(kāi)放題的創(chuàng)

新力度，利用開(kāi)放題考查考生教學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，發(fā)揮數(shù)學(xué)科的選拔功能。

（1）是“舉例問(wèn)題”靈活開(kāi)放。新高考H卷第14題的答案是開(kāi)放的，給不同水平的考

生提供充分發(fā)揮數(shù)學(xué)能力的空間，在考查思維的靈活性方面起到了很好的作用。乙卷義、

理科第16題考查考生的空間想象能力，有多組正確答案，有多種解題方案可供選擇。

（2）是“結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題”適度開(kāi)放。甲卷理科第18題，試題給出部分已知條件，要求

考生根據(jù)試題要求構(gòu)建一個(gè)命題，充分考查考生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)在數(shù)

學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法的教學(xué)中，重視培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，克服“機(jī)械刷題”現(xiàn)象。新高考

H卷第22題第（2）問(wèn)是一道“結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題”，對(duì)考生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)抽象能

力、直觀想象能力等有很深入的考查，體現(xiàn)了素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則。

（3）是“存在問(wèn)題”有序開(kāi)放.新高考n卷第18題基于課程標(biāo)準(zhǔn)，重點(diǎn)考查考生的邏

輯推理能力和運(yùn)算求解題能力，在體現(xiàn)開(kāi)放性的同時(shí)，也考查了考生思維的準(zhǔn)確性與有

序性。新高考I卷第21題第（2）問(wèn)要求考生運(yùn)用解析幾何的基本思想方法分析問(wèn)題和

解決問(wèn)題，考查考生在開(kāi)放的情境中發(fā)現(xiàn)主要矛盾的能力。

3、倡導(dǎo)理論聯(lián)系實(shí)際，學(xué)以致用

2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷命題注重理論聯(lián)系實(shí)際，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，并讓考

生感悟到數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美。理論聯(lián)系實(shí)際的試題，體現(xiàn)現(xiàn)代科技發(fā)展和現(xiàn)代社會(huì)生產(chǎn)等

方面的特點(diǎn)，有機(jī)滲透數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)思想方法

的應(yīng)用，對(duì)選拔與育人具有積極的意義。

（1）是取材真實(shí)情境，解決實(shí)踐問(wèn)題。新高考II卷第21題取材于生命科學(xué)中的真實(shí)問(wèn)

題，考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)

用性、創(chuàng)新性的考查要求。甲卷理科第8題以測(cè)量珠穆朗瑪峰高程的方法之三角

高程測(cè)量法為背景設(shè)計(jì)，要求考生能正確應(yīng)用線線關(guān)系、線面關(guān)系、點(diǎn)面關(guān)系等幾何知

識(shí)構(gòu)建計(jì)算模型，情境真實(shí)，突出理論聯(lián)系實(shí)際，

（2）是關(guān)注青少年身心健康。身心健康是素質(zhì)教育的核心內(nèi)容，在高考評(píng)價(jià)體系的核

心價(jià)值指標(biāo)體系中，包含有健康情感的指標(biāo)，要求考生具有健康意識(shí)，注重增強(qiáng)體質(zhì)，

健全人格，鍛煉意志。2021年高考數(shù)學(xué)試題對(duì)此也有所體現(xiàn)，如甲卷理科第4題（文

科第6題），以社會(huì)普遍關(guān)注的青少年視力問(wèn)題為背景，重點(diǎn)考查考生的數(shù)學(xué)理解能力

和運(yùn)算求解能力。

（3）是關(guān)注現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活。乙卷文、理科第17題，以芯片生產(chǎn)中的刻蝕速率為原型,

設(shè)計(jì)了概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用問(wèn)題，考查考生對(duì)平均數(shù)、方差等知識(shí)的埋解和應(yīng)用，引導(dǎo)考生

樹(shù)立正確的人生觀、價(jià)值觀。新高考H卷第6題，以某物理量的測(cè)量為背景，考查正態(tài)

分布基本知識(shí)的理解與應(yīng)用，引導(dǎo)考生重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用。

總之，2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題很好地落實(shí)了立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)的高

考核心功能，同時(shí)突出數(shù)學(xué)學(xué)和特色，發(fā)揮了高考數(shù)學(xué)科的選拔功能，對(duì)深化中學(xué)數(shù)學(xué)

