2022年北京市十四中初三（上）期中數學試卷及答案

第1頁/共1頁2022北京十四中初三（上）期中數學一、選擇題：（本題共20分，每小題2分）1.下列關于防范“新冠肺炎”的標志中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A.戴口罩講衛(wèi)生 B.勤洗手勤通風C.有癥狀早就醫(yī) D.少出門少聚集2.拋物線的頂點坐標是（）A B. C. D.3.一元二次方程的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根C.沒有實數根D.無法判斷4.若方程是關于x的一元二次方程，則m的值為（）．A.1 B. C.±1 D.不存在5.點，在二次函數的圖象上，與的大小關系是（）A. B. C. D.無法比較6.如圖，拋物線與x軸交于點，對稱軸為，則下列結論中正確的是（）．A.B.C.當時，y隨x的增大而增大D.是一元二次方程的一個根7.不透明的袋子中裝有兩個小球，上面分別寫著“1”，“2”，除數字外兩個小球無其他差別．從中隨機摸出一個小球，記錄其數字，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，記錄其數字，那么兩次記錄的數字之和為3的概率是（）A. B. C. D.8.如圖，直線與軸，軸分別交于，把繞點順時針旋轉后得到，則點的坐標是（）A. B. C. D.9.如圖，在正方形網格中，△MPN繞某一點旋轉某一角度得到△M′P′N′，則旋轉中心可能是（）A點A B.點B C.點C D.點D10.一元二次方程的兩個實根分別為，且，則（）A. B. C. D.二、填空題：（本題共16分，每小題2分）11.已知是二次函數，則常數m的取值范圍是___________．12.二次函數的圖象與軸只有一個公共點，則的值為________．13.將二次函數用配方法化成的形式為y=__________．14.二次函數，當時，y的取值范圍是___________．15.新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來越受消費者喜愛，各種品牌的新能源汽車相繼投放市場，我國新能源汽車近幾年銷售量全球第一，年某款新能源車銷售量為萬輛，銷售量逐年增加，到年銷售量為萬輛，則這款新能源汽車的年平均增長率是___________．16.如下圖為某二次函數的部分圖象，有如下四個結論：①此二次函數表達式為；②若點在這個二次函數圖象上，則；③該二次函數圖象與x軸的另一個交點為；④當時，；所有正確結論的序號是___________．17.廊橋是我國古老的文化遺產．如圖，是某座拋物線型的廊橋示意圖，已知拋物線的函數表達式為，為保護廊橋的安全，在該拋物線上距水面AB高為8米的點E、F處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離EF=________．18.對某一個函數給出如下定義：如果存在實數M，對于任意的函數值y，都滿足，那么稱這個函數是有上界函數．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數的上確界．例如，圖中的函數是有上界函數，其上確界是2．如果函數是以3為上確界的有上界函數，則實數___________．三、解答題：（本題共64分，第19題，每小題3分，第20題4分，第21~23題每小題5分，第24題7分，第25~26題每小題6分，第27~28題每小題7分）19.解關于x的方程：（1）（2）（3）（4）20.已知是方程的一個根，求代數式的值．21.己知：二次函數中的x和y滿足下表：x…012345…y…m10n…（1）根據表格，這個二次函數的對稱軸為___________，___________；（2）求出這個二次函數的解析式以及n的值．22.在下列網格圖中，每個小正方形的邊長均為1個單位在中，．（1）試在圖中作出以A為旋轉中心，沿順時針方向旋轉后的圖形；（2）若點B的坐標為，試在圖中畫出直角坐標系，則A點坐標為___________，C點坐標為___________．（3）若點是點C關于原點的對稱點，則的坐標為___________．23.已知關于的方程．（1）求證：無論取任何實數時，該方程總有兩個實數根；（2）如果該方程的兩個實數根均為正數，求的最小整數值．24.己知二次函數．（1）二次函數圖像的頂點坐標___________；與x軸的兩交點為A、B，且點A在點B的左側，則A點坐標為___________，B點坐標為___________；（2）在平面直角坐標系中，畫出該二次函數的圖像；x……y……（3）若拋物線上有一點P，使得的面積為3，則點P的坐標為___________．25.如圖，D是等邊三角形ABC內一點，將線段AD繞點A順時針旋轉60°，得到線段AE，連接CD，BE,（1）求證：∠AEB=∠ADC；（2）連接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度數．26.平面直角坐標系xOy中，已知拋物線．（1）當時，①拋物線的對稱軸為直線______，頂點的縱坐標為______（用含n的代數式表示）；②若點，都在拋物線上，且，則的取值范圍______；（2）已知點，將點P向右平移4個單位長度，得到點Q．當時，若拋物線與線段PQ恰有一個公共點，結合函數圖象，求m的取值范圍．27.四邊形是正方形，將線段繞點C逆時針旋轉（），得到線段，，連接，過點B作交的延長線于點F，連接．（1）依題意補全圖1；（2）___________；（3）連接，用等式表示線段與的數量關系，并證明．28.對于平面直角坐標系中第一象限內的點和圖形，給出如下定義：過點作軸和軸的垂線，垂足分別為M，N，若圖形中的任意一點滿足且，則稱四邊形是圖形的一個覆蓋，點為這個覆蓋的一個特征點．例：已知，，則點為線段的一個覆蓋的特征點．（1）已知：，，點，①在，，中，是覆蓋特征點的為___________；②若在一次函數圖像上存在的覆蓋的特征點，求的取值范圍．（2）以點D（3，4）為圓心，半徑為作圓，在拋物線上存在⊙的覆蓋的特征點，直接寫出的取值范圍__________________．

