2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期期初調(diào)研考前沖刺卷數(shù)學(xué)試題(解析版)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat12頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat14頁(yè)2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期期初調(diào)研考前沖刺卷數(shù)學(xué)試題一、單選題1．聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，我們聽到的聲音中包含著正弦函數(shù)．若某聲音對(duì)應(yīng)的函數(shù)可近似為，則下列敘述正確的是（

）A．為的對(duì)稱軸 B．為的對(duì)稱中心C．在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn) D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【分析】利用知關(guān)于直線對(duì)稱的性質(zhì)驗(yàn)證A；求得可判斷B；化簡(jiǎn)，令，得，進(jìn)而判斷C；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由已知得，即，故不關(guān)于對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，利用二倍角公式知，令得或，即，所以該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，求導(dǎo)，令，由，知，即，利用二次函數(shù)性質(zhì)知，即，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；故選：D.2．已知是定義在上的增函數(shù)，且恒有，則“”是“恒成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】令，由題可求得，得出，因?yàn)楹愠闪⒌葍r(jià)于對(duì)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可判斷.【詳解】令，則．是增函數(shù)且，，對(duì)恒成立．令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；，．是的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查必要不充分條件的判斷，解題的關(guān)鍵是求出，將恒成立等價(jià)于對(duì)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求最值.3．如果對(duì)一切正實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將不等式cos2x≥asinx恒成立轉(zhuǎn)化為asinx+1﹣sin2x恒成立，構(gòu)造函數(shù)f（y），利用基本不等式可求得f（y）min＝3，于是問題轉(zhuǎn)化為asinx﹣sin2x≤2恒成立．通過對(duì)sinx＞0、sinx＜0、sinx＝0三類討論，可求得對(duì)應(yīng)情況下的實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后取其交集即可得到答案．【詳解】解：?實(shí)數(shù)x、y，不等式cos2x≥asinx恒成立?asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y），則asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，∵y＞0，f（y）23（當(dāng)且僅當(dāng)y＝6時(shí)取“＝”），f（y）min＝3；所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx恒成立，令sinx＝t，則0＜t≤1，再令g（t）＝t（0＜t≤1），則a≤g（t）min．由于g′（t）＝10，所以，g（t）＝t在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，因此，g（t）min＝g（1）＝3，所以a≤3；②若sinx＜0，則a≥sinx恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx＝0，0≤2恒成立，故a∈R；綜合①②③，﹣3≤a≤3．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查恒成立問題，將不等式cos2x≥asinx恒成立轉(zhuǎn)化為asinx+1﹣sin2x恒成立是基礎(chǔ)，令f（y），求得f（y）min＝3是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．4．黃金分割〔〕是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系.黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值.應(yīng)用時(shí)一般取，就像圓周率在應(yīng)用時(shí)取一樣.高雅的藝術(shù)殿堂里，自然也留下了黃金數(shù)的足跡.人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的處.藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂器的琴馬放在琴弦的處，能使琴聲更加柔和甜美.黃金矩形的長(zhǎng)寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長(zhǎng)邊為短邊倍.黃金分割率和黃金矩形能夠給畫面帶來美感，令人愉悅.在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它.希臘雅典的巴特農(nóng)神廟就是一個(gè)很好的例子，達(dá)芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形.《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最后的晚餐》同樣也應(yīng)用了該比例布局.2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割，指的是把長(zhǎng)為L(zhǎng)的線段分為兩部分，使其中一部分對(duì)于全部之比，等于另一部分對(duì)于該部分之比，黃金分割比為其實(shí)有關(guān)“黃金分割”，我國(guó)也有記載，雖沒有古希臘的早，但它是我國(guó)數(shù)學(xué)家獨(dú)立創(chuàng)造的.如圖，在矩形中，，相交于點(diǎn)，，，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算和平面向量基本定理即可求解．【詳解】解：，顯然，，所以，，，，故選：D．5．在中，，，過的外心O的直線(不經(jīng)過點(diǎn))分別交線段于，且，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得，外接圓的半徑，設(shè)，，，根據(jù)，結(jié)合和三點(diǎn)共線，得到，進(jìn)而求得，利用基本不等式和函數(shù)的性質(zhì)，即可求得取值范圍.【詳解】因?yàn)橹?，，由余弦定理可得，即，且，設(shè)，則，，所以，同理可得，，解得，所以，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，因?yàn)?，所以，所以，同理可得，所以所以，設(shè)，可得，令，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；又由，，可得，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，所以的取值范圍是.故選：B.6．??是等腰直角三角形（）內(nèi)的點(diǎn)，且滿足，，，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形分別計(jì)算，和的值，再比較大小【詳解】(正弦定理)在的角平分線上,同理可證在的角平分線上,為內(nèi)心如圖所示由知,這三個(gè)角都是且在的平分線上,延長(zhǎng)交于點(diǎn)取,則,得,所以記的周長(zhǎng)為由題意知是的內(nèi)心,內(nèi)切圓半徑所以由,且則所以,即,則在以為直徑的圓上由,且所以,得由,得所以設(shè),在中由余弦定理得解得所以所以故選:C7．已知，且，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，即可得到，，，利用導(dǎo)數(shù)說明在的單調(diào)性，再令，利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性，即可得到，從而得到，即可得解；【詳解】解：令，，所以，，，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以在處取得極大值即最大值，，因?yàn)?，所以，即，所以，故選：D8．已知數(shù)列滿足0，且，則A． B．C． D．【答案】A【分析】先取特殊值進(jìn)行排除，再利用遞推關(guān)系計(jì)算前6項(xiàng)，進(jìn)行猜測(cè)結(jié)論并證明.【詳解】由,取特殊值：，，得：=，=，排除C、D；==，=>；且，，均小于，猜測(cè)，下面由圖說明：當(dāng)時(shí)，由迭代蛛網(wǎng)圖：可得，單調(diào)遞增，此時(shí)不動(dòng)點(diǎn)為，當(dāng)n時(shí)，，則有，.當(dāng)時(shí)，由迭代蛛網(wǎng)圖：可得，當(dāng)n分別為奇數(shù)、偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，且都趨向于不動(dòng)點(diǎn)，由圖像得，，綜上可得，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的運(yùn)算，考查了由特殊到一般的思維方法，考查了分類討論與數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.二、多選題9．若數(shù)列滿足：對(duì)，若，則，稱數(shù)列為“鯉魚躍龍門數(shù)列”.下列數(shù)列是“鯉魚躍龍門數(shù)列”的有（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】舉特例，可說明A不符合題意，同理可說明C不符合題意；依據(jù)“鯉魚躍龍門數(shù)列”的定義，可說明B,D.【詳解】對(duì)于A,不妨取，但，不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,,對(duì)，若,則，則,即，故B正確；對(duì)于C，不妨取，但，不滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,,對(duì)，若,則，則，故，即，故D正確；故選：BD10．下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題中為虛數(shù)單位，說法正確的是（