教學(xué)改革發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用。

二、2021年全國(guó)新高考H卷考點(diǎn)分布表

題號(hào)命題點(diǎn)模塊（題目數(shù)）

1復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算復(fù)數(shù)（共1題）

2集合的交集與補(bǔ)集運(yùn)算集合（共1題）

3拋物線的方程與幾何性質(zhì)解析幾何（共4題）

4球的實(shí)際應(yīng)用立體幾何（共4題）

5棱臺(tái)的體積立體幾何（共4題）

6正態(tài)分布概率統(tǒng)計(jì)（共3題）

7對(duì)數(shù)式大小的比較函數(shù)（共4題）

8函數(shù)的奇偶性函數(shù)（共4題）

9樣本的數(shù)字特征概率與統(tǒng)計(jì)（共3題）

10空間幾何體中的線面位置關(guān)系立體幾何（共4題）

11直線與圓解析幾何（共4題）

12數(shù)列數(shù)列（共2題）

13雙曲線的幾何性質(zhì)解析幾何（共4題）

14函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1.函數(shù)（共4題）

2.導(dǎo)數(shù)（共3題）

15平面向量的數(shù)量積平面向量（共3題）

16導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)（共3題）

17數(shù)列的通項(xiàng)與求和數(shù)列（共2題）

18解三角形三角函數(shù)與解三角形（共題）

19線面位置關(guān)系的證明及空間角的計(jì)算立體幾何（共4題）

20圓與橢圓解析幾何（共4題）

21概率的應(yīng)用1.概率統(tǒng)計(jì)（共3題）

2.不等式（共2題）

22用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、不等式證明1.導(dǎo)數(shù)（共3題）

2.函數(shù)（共4題）

3.不等式（共2題）

三、2021年全國(guó)新高考II卷逐題分析

一、單選題

I.復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】

利用復(fù)數(shù)的除法可化簡(jiǎn)T2-i，從而可求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.

1-31

【詳解】

2_J_=(2-i)(l+3i)=5_i5i=l_H^所以該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為

l-3i10102122)

該點(diǎn)在第一象限，

故選：A.

【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)抽象的

核心素養(yǎng).難度：容易

【點(diǎn)評(píng)】

1、復(fù):數(shù)的概念

2.復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算

3.復(fù)數(shù)的幾何意義

4.化為“+歷(a.。WR)的形式,再結(jié)合相關(guān)定義解答.

2.設(shè)集合U={1,2,3,4,5,6),4={1,3,6},5={2,3,4},則砧例)=()

A.⑶B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3(

【答案】B

【分析】

根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可求4cH5).

【詳解】

由題設(shè)可得，石={1,5,6},故Ac虱8)={1,6},

故選：B.

【命題意圖】本題考查集合的交集與補(bǔ)集運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難

度：容易

【點(diǎn)評(píng)】

1、是集合的并集、交集、補(bǔ)集運(yùn)算，

2、是集合之間的關(guān)系，

3、對(duì)集合化簡(jiǎn)，有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單

明了、易于解決；

4、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和韋恩圖

(Venn).

3.拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)至ij直線y=*+i的距離為正,則。=()

A.1B.2c.2V2D.4

【答案】B

【分析】

首先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得P的道.

【詳解】

拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3o）,

￡-0+1

其至1J直線x—y+i=o的距離：d=i=必

解得：〃=2（，=-6舍去）.

故選：B.

【命題意圖】本題考查拋物線的方程與幾何性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的

核心素養(yǎng).難度：容易.

【點(diǎn)評(píng)】

1、拋物線定義

2、拋物線方程

3、拋物線的基本量

4、利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題更是

如此.

5、常見(jiàn)結(jié)論使用

設(shè)AB是過(guò)拋物線尸=2〃如＞0）焦點(diǎn)F的弦，若則

①制及一〃2.

②弦長(zhǎng)|4用=不+4+〃=點(diǎn)7"為弦AR的傾斜角）.

③以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

④通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長(zhǎng)等于2p,通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦.

4.北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球

靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛(wèi)星

到地球表面的距離）.將地球看作是一個(gè)球心為O,半徑，為6400km的球，其上點(diǎn)4

的緯度是指。4與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步

軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為。，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為S=2;r，（l-cosa）

（單位：km2），則5占地球表面積的百分比約為（）

A.26%R.34%C.42%D.50%

【答案】C

【分析】

由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

【詳解】

由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：

]6400

2乃產(chǎn)(l-cosa)="cosa=-6400+36000^042=42%,

4夕2~2~2?.一

故選：C.