參考答案一、選擇題：（本題共20分，每小題2分）1.【答案】C【解析】【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．故選：C．【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．2.【答案】D【解析】【分析】根據拋物線頂點式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k的頂點坐標為（h，k）可以直接寫出該拋物線的頂點坐標，本題得以解決．【詳解】解：∵拋物線y＝（x﹣2）2﹣3，∴該拋物線的頂點坐標為（2，﹣3），故選：D．【點睛】本題考查二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．3.【答案】C【解析】【分析】計算出判別式的值，根據判別式的值即可判斷方程的根的情況．【詳解】∵a＝１，b=-3，c=4而∴一元二次方程沒有實數根故選：C【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，根據判別式的值的情況可以判斷方程有無實數根．4.【答案】B【解析】【分析】根據只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程進行分析即可．【詳解】解：依題意可得m-1≠0，解得m=-1故選：B．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，關鍵是掌握判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數”；“未知數的最高次數是2”；“二次項的系數不等于0”；“整式方程”．5.【答案】C【解析】【分析】分別將點，代入求得的與的值，再比較大小即可．【詳解】解：將點代入，得，將點代入，得，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數圖象上的點的坐標特征，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解決本題的關鍵．6.【答案】D【解析】【分析】根據二次函數圖象與系數的關系、二次函數的增減性以及函數圖像與x軸交點坐標等知識即逐項判定即可．【詳解】解：由二次函數圖象的開口方向向下可得a是負數，所以A選項錯誤；由函數圖像與y軸的交點在正半軸可得c是正數，所以B選項錯誤；當x>1時，y隨x的增大而減小，故C選項結論錯誤；∵拋物線與x軸的一個交點坐標是（?1，0），對稱軸是直線x＝1，設另一交點為（x，0），則?1＋x＝2×1，即x＝3，∴另一交點坐標是（3，0），∴x＝3是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個根，故本選項結論正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數圖像與系數的關系、二次函數圖象的增減性、拋物線與x軸的交點等知識點，靈活運用二次函數的性質以及函數圖象與系數的關系是解答本題的關鍵．7.【答案】C【解析】【分析】先根據題意畫出樹狀圖，再利用概率公式計算即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：所以共4種情況：其中滿足題意的有兩種，所以兩次記錄的數字之和為3的概率是故選C．【點睛】本題考查的是畫樹狀圖求解概率，掌握畫樹狀圖求概率是解題的關鍵．8.【答案】D【解析】【分析】先根據坐標軸上點的坐標特征求出B點坐標為（0，4），A點坐標為（3，0），則OA＝3，OB＝4，再根據旋轉的性質得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝3，CD＝OB＝4，然后根據點的坐標的確定方法即可得到點D坐標．【詳解】當x＝0時，＝4，則B點坐標為（0，4）；當y＝0時，?x＋4＝0，解得x＝3，則A點坐標為（3，0），則OA＝3，OB＝4，∵△AOB繞點A順時針旋轉90°后得到，∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝3，CD＝OB＝4，即AC⊥x軸，CD∥x軸，∴點D坐標為（7，3）．故選：D．【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了一次函數圖象上點的坐標特征．9.【答案】B【解析】【分析】連接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分線，作NN'的垂直平分線，作MM'的垂直平分線，交點為旋轉中心．【詳解】如圖，∵△MNP繞某點旋轉一定的角度，得到△M'N'P'，∴連接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分線，作NN'的垂直平分線，作MM'的垂直平分線，∴三條線段的垂直平分線正好都過B，即旋轉中心是B．故選：B．【點睛】本題考查了學生的理解能力和觀察圖形的能力，以及旋轉的性質，注意：旋轉時，對應頂點到旋轉中心的距離應相等且旋轉角也相等，對稱中心在連接對應點線段的垂直平分線上．10.【答案】A【解析】【分析】先令求出函數的圖像與x軸的交點，畫出函數圖像，利用數形結合即可求出的取值范圍．【詳解】解：令，則函數的圖像與x軸的交點分別為，故此函數的圖像為：∵，∴．故選：A．【點睛】本題考查的是一元二次方程根的分布，拋物線與x軸的交點，能根據x軸上點的坐標特點求出函數與x軸的交點，畫出函數圖像，利用數形結合解答是解答此題的關鍵．二、填空題：（本題共16分，每小題2分）11.【答案】【解析】【分析】根據二次函數的定義與一般形式即可得出答案．【詳解】解：∵是二次函數，∴，即，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的定義，熟知二次函數的一般式為（，為常數）是解本題的關鍵．12.【答案】【解析】【分析】根據△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點得到△=（-2）2-4m=0，然后解關于m的方程即可．【詳解】根據題意得△=（-2）2-4m=0，