）A．若關(guān)于x的方程有實(shí)根，則B．復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C．是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，其中p、q為實(shí)數(shù)，則D．已知，，且，則【答案】AC【分析】將方程整理可得求出，再代入計(jì)算可得，即可判斷A，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)解得幾何意義判斷B，根據(jù)虛根成對(duì)原理及韋達(dá)定理計(jì)算即可判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件判斷D.【詳解】解：對(duì)于A：關(guān)于的方程有實(shí)根，即，所以，解得，代入解得，故A正確；對(duì)于B：復(fù)數(shù)滿足，所以，故在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的第四象限，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：是關(guān)于的方程的一個(gè)根，其中、為實(shí)數(shù)，則也是方程的根，所以，所以，故C正確．對(duì)于D：若，且，由，可得，故D錯(cuò)誤；故選：AC．11．中，為邊上的一點(diǎn)，且滿足，若為邊上的一點(diǎn)，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BD【分析】根據(jù)平面向量共線定理可知A錯(cuò)誤；根據(jù)，利用基本不等式可求得最大值，知B正確；由，利用基本不等式可求得最小值，知C錯(cuò)誤；利用基本不等式可得，知D正確.【詳解】對(duì)于A，，三點(diǎn)共線，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），B正確；對(duì)于C，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），C錯(cuò)誤；對(duì)于D，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：一正二定三相等.（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.12．已知函數(shù)，則（