【命題意圖】本題考查與求有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，考查直觀想象與數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).難度：

容易

【點(diǎn)評(píng)】

1、空間想象能力和閱讀理解

2、數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)

3、關(guān)注我國(guó)社會(huì)現(xiàn)實(shí)與經(jīng)濟(jì)、科技進(jìn)步與發(fā)展，增強(qiáng)民族自豪感與自信心，增強(qiáng)國(guó)家認(rèn)同,

增強(qiáng)理想信念與愛(ài)國(guó)情懷.

5.正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則其體積為()

A.20+12&B.286C.乎D.里也

【答案】D

【分析】

由四棱臺(tái)的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式即可得

解.

【詳解】

作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，

因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,

所以該棱臺(tái)的高人=「―(2&_可=&,

下底面面積5,=16,上底面面積S2=4,

所以該棱臺(tái)的體枳丫=9(耳+邑+廊?)=；xV5x(16+4+病)=g及.

故選：D.

【命題意圖】本題考查棱臺(tái)的體積，考菅直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).難度：容易.

【點(diǎn)評(píng)】

1、計(jì)算柱、錐、臺(tái)體的體積,關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高

2、應(yīng)注意充分利用多面體的截面，特別是軸截面,將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解.

3、幾何體中元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系

4、幾何體的表面積與體積、球與幾何體的切接等.

6.某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布7(IO,。?)，下列結(jié)論中不正確的是()

A.。越小，該物理量在一次測(cè)量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.。越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5

C.。越小，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.。越小，該物理量在一次測(cè)量中落在(9910.2)與落在(10,10.3)的概率相等

【答案】D

【分析】

由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】

對(duì)于A,『為數(shù)據(jù)的方差，所以。越小，數(shù)據(jù)在〃=10附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落

在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大，故A正確；

對(duì)于B,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為0.5,故

B正確；

對(duì)于C,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與

小于9.99的概率相等，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.0)的概率與落在(10.2,10.3)的概率不同,

所以一次測(cè)量結(jié)果落在(9910.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

【命題意圖】本題考查正態(tài)分布，考生數(shù)學(xué)建模與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏易

【點(diǎn)評(píng)】

I、正態(tài)曲線與x軸之間的面積為1；

2、正態(tài)曲線關(guān)丁直線4=〃對(duì)稱，從而在關(guān)丁人=〃對(duì)稱的區(qū)間上概點(diǎn)相等；

3、幾個(gè)常用公式：

①P（X<〃）=l-Pg7）：

②P（X〈4-〃）=P（A%+a）（即第（2）條）；

L

③若匕>0,則P（X<fi-b）=-------------.

4、無(wú)論是正態(tài)分布的正向或逆向的應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵都是先確定〃"，然后利用對(duì)稱性，將所

求概率轉(zhuǎn)化到三個(gè)特殊區(qū)間.

7.已知。=log52,^=log83,c=l,則下列判斷正確的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】C

【分析】

對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較。、b與。的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.

【詳解】

a=logs2<log5>/5=—=log82&<logH3=b,即avcvh.

故選：C.

【命題意圖】本題考查數(shù)式大小的比較，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中

點(diǎn)偏易

【點(diǎn)評(píng)】

1、比較兩個(gè)指數(shù)累的大小時(shí),盡量化為同底或同指，當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造同一指

數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時(shí)，常用作商法或利用函

數(shù)圖象比較大??；

2、當(dāng)?shù)讛?shù)、指數(shù)均不同時(shí)，可以利用中間值0,1比較,同時(shí)注意結(jié)合圖像及

特殊值.對(duì)于三個(gè)（或三個(gè)以上）數(shù)的大小比較，則應(yīng)先根據(jù)值的大小對(duì)其分類(lèi),常將其

分為三類(lèi)：一類(lèi)是小于0的數(shù)，一類(lèi)是大于0小于1的數(shù)，一類(lèi)是大于1的數(shù).

3、比較對(duì)數(shù)式大小的類(lèi)型及相應(yīng)的方法：①若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)

性直接進(jìn)行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論.②若底數(shù)不同，真數(shù)相

同，則可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較.③若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0

等中間量進(jìn)行比較.

