2024-2025學(xué)年上海交大附中高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷（2025.01）（含答案）

參考答案一、填空題1.1；2.2；3.；4.；5.；6.2；7.；8.-2；9.；10.；11.6；12.；11.已知是雙曲線的右焦點，動點在雙曲線的左支上，點為圓：上一動點，則的最小值為______．

【答案】6【解析】雙曲線，圓的圓心為，半徑，在雙曲線的左支上，，所以，

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，的最小值是，

所以的最小值是12．已知實系數(shù)一元二次方程的兩個根滿足，，其中i是虛數(shù)單位，則的取值范圍是______．【答案】【解析】①若方程有兩個虛數(shù)根，設(shè)，

所以，所以．

②若方程有兩個實數(shù)根，同理有，綜上，的取值范圍是二、選擇題13.C；14.A；15.D；16.D15.設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）．

A．B．C．D．【答案】D【解析】,故選D16．已知，把函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，得到的函數(shù)圖像恰好關(guān)于軸對稱．定義：為符合的所有的和，則的值為

A．-34B．-32C．62D．66【答案】D【解析】，把函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，得到，因為關(guān)于軸對稱，即為偶函數(shù)，則，則．令，得．所以．選D．三、解答題17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）20.已知橢圓的離心率，左頂點為，下頂點為，是線段的中點，其中．

（1）求橢圓方程；

（2）記橢圓的左右焦點分別為為橢圓上的點，若的面積為的面積為，若，求的取值范圍；

（3）過點的動直線與橢圓有兩個交點，在軸上是否存在點使得恒成立．若存在，求出這個點縱坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由。【答案】（1）（2）（3）見解析【解析】（1）因為橢圓的離心率為，

所以，即，其中為半焦距，，則，所以，，解得，故，故橢圓方程為

（2）設(shè)，由，有，故而，所以，

所以．又，所以的取值范圍是．

（3）①若過點的動直線的斜率不存在，則或，此時．

②若過點的動直線的所率存在，則可設(shè)該直線方程為：，設(shè)，，化簡整理可得，

故，

故恒成立，故，解得，若恒成立．結(jié)合①②可知，．21.已知函數(shù)的定義域為．定義：若存在實數(shù)使得對任意恒成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)。

（1）冪函數(shù)是否具有性質(zhì)，說明理由；

（2）設(shè)，若函數(shù)具有性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，集合函數(shù)具有性質(zhì)．求集合在坐標平面上對應(yīng)的區(qū)域的面積．

（4）（挑戰(zhàn)題）設(shè)，集合函數(shù)具有性質(zhì)．為集合在坐標平面上對應(yīng)的區(qū)域邊界上的點，且不在軸上，求的最小值．【答案】（1）見解析（2）（3）16（4）【解析】（1）任取，有恒成立，所以冪函數(shù)是否具有性質(zhì).

（2）因為函數(shù)具有性質(zhì)，故對任意，

有恒成立．由，得，

故，所以，所以，

又令，

故對任意恒成立，

所以且，所以且，

所以，實數(shù)的取值范圍是

（3）函數(shù)具為奇函數(shù)，且在上為嚴格增函數(shù)，在上為嚴格減函數(shù)，在上為嚴格增函數(shù)．當時，函數(shù)具有性質(zhì)，

僅需考慮對任意恒成立．

有，即對任意恒成立．所以．當時，同理有

所以，集合在坐標平面上的對應(yīng)的區(qū)域的面積為．

（4），函數(shù)具為奇函數(shù)，且在上為嚴格增函數(shù)，在上為嚴格減函數(shù)，在上為嚴格增函數(shù)．當時，