解得m=1．

故答案是：1．【點睛】考查了拋物線與x軸的交點：對于二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0），△=b2-4ac決定拋物線與x軸的交點個數：△=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．13.【答案】【解析】【分析】利用配方法即可把一般式轉化為頂點式．【詳解】，，．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數三種形式：一般式：，頂點式：；兩點式：．正確利用配方法把一般式化為頂點式是解題的關鍵．14.【答案】【解析】【分析】對稱軸在和2之間，然后確定和2哪個離對稱軸較遠，從而代入確定y的范圍．【詳解】解：∵二次函數，∴當時有最小值是2，∵，當時有最大值是，∴當時，y的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是確定最小值，難度不大．15.【答案】【解析】【分析】設這款新能源汽車的年平均增長率是，利用年某款新能源汽車的銷售量年某款新能源汽車的銷售量×（1＋年平均增長率），即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設年平均增長率為x，

根據題意可列方程：．

解得：（不合題意，舍去）．

答：這款新能源汽車的年平均增長率是，故答案為：．【點睛】本題考查了由一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．16.【答案】②③##③②【解析】【分析】根據待定系數法求出關系式，可判斷①，根據二次函數的圖像的對稱性可判斷②③，根據二次函數的圖像，可直接判斷④．【詳解】解：由二次函數圖像可知：，把代入得：，解得：，即：，故①錯誤；點，在這個二次函數圖象上，又∵拋物線的開口向下，拋物線的對稱軸為：直線，且，∴，故②正確；∵拋物線的對稱軸為：直線，與x軸的一個交點坐標為，∴該二次函數圖象與x軸的另一個交點為，故③正確；由二次函數的圖像可知：當時，，故④錯誤．∴正確結論的序號是：②③．故答案為：②③．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖像和性質，掌握二次函數圖像的對稱性是解題的關鍵．17.【答案】米【解析】【分析】已知拋物線上距水面AB高為8米的E、F兩點，可知E、F兩點縱坐標為8，把y=8代入拋物線解析式，可求E、F兩點的橫坐標，根據拋物線的對稱性求EF長．【詳解】解：由“在該拋物線上距水面AB高為8米的點E、F處要安裝兩盞警示燈”，