8.已知函數(shù)/⑴的定義域?yàn)镽,/（x+2）為偶函數(shù)，〃2x+l）為奇函數(shù)，則（）

A./f-^=0B./（-1）=0C./（2）=0D./（4）=0

【答案】B

【分析】

推導(dǎo)出函數(shù)/(“是以4為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出/⑴=0,結(jié)合已知條件可

得出結(jié)論.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(X+2)為偶函數(shù)，則/(2+x)=/(2-x),可得〃x+3)=/(l-X),

因?yàn)楹瘮?shù)〃2x+l)為奇函數(shù)，則”l-2x)=-/(2x+l),所以，/(1-力=一/(工+1),

所以，/(x+3)=—/(x+l)=/(x—l),BP/(x)=/(x+4),

故函數(shù)/(力是以4為周期的周期函數(shù)，

因?yàn)楹瘮?shù)F(x)=/(2x+l)為奇函數(shù)，則尸(0)=/(1)=0,

故/(-1)二一/(1)=0,其它三個(gè)選項(xiàng)未知.

故選：B.

【命題意圖】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等

【點(diǎn)評(píng)】

1、抽象函數(shù)的奇偶性

2、抽象函數(shù)對(duì)稱性

3、抽象函數(shù)周期性

二、多選題

9.下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本小電,…,x”的離散程度的是()

A.樣本內(nèi),修，…，七的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本為,電，…，X”的中位數(shù)

C.樣本不/2,…，毛的極差D.樣本七戶2,…，土的平均數(shù)

【答案】AC

【分析】

考查所給的選項(xiàng)哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)即可確定正確

選項(xiàng).

【詳解】

由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度：

由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；

由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；

故選：AC.

【命題意圖】本題考查樣本的數(shù)字特征，考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難度：容易

【點(diǎn)評(píng)】

1、求解本題的關(guān)鍵是利用標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)、平均數(shù)、極差的概念逐個(gè)進(jìn)行判斷.

2、.標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離

散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不

同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差都是測(cè)晝樣本數(shù)據(jù)離散程度

的工具，但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.

3、.有關(guān)平均數(shù)、方差的一些結(jié)論

2

若數(shù)據(jù)xi,x2,...,xn的平均數(shù)為總方差為s.

22

則axi,ax2,...,axn的平均數(shù)為ax,方差為as.

數(shù)據(jù)mxi+a,mx2+a,...,mxn+a的平均數(shù)為mx+a,方差為m2s2.

10.如圖，在正方體中，。為底面的中心，夕為所在棱的中點(diǎn)，M,N為正方體的頂點(diǎn).則

滿足MN_LO?的是（）

【答案】BC

【分析】

根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷

AD的正誤.

【詳解】

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，

對(duì)于A,如圖（1）所示，連接AC,則MV//AC,

故NPOC（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，

I

在直角三角形OPC,0C=42CP=\,故tan/POC=V2

故尸不成立，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,如圖（2）所示，取NT的中點(diǎn)為Q,連接PQ,0Q,則OQ_LN7\PQ工MN,

由正方體SBCM-NAO7可得SN±平面ANQ7,而OQu平面ANDT,

故SNJ_OQ,而SNC\MN=N,故OQ_L平面SN7M,

又MVu平面SNTM,OQA.MN,而。。022=。，

所以MNJ■平面OPQ,而尸Ou平面。PQ,故MN1OP,故B正確.

對(duì)于C,如圖（3）,連接60,則BD//MN,由B的判斷可得OP_LB￡>,

故OP工MN,故C正確.

對(duì)于D,如圖(4),取4。的中點(diǎn)Q,A8的中點(diǎn)K,連接ACPQQQ,PK,OK,

則AC//MN,

因?yàn)閙=PC,故尸Q//AC,故PQHMN,

所以NQPO或其補(bǔ)角為異面直線PO,MN所成的角，

圖(4)

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,故尸Q=；AC=Ji,OQ=^AO2+A^=7172=^,

22222

PO=y]PK+OK=>/4+T=75?QO<PQ+OP,故NQP°不是直角，

故PO,MN不垂直,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【命題意圖】本題考查線線垂直的判斷，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中

等偏易.

【點(diǎn)評(píng)】

判斷線線垂直

1、一是利用平面幾何知識(shí)判斷

2、二是利用線面垂直的性質(zhì)定理來(lái)判斷.

11.已知直線/⑷+力--=0與圓C：f+y2=,2,點(diǎn)A(a,b),則下列說(shuō)法正確的是

()

A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線/與圓C相切B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相

離

C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線/與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線/上，則直線/與圓C

相切

【答案】ABD

【分析】

轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為"+62,產(chǎn)的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距禽及直

線與圓的位置關(guān)系即可得解.

