湖南省長沙市2025屆高三上學期新高考適應性考試數學試題(含解析)

第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省長沙市2025屆高三上學期新高考適應性考試數學試題第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知i是虛數單位，則復數i7的值是(

)A.1 B.?1 C.i D.?i2.若空間中三條不同直線a，b，c滿足a⊥b，且b/?/c，則直線a與直線c必定(

)A.平行 B.相交 C.垂直 D.異面3.已知角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經過點(?14,12A.?14 B.12 C.?4.已知函數f(x)的圖象如下圖所示，則其導函數f′(x)的圖象可能是(

)

A.

B.

C.

D.5.若f(x)=sinx+3cosx在區(qū)間[?θ,θ]A.33 B.32 C.6.在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°.若AD⊥BC于D，則ADA.17AB+67AC B.67.已知拋物線x2=2py(p>0)上兩點A，B滿足|AB|=12，若線段AB的中點M的縱坐標的最小值為4，則p=(

)A.2 B.4 C.5 D.68.已知函數f(x)=4x,x?a,?2log2x,0<x<a.若f(x)在A.[1,+∞) B.[12,+∞) C.(0,1]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.為了解某種新產品的加工情況，并設定工人每天加工該產品的最少數量.相關部門從工廠隨機抽查了100名工人在某天內加工該產品的數量.現將這些觀測數據進行適當分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，則(

)

A.樣本觀測數據的極差不大于50

B.樣本觀測數據落在區(qū)間[65,75)上的頻率為0.025

C.樣本觀測數據的平均數大于中位數

D.若將工人每天加工產品的最少數量設為55，估計80%的工人能完成任務10.已知Sn是等比數列{an}的前n項和，滿足S3，S9A.a2，a5，a8成等比數列 B.a2，a8，a5成等差數列

C.S2，S5，S811.已知函數f(x)的定義域為R，若存在常數T與H，且T>0，使得任意x∈R，恒有f(x+T)=f(x)+H，則稱函數f(x)是廣義周期函數.下列說法正確的有(

)A.一次函數f(x)=kx+b(k,b為常數)是廣義周期函數

B.若f(x)是廣義周期函數，則存在實數k，使得f(x)?kx是周期函數

C.若f(x)有兩個不同的對稱中心，則f(x)是廣義周期函數

D.若f(x)與g(x)都是廣義周期函數，則f(x)+g(x)也是廣義周期函數第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知長為2的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，則線段AB的中點的軌跡方程是

．13.如圖所示，將一個圓心角為120°的扇形紙板OAB剪掉扇形OCD，得到扇環(huán)ABDC，現將扇環(huán)ABDC圍成一個圓臺.若OA=2OC=6，則該圓臺的體積為

．

14.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且外接圓半徑為R=5，則abca2+b2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)甲同學計劃去參觀某景點，但門票需在網上預約.該同學從第一天開始，每天在規(guī)定的預約時間段開始預約，若預約成功，便停止預約;若連續(xù)預約三天都沒成功，則放棄預約.假設該同學每天預約門票成功的概率均為0.7，(1)求甲同學到第三天才預約成功的概率;(2)記X為甲同學預約門票的天數，求X的分布列和期望E(X)．16.(本小題15分)如圖，在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，AB=AD=2，∠A′AB=∠A′AD，且A′B⊥AC，設AC與BD的交于點O．(1)證明：A′O⊥平面ABCD;(2)若AA′=3，且∠BAD=60°，求直線A′B與平面A′B′CD17.(本小題15分)已知函數f(x)=eaxln(1)若y=f(x)在點(1,0)處的切線與兩坐標軸所圍成三角形的面積為e2，求a的值(2)若x=x0是f(x)的極小值點，證明：f(18.(本小題17分)已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的方程;(2)直線l與橢圓C交于M，N兩點，點P為△AMN的外心．(ⅰ)若△AMN為等邊三角形，求點P的坐標;(ⅱ)若點P在直線x=?13上，求點A到直線l19.(本小題17分)已知無窮數列{an}滿足an=qn(q≠0).對于集合T?N?，定義(1)若q=2，ST=26(2)若q=2，集合A，B?N?，且SA+(3)若0<q<12，集合A1，A2，?，An?N?，對任意的i，j∈N?，答案和解析1.D