）A．是以為周期的周期函數(shù)B．直線是圖象的一條對(duì)稱軸C．的值域?yàn)镈．在上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】由指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于，因?yàn)?，所以是以為周期的周期函?shù)，故A正確；對(duì)于B，，設(shè)，由，解得，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，的值域?yàn)?，則的值域?yàn)椋蔆正確；對(duì)于D，，由，解得，所以在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確．故選：ACD三、填空題13．若向量，，則與共線的單位向量的坐標(biāo)是______.【答案】和【分析】由題意可求出，則可寫出與共線的單位向量的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)?，，所以，所以與共線的單位向量的坐標(biāo)為和.故答案為：和.14．已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則______.【答案】0【分析】依題意可得關(guān)于直線對(duì)稱、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱且時(shí)周期為的周期函數(shù)，再求出、，即可得解.【詳解】解：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，即，則關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，則，所以是周期為的周期函數(shù)，由，即，所以為奇函數(shù)，又是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，所以，在中，令，所以，所以，在中，令，所以，所以，所以，所以.故答案為：15．已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且有，則的值為________.【答案】12【分析】由得出，令，得出，利用導(dǎo)數(shù)得出的圖象，由零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象求解即可.【詳解】若，則，即當(dāng)時(shí)，可得，不成立，故等式兩邊同除以，得即令，則方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，，令，則，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，如下圖所示函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，由圖可知，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍一般思路：利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，由交點(diǎn)的個(gè)數(shù)結(jié)合圖象得出參數(shù)的范圍.四、雙空題16．設(shè)復(fù)數(shù)，，其中，若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則______，的范圍為______.【答案】

【分析】由已知，根據(jù)給的，先表示出，然后表示出，并根據(jù)數(shù)為實(shí)數(shù)，即可得到等式并根據(jù)的范圍及可求解出；由已知，先表示出，然后直接計(jì)算，并根據(jù)的范圍即可完成求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)閺?fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所以，所?故答案為：；.五、解答題17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用，結(jié)合已知條件，即可容易求得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）中所求，對(duì)數(shù)列進(jìn)行裂項(xiàng)求和，即可求得.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.(2)因?yàn)椋?，故?shù)列的前項(xiàng)和.18．已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求的值；(3)若，求的值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理及同角關(guān)系式即得；（2）根據(jù)同角關(guān)系式化簡(jiǎn)即得；（3）由題可得，然后利用二倍角公式即得.【詳解】(1)因?yàn)?、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得，由，則，所以；(2)；(3)因?yàn)?，所?/p>

，所以，因?yàn)?/p>

，所以，，，所以.19．將形如的符號(hào)稱為二階行列式，現(xiàn)規(guī)定二階行列式的運(yùn)算如下：．已知兩個(gè)不共線的向量，的夾角為，，（其中），且．（1）若為鈍角，試探究與能否垂直？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說明理由；（2）若，當(dāng)時(shí)，求的最小值并求出此時(shí)與的夾角．【答案】（1）不可能垂直；理由見解析；（2）；．【分析】（1）根據(jù)題意得到，求得，即，進(jìn)而化簡(jiǎn)，根據(jù)為鈍角，即可得到結(jié)論；（2）因?yàn)椋蟮?，由向量的模的運(yùn)算公式，求得，得到當(dāng)時(shí)，，得出，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，因?yàn)椋傻茫獾?，即，則，所以，因?yàn)闉殁g角，所以，故，所以與不可能垂直．（2）因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋裕?0．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入兩個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，…，，…是從中抽取的部分項(xiàng)按原來的順序排列組成的一個(gè)等比數(shù)列，，，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，根據(jù)在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入兩個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，求得首項(xiàng)和公差，即可得解；（2）根據(jù)題意可求得等比數(shù)列的公比，從而得到，又，即可求得，從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法即可得出答案.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則，所以，所以；（2）由，，則，，所以等比數(shù)列的公比為3，所以，又因是等差數(shù)列的第項(xiàng)，所以，所以，所以，所以，則，，兩式相減得所以.21．已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求正數(shù)的取值范圍；(2)在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若，，，D、E、H為邊上的點(diǎn).從以下給出的3個(gè)條件中選擇其中1個(gè)條件，并根據(jù)所選擇的條件判斷是否存在滿足條件的三角形？若存在，求出的周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由（若多種選擇作答，則按第一種解答給分）.①邊的中線；②A角的角平分線；③邊的垂線.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）化簡(jiǎn)并求出其中的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，從而得到為它的一個(gè)子區(qū)間；（2）若選擇①，求出，不合題意.故此時(shí)不存在滿足條件的三角形.若選擇②，利用三角形的面積關(guān)系可得，再構(gòu)造出關(guān)于的方程；若選擇③，利用三角形的面積關(guān)系可得故，再構(gòu)造出關(guān)于的方程；【詳解】(1)由題，.令，則.令，則在上單調(diào)遞增.由在上遞增，則，解得.故正數(shù)的取值范圍為.(2)（2）由，，則，則.因?yàn)?，由余弦定理，（?若選擇①，設(shè)，則.因?yàn)镈為中點(diǎn)，有，又，