【詳解】

圓心C(0,0)到直線/的距離d

若點(diǎn)A(a,b)在圓C上,則/+/=/,所以d=

則直線/與圓。相切，故A正確;

若點(diǎn)A(a,b)在圓C內(nèi)，則/+從＜/，所以"=

則直線/與圓C相離，故B正確;

若點(diǎn)4(。⑼在圓C夕卜,則所以d=

則直線/與圓C相交，故c錯(cuò)誤;

若點(diǎn)A(a㈤在直線，上，則/+/一/=0即a2+b2=r2,

所以d=/：，二卜|,直線/與圓C相切，故D正確.

yla2+b2

故選：ABD.

【命題意圖】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查邏輯推理與直觀想象的核心素養(yǎng).難度:

中等.

【點(diǎn)評(píng)】

1、判斷直線與圓的位置關(guān)系，常通過(guò)圓心到直線距離與半徑大小進(jìn)行判斷

2、在處理直線與曲線的位置關(guān)系時(shí),一般用二者聯(lián)立所得方程組的解的情況進(jìn)行判斷(即

代數(shù)方法）

12.設(shè)正整數(shù)〃=%?2°+q?2+…+%?21+%2”,其中qe{0」},記

@（〃）=/+4+?,?+%.則（）

A.ty（2/i）=（y（n）B.0（2〃+3）=口（九）一1

C.刃（8〃+5）=刃（4〃+3）D,⑷（2'-1）=〃

【答案】ACD

【分析】

利用。（〃）的定義可判斷ACD選項(xiàng)的正誤，利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

12<+,

對(duì)于A選項(xiàng)，+…+《，2n=a0?2+?1-2+???+ak_}?2*+-2,

所以，/（2〃）=%+4+~+4=磯〃），A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，取〃=2,2?+3=7=1-20+1-2,+1-22,.一⑺=3,

而2=0?2。+1々，則研2）=1,即磯7）工?（2）+1,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，

3430234A+3

8/1+5=i70-24-￡i1-2+-..+^-2^+5=l-2+l-2+^-2+6i1-2+.-+^-2,

所以，3（8〃+5）=2+/+q+???+&,

23+2,232

4n+3=a0-2+a1-2+...+ar2*+3=l-2°+l-2+?0-2+aI-2+..+ar2**,

所以，°（4〃+3）=2+/+4+…+&,因此，0（8〃+5）=0（4〃+3）,C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng),2”-l=2°+2i+…+2f故。（2"-1）=〃，D選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

【命題意圖】本題考查數(shù)的轉(zhuǎn)化及等比數(shù)列，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度:

難

【點(diǎn)評(píng)】

三、填空題

13.已知雙曲線、-%=l（a>0,力>0）的離心率為2,則該雙曲線的漸近線方程為

【答案】y=±Gx

【分析】

由雙曲線離心率公式可得4

=3,再由漸近線方程即可得解.

【詳解】

因?yàn)殡p曲線1（〃＞0/〉0）的離心率為2,所以e2,所以

"b2

1=3,則該雙曲線的漸近線方程為"土=

a'a

故答案為：y=±y/3x.

【命題意圖】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).難度：容易

【點(diǎn)評(píng)】

1、雙曲線的定義

2、幾何性質(zhì)

3、與其他知識(shí)交匯考查

4、雙曲線的幾何性質(zhì)中重點(diǎn)是漸近線方程和離心率

14.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f（x）：.

①，（七）；②當(dāng)方€（。，+°°）時(shí)，/'（外＞（）；③/'3）是奇函數(shù).

【答案】/（X）=f（答案不唯一，/（"）=/（〃￡"）均滿足）

【分析】

根據(jù)基函數(shù)的性質(zhì)可得所求的/（X）.

【詳解】

取/（x）=a則/（不M2）=（內(nèi)"2），=%：￡=/（%）/（七），滿足①，

廣（力=4/，x＞。時(shí)有ra）＞o,滿足②，

r"）=4d的定義域?yàn)镽,

又，（r）=Y?二—7（力，故廣（力是奇函數(shù)，滿足③.

故答案為：/（x）=f（答案不唯一,f（x）=a（〃wM）均滿足）

【命題意圖】本題考查暴函數(shù)的運(yùn)算法則及奇偶性、單調(diào)性.難度：容易.