【解析】解：i7=i4·2.C

【解析】解：根據直線平行的性質可知，

若a⊥b，b/?/c，則a垂直c，

a與c可能相交，也可能異面，只有C正確．

故選C．3.C

【解析】解：∵r=(?14)2+(12)4.B

【解析】解：由圖象知，f(x)在R上單調遞增，

根據導函數與原函數的關系，可知f′(x)≥0，排除AD;

f(x)的圖象在x=0時趨于平緩，所以f′(0)=0，排除C．

故選：B．5.A

【解析】解：f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3)，

由?π2+2kπ?x+π3?6.B

【解析】解：設AD=λAB+μAC，

∵AB=2，AC=3，∠BAC=60°，

∴AB?AC=3，

又∵AD⊥BC，BC=AC?AB，

∴AD?BC=0，

即(λAB+μAC)?(?AB+AC)=0，

∴?λ7.B

【解析】解：如圖，過A，B，M分別作準線的垂線，垂足為A′，B′，M′，

則2|MM′|=|AA′|+|BB′|=|AF|+|BF|≥|AB|，即yM+p2≥6，有yM≥6?p2．

當直線AB過焦點F時，(y8.D

【解析】解：由題意，當x≥a時，f(x)=4x，f(x)單調遞增，在[a,+∞)上的最小值為4a，

當0<x<a時，f(x)=?2log2x則由已知得?2log2a?4a

，即4a+2log2a?0

，

設?(a)=4a+2log2a

，

9.ACD

【解析】解：對于A，據頻率分布直方圖可得最小數值不小于45，而最大數值小于95，所以極差不大于50，A正確；

對于B，樣本觀測數據落在區(qū)間[65,75)上的頻率為0.025×10=0.25，B錯誤；

對于C，觀測數據的平均數為50×10×0.02+60×10×0.04+70×10×0.025+80×10×0.01+90×10×0.005=64，

設觀測數據的中位數為x，則10×0.02+(x?55)×0.04=0.5，解得x=62.5<64，C正確；

對于D，據頻率分布直方圖加工產品的數量[45,55)的頻率為0.2，則估計80%的工人能完成任務，D正確．

故選：ACD．10.ABD

【解析】解：由S3，S9，S6成等差數列，可知公比q≠1，且2S9=S3+S6，

即2?a1(1?q9)1?q=a1(1?q3)1?q+a1(1?q6)1?q，解得q3=?12．

易知a2，a5，a8成等比數列;

又a2=a1q，a511.ABC

【解析】解：對于A，f(x+T)=k(x+T)+b=kx+b+kT=f(x)+kT，

所以一次函數f(x)=kx+b(k,b為常數)是廣義周期函數，A正確；

對于B，若f(x)是廣義周期函數，則f(x+T)=f(x)+H，

令H=kT，則f(x+T)=f(x)+kT，所以f(x+T)?k(x+T)=f(x)?kx，

所以f(x)?kx是周期函數，B正確；

對于C，設f(x)有兩個對稱中心(a,b)，(m,n)，且m>a，

則f(2a?x)+f(x)=2b，f(2m?x)+f(x)=2n，

所以f(2m?2a+x)=f[2m?(2a?x)]=2n?f(2a?x)=2n?[2b?f(x)]=f(x)+2n?2b，

令T=2m?2a，H=2n?2b，所以f(x)是廣義周期函數，C正確；

對于D，若f(x)與g(x)都是廣義周期函數，只有兩個T的比值是有理數時f(x)+g(x)才是廣義周期函數．

例如f(x)=sinπx，g(x)=sinx是廣義周期函數，f(x)+g(x)不是廣義周期函數．

證明：設f(x)=sinπx，g(x)=sinx，有f(x+2)=f(x)，g(x+2π)=g(x)，

則f(x)與g(x)都是廣義周期函數，

但F(x)=f(x)+g(x)=sinπx+sinx不是廣義周期函數．

理由：假設存在T>0，使得F(x+T)=F(x)+H，

即sinπx+sinx+H=sinπ(x+T)+sin(x+T)，

有H=sinπ(x+T)?sinπx+sin(x+T)?sinx.