【點(diǎn)評(píng)】

本題答案是開(kāi)放的,給不同水平的考生提供充分發(fā)揮數(shù)學(xué)能力的空間，在考查思維的靈活

性方面起到了很好的作用.

15.已知向量〃+B+c=6,眄邛卜14=2,ab+bc+ca=

【答案】

【分析】

由已知可得（3+5+02=0,展開(kāi)化簡(jiǎn)后可得結(jié)果.

【詳解】

由已知可得+5+=a+B~+c~+2(a?B+B?c+c?a)=9+2(a?B+B?e+c?a)=0,

————9

因止匕，ab+bc+ca=—

2

故答案為：

（命題意圖】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度:

中等偏易

【點(diǎn)評(píng)】

1、平面向量的線性運(yùn)算

2、平面向量的數(shù)量積

3、常用平面幾何、不等式等知識(shí)交匯考查.

16.已知函數(shù)/（幻=卜一1|,王<0,工2>°，函數(shù)，幻的圖象在點(diǎn)A（xja））和點(diǎn)

8卜2，/（%））的兩條切線互相垂直，且分別交丁軸于M,N兩點(diǎn)，則儒^取值范圍是

【答案】（0,1）

【分析】

結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得為+占=0,結(jié)合直線方程及兩點(diǎn)間距離公式可得

|AM|=71+e2v'-|x,|,網(wǎng)=，"上歸,化簡(jiǎn)即可得解.

【詳解】

由題意，/（x）=HT=［：丁::,則/'（“）=［一:

e-l,x>0［e,x>0

x

所以點(diǎn)A（R,l-e%）和點(diǎn)B（孫e原-1）,kAM=-e\kBN=1,

所以eXi=-1,用+x,=0,

所以AA7:y-1+8=――(x—x,),M(0,—%+1),

所以|AAf|=Jx；+(eUj2=\!\+e2x'.,|，

同理|8N|=J1+N.同,

所以需號(hào)=得=底…(。。

故答案為：(0,1)

【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度:

中等偏難.

【點(diǎn)評(píng)】

1、求曲線在某點(diǎn)處的切線方程

2、確定曲線的條數(shù)

3、求公切線

4、根據(jù)曲線滿足條件求參數(shù)范圍.

四、解答題

17.記S”是公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若。3=S5M24=S4.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式凡；

(2)求使成立的〃的最小值.

【答案】(1)勺=2〃-6；(2)7.

【分析】

(I)由題意首先求得出的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.

【詳解】

⑴由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：&=56，則：6=5。3，二。3二0，

設(shè)等差數(shù)列的公差為d，從而有：4%=3-1)3+4)=-丸

S4=a｝+a2+ay+a4=(<a?i—2d)+(%—+(生—d)=—2d,

從而：-d?=-2d,由于公差不為零，故：d=2,

數(shù)列的通項(xiàng)公式為：4=4+("-3)d=2〃-6.

(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：q=2—6=-4,貝I］：s“=〃x(—4)+粵RX2=1_5〃，

則不等式句>見(jiàn)即:n2-5n>2n-6,整理可得:(n-l)(n-6)>0,

解得：〃<1或〃>6,又〃為正整數(shù)，故〃的最小值為7.

【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng)，試

題難度：中等偏易.

【點(diǎn)評(píng)】

1、數(shù)列的通項(xiàng)與求和

2、等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)0和公差d,然后由通項(xiàng)公式或前〃項(xiàng)和公

式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解，用方程的思想解決問(wèn)題.

18.在AABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為。、b、c,b=a+l,e=a+2..

(1)若2sinC=3sinA,求AABC的面積;

(2)是否存在正整數(shù)〃，使得AABC為鈍角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，

說(shuō)明理由.

【答案】(1)巫；⑵存在，且。=2.

4

【分析】

(1)由正弦定理可得出勿=%,結(jié)合已知條件求出。的值，進(jìn)一步可求得力、c的值,

利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinB，再利用三角形的面積公式可求

得結(jié)果；

(2)分析可知，角C為鈍角，由cosC<0結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)”的值.

【詳解】

(1)因?yàn)?sinC=3sin4,貝lj2r=2(〃+2)=3〃，則〃=4,故A>=5,c=6,

cosC+b—￡=1，所以，C為銳角，則sinC=，1-cos?C=,

lab88

因此，SA=—6t/?sinC=—x4x5x：

2284

(2)顯然。>h>a,若AA3c為鈍角三角形，則C為鈍角，

212

由余弦定理可得8SC=FCI~+(6/4-1)—(。+2)_—2a-3

2a(a+l)

解得T<a<3,則0<a<3,

由三角形三邊關(guān)系可得a+a+l>a+2,可得。>1,?.?aeZ,故a=2.

【命題意圖】本題考查三角形面積公式、正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與

邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏易.

【點(diǎn)評(píng)】

1、三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系，為求與三角形有關(guān)的量(如面積、外接圓與內(nèi)切圓半徑和面積等)

提供了理論依據(jù)，也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù)

2、主要方法有：化角法，化邊法,面積法，運(yùn)用初等幾何法

3、注意體會(huì)其中蘊(yùn)涵的函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及分類(lèi)與整合思想.

19.在四棱錐Q-A8C。中，底面48CZ)是正方形，若AO=2,QO=Q4=6,QC=3.

(1)證明：平面平面旗CQ；

(2)求二面角8-。。-A的平面角的余弦值.

2

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)

【分析】

(1)取AO的中點(diǎn)為。，連接?？勺C平面A8CO,從而得到面

ABCD.

(2)在平面48CO內(nèi)，過(guò)。作。丁〃8,交8C于T,則07_LA。，建如圖所示的空間

坐標(biāo)系，求出平面QA。、平面BQ。的法向量后可求二面角的余弦值.

【詳解】

Q

(1)取AO的中點(diǎn)為。，連接。0,8.

因?yàn)椤?=Q。，OA=OD,則。O，A￡),

而4。=20=石，故。0=5/^=2.

在正方形ABC。中，因?yàn)锳D=2,故00=1,故C0=石,

因?yàn)镼C=3,故。。2=。。2+0。2故AQOC為宜角三角形月QO1OC,

因?yàn)镺CCAD=O,故Q。，平面A8C￡),

因?yàn)镼Ou平面QAD,故平面QAD_L平面ABCD.

(2)在平面ABCQ內(nèi)，過(guò)。作077/8,交BC于T,則。T_LAD,

結(jié)合(1)中的Q。，平面ABCD,故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.

則及(0,1,0),Q(0,0,2),8(2,-1,0),故苑=(一2,1,2),礪二(一2,2,0).

設(shè)平面QB。的法向量G=(x,y,z),

n-BQ=OIin-2x+y+2z=01

則_即-2/2尸0'取a］，則尸1*=5

n-BD=0

故)?).

而平面勿。的法向量為前=(1,0,0),故8sGW=3j卷.

2

2

二面角8-QO-A的平面角為銳角，故其余弦值為

【命題意圖】本題考查線面位置關(guān)系的證明及二面角的計(jì)算，考查直觀想象及邏輯推理

的核心素養(yǎng)

【點(diǎn)評(píng)】

1.證明線面位置關(guān)系應(yīng)注意的問(wèn)題

⑴線面平行、垂直關(guān)系的證明問(wèn)題的指導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，交

者使用平行、垂直的判定定埋和性質(zhì)定埋；

⑵線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ).證明過(guò)程中要注意利壓平面幾何中的結(jié)論,

如證明平行時(shí)常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時(shí)常用的等腰三角形的中

線等；

（3）證明過(guò)程一定要嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時(shí)要對(duì)照條件、步驟書(shū)寫(xiě)要規(guī)范.

2.利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法

⑴找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的

法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.

⑵找與棱垂直的方向向量法:分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起

點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.

20.已知橢圓。的方程為，+1=1（〃＞匕＞0）,右焦點(diǎn)為尸（夜,0）,且離心率為在.

a2b23

（1）求橢圓。的方程；

（2）設(shè)“，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線MN與曲線工2+、2=從（1＞0）相切.證明：M,

N,F三點(diǎn)共線的充要條件是|MN|=V5.

2

【答案】（1）y+/=l；（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】

（1）由離心率公式可得a=6,進(jìn)而可得從，即可得解；

（2）必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證

|MN|=6；

充分性：設(shè)直線=（奶＜0）,由直線與圓相切得從=公+］,聯(lián)立直線與橢

圓方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得.得^=石，進(jìn)而可得4=±1,即可得解.