令x=0，則H=sinπT+sinT?①;

令x=π，則H=sin(π2+πT)?12.x2【解析】解：設線段AB的中點為P(x,y)，則A(2x,0)，B(0,2y)，

由題意知|AB|=2，

即AB=(2x)2+(2y)2=2，

整理得：x2+y2=1，

即13.14【解析】解：已知圓心角∠AOB=120°=2π3，OA=6，OC=3，

對于扇形OAB，弧長l1=α×OA=2π3×6=4π，對于扇形OCD，弧長l2=α×OC=2π3×3=2π，

設圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，因為扇環(huán)圍成圓臺后，上底面圓周長C1=l2=2πr，可得r=1;下底面圓周長C2=l114.5【解析】解：設a2+b2+2c2=t，

由余弦定理可得a2+b2?c2=2abcosC，

所以2a2+2b2?2c2=4abcosC，

所以3a2+b2=t+4abcosC．

因為a2+b2?2ab，

所以t+4abcosC?6ab，

即ab?t6?4cosC，當且僅當a=b時等號成立．

因為△ABC的外接圓半徑為R=5，15.解：(1)設“甲同學到第三天才預約成功”為事件A，

則P(A)=(1?0.7)×(1?0.7)×0.7=0.063;

(2)因為X為甲同學預約門票的天數，

所以X的取值可以是1，2，3，

則P(X=1)=0.7，

P(X=2)=(1?0.7)×0.7=0.21，

P(X=3)=(1?0.7)×(1?0.7)×(0.7+0.3)=0.09，

所以X的分布列為X123P0.70.210.09期望E(X)=1×0.7+2×0.21+3×0.09=1.39．

16.解：(1)證明：∵在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，AB=AD=2，

∴底面ABCD是邊長為2的菱形，

∴BD⊥AC，

∵A′B⊥AC，A′B∩BD=B，A′B,BD?平面A′BD，

∴AC⊥平面A′BD，

∵A′O?平面A′BD，

∴AC⊥A′O，

∵AB=AD，∠A′AB=∠A′AD，A′A=A′A，

∴△A′AB≌△A′AD，

∴A′D=A′B，

∵點O為線段BD中點，

∴A′O⊥BD，

∵AC∩BD=O，AC，BD都在平面ABCD上，

∴A′O⊥平面ABCD；

(2)由(1)以O為坐標原點，OB，OC，OA′所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

因為AB=AD=2，AA′=3，且∠BAD=60°，

則B(1,0,0)，C(0,3,0)，D(?1,0,0)，A′(0,0,6)，有A′B=(1,0,?6)，DC=(1,3,0)，DA′=(1,0,6).

設平面A′B′CD的法向量n=(x,y,z)17.解：(1)f′(x)=aeaxlnx+eaxx=eax(alnx+1x)，

f′(1)=aealn1+ea1=ea，

所以切線方程為y?0=ea(x?1)，即y=ea(x?1)，

當x=0時，y=?ea;當y=0時，x=1；

已知切線與兩坐標軸所圍成三角形的面積為e2，則12×1×ea=e2，即ea=e，

解得a=1；

(2)令φ(x)=alnx+1x，x>0，則φ′(x)=ax?1x2=ax?1x2，

由φ′(x)=0，解得x=1a，

當x∈(0,1a)時，φ′(x)<0，則φ(x)單調遞減;

當x∈(1a,+∞)時，φ′(x)>0，則φ(x)單調遞增；

可得φ(x)min=φ(1a)=aln1a+a=a(1?lna)．

若0<a≤e，18.解：(1)因為橢圓C的焦距為23，且離心率為32，

所以c=3ca=32，解得c=3a=2,

因此b2=a2?c2=4?3=1，

所以橢圓C的方程為：x24+y2=1．

(2)(ⅰ)因為直線l與橢圓C交于M、N兩點，

點A為橢圓C的左頂點，即A?2,0，

因為△AMN為等邊三角形，

所以由橢圓的對稱性知：直線l與x軸垂直，

因此設Mx0,1?x024?2<x0<2，Nx0,?1?x024，

所以1?x024x0+2=33，解得x0=?2(舍去)或x0=?27．

方法1:由等邊三角形的重心與外心重合，

可知xP=13(xA+xM+xN)=13[?2+2×(?27)]=?67，則點P的坐標為(?67,0)．

方法2:由|AP|=|PM|，即|xP?(?2)|=xP+272+(4