【詳解】

（1）由題意，橢圓半焦距c=y5且e=￡=直，所以〃=6，

a3

2

又從=/一/=1,所以橢圓方程為三+/=］；

3

（2）由（1）得，曲線為f+尸=1（］＞0）,

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線MN:x=l,不合題意；

當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)M（百,），J,N（W，M），

必要性：

若M,Mf三點(diǎn)共線，可設(shè)直線〃N:y=&（x—應(yīng)）即心一），一揚(yáng):=0,

由直線MN與曲線x2+y2=[*>o）相切可得J^L=l，解得&=±1,

VF7T

"土("-&)班3

聯(lián)立,f可得4丁-6V5x+3=0，所以可+w=，芭F=一，

一+y2=12'4

3

2

所以|MN|=Vi+TA/(xl+x2)-4x1x2=73,

所以必要性成立；

充分性：設(shè)直線"N：y=H+b,（妙〈0）即奴一丁+。=0,

由直線MV與曲線/+產(chǎn)=]口〉。）相切可得普==],所以從=二+1,

a+i

y=kx+b

聯(lián)立32可得（1+3F）Y+6Mx+勸2-3=0,

~3+y=

2

所以為+%=-3^，%52=3b-3

1?DAC\-3k2

所以|MN|=^/i7F-，(內(nèi)+再)2-4內(nèi)8=凡不小二

V\1If1?

化簡(jiǎn)得3（42-1）=0,所以女=±1,

k=\j^=-l

所以h=-y/2或=&,所以直線MN:y=x-VI或y=-x+點(diǎn)

所以直線MN過(guò)點(diǎn)尸（虛,0）,M：N,廣三點(diǎn)共線，充分性成立；

所以M,N,卜二點(diǎn)共線的充要條件是|MN|=6.

【命題立意】本題考查橢圓的方程及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯

推理的核心素養(yǎng)

【點(diǎn)評(píng)】

解析幾何解答題

1、一般考查曲線的方程

2、考查弦長(zhǎng)、三角形面積、定點(diǎn)、定值及最值問(wèn)題.

3、引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參

數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn).

4、特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn),再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).

5、韋達(dá)定理的應(yīng)用，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重.

21.一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第。代，經(jīng)

過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代....該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是

相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，

P(X=i)=〃j(i=0,l,2,3).

(1)已知PO=04P1=0.3，P2=02〃3=01,求E(X)；

(2)設(shè)〃表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，〃是關(guān)于x的方程：

%+巧％+°2/+2313=1的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)七(X)W1時(shí)，p=l,當(dāng)E(X)>1

時(shí)，P<h

(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義.

【答案】(1)1；(2)見(jiàn)解析；［3)見(jiàn)解析.

【分析】

(1)利用公式計(jì)算可得E(X).

(2)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合/(1)=0及極值點(diǎn)的范圍可得f(x)的最小正零

點(diǎn).

(3)利用期望的意義及根的范10可得相應(yīng)的理解說(shuō)明.

【詳解】

(1)E(X)=0x0.4+1x0.34-2x0.2+3x0.1=1,

(2)?/(x)=+p2:34-(^-l)x+p0,

因?yàn)镻3+P2+P1+P0T，故/(力=「3/+027一(02+外+23)”+為，

若石(X)01,則由+2P2+3「301，故P2+2P3WP0.

2

/'(x)=3P3X+2p2x-(P2+〃o+P3)，

/

因?yàn)閞(0)=-(P2+〃o+P3)v0/(l)=p2+2p3-po<0,

故r(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)用,占，且王〈0<14々，

且4?-00,大)。(孫+00)時(shí),/,(x)>0；時(shí)，yr(x)<0；

故f(x)在(f5)，(W，+8)上為增函數(shù)，在(演,與)上為減函數(shù)，

若w=l,因?yàn)閒(X)在(W，+°°)為增函數(shù)且"1)=0,

而當(dāng)xw(0,占)時(shí)，因?yàn)?(X)在(.式2)上為減函數(shù)，故/(%)>/㈤=/。)=0,

故1為Po+P[X+P，+心/=X的?個(gè)最小正實(shí)根，

若々>1，因?yàn)?⑴=0且在(0,.q)上為減函數(shù)，故1為PO+PIX+PN+PJX=X的一個(gè)

最小正實(shí)根，

綜上，若E(X)M1,則p=L

若E(X)>1,則〃1+2凸+3〃3>1，故〃2+2〃3>%.

此時(shí)/'(0)=-(〃2+%+〃3)V°，'⑴=〃2+2〃3一〃0