把y=8代入得：

x=±4，

∴由兩點間距離公式得：EF=8（米），故答案為：8米．【點睛】本題考查的是二次函數在實際生活中的應用，讀懂題意，篩選信息是解題的關鍵18.【答案】【解析】【分析】當時，，可得（舍）；當時，，可得（舍）；當時，，可得；當時，，可得（舍）．【詳解】解：的對稱軸為直線，當時，y的最大值為，∵3為上確界，∴，∴（舍）；當時，y的最大值為，∵3為上確界，∴，∴（舍）；當時，y的最大值為，∵3為上確界，∴，∴；當時，y的最大值為，∵3為上確界，∴，∴（舍），綜上所述：a的值為，故答案為：．【點睛】本題是二次函數綜合題，熟練掌握二次函數的圖像及性質，根據所給范圍分類討論求二次函數的最大值是解題的關鍵．三、解答題：（本題共64分，第19題，每小題3分，第20題4分，第21~23題每小題5分，第24題7分，第25~26題每小題6分，第27~28題每小題7分）19.【答案】（1）（2）（3），（4）【解析】【分析】（1）提取公因式，進行因式分解求解；（2）利用公式法進行求解；（3）先移項得到，然后利用因式分解法解方程；（4）先移項得到，然后利用平方差公式求解．【小問1詳解】解：解得：【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：，，，或，所以，；【小問4詳解】解：或解得：．【點睛】此題考查了解二元一次方程因式分解法，直接開方法，以及配方法，熟練掌握各自解法是解本題的關鍵．20.【答案】7【解析】【分析】由題意易得，然后把代數式進行化簡，最后整體代入求解即可．【詳解】解：∵是方程的一個根，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代數式的值，熟練掌握一元二次方程的解、乘法公式及代數式的值是解題的關鍵．21.【答案】（1），0（2）；【解析】【分析】（1）根據表中的對應值可知，當與時y的值相等，所以此兩點關于拋物線的對稱軸對稱，由中點坐標公式即可得出對稱軸，根據二次函數的對稱性可知的值；（2）利用待定系數法求出二次函數解析式，然后將代入解析式中可得．【小問1詳解】解：∵由表中的對應值可知，當與時y的值相等，∴對稱軸是直線，∵點關于直線對稱點為，∴，故答案為：，0；【小問2詳解】∵二次函數的圖像經過點，∴設二次函數的解析式為，∵圖像經過點，∴，∴，∴這個二次函數的解析式為，當時，，∴．【點睛】此題考查待定系數法求函數解析式，二次函數的性質，掌握待定系數法求函數解析式的方法與步驟是解決問題的關鍵．22.【答案】（1）見解析（2）直角坐標系見解析，，；（3）【解析】【分析】（1）根據旋轉的性質畫出旋轉后的圖形即可；（2）根據點B的坐標為作出直角坐標系，寫出點的坐標即可；（3）根據關于原點對稱的兩個點橫縱坐標均互為相反數即可得出答案．【小問1詳解】解：如圖，即為所作：【小問2詳解】直角坐標系如圖：則A點坐標為，C點坐標為，故答案為：，；【小問3詳解】∵點是點C關于原點的對稱點，∴,故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉－作圖，坐標與圖形，關于原點對稱，熟練掌握平面直角坐標系以及旋轉的性質是解本題的關鍵．23.【答案】（1）見解析；（2）3【解析】【分析】（1）根據一元二次方程的根的判別式的符號證明；（2）先求出原方程的兩個實數根，根據兩個實數根均為正數，列出不等式求出的范圍，繼而得到其最小整數值；【詳解】解：（1）由題意，得△=，∴無論m取任何實數時，方程總有兩個實數根．（2）∵，∴，．∵該方程的兩個根均為正數，∴，∴．∵m取最小整數；∴．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，當時，方程有兩個實數根；同時考查公式法解一元二次方程及解一元一次不等式．24.【答案】（1），，（2）見解析（3）或【解析】【分析】（1）將二次函數一般式整理為頂點式，即可得出其頂點坐標，令，求解即可得出坐標；（2）列表，描點，連線即可；（3）求出邊上的高，即得出了點的縱坐標，進而得出點的坐標．【小問1詳解】解：∵，∴圖像的頂點坐標為，令，則，即，∴，∵點A在點B的左側，∴A點坐標為，B點坐標為，故答案為：，，；【小問2詳解】列表如下：x…01234…y…3003…描點，連線：【小問3詳解】∵A點坐標為，B點坐標為，∴，∵的面積為3，∴的邊上的高為3，∴，解得：或，∴點P的坐標為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了二次函數的一般式化為頂點式，求拋物線與軸的交點坐標，畫二次函數圖像等知識點，熟練掌握二次函數的性質是解本題的關鍵．25.【答案】（1）證明見解析；（2）∠BED=45°【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質知∠BAC=60°，AB=AC，由旋轉的性質知∠DAE=60°，AE=AD，從而得∠EAB=∠DAC，再證△EAB≌△DAC可得答案；（2）由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD為等邊三角形，即∠AED=60°，繼而由∠AEB=∠ADC=105°可得．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵線段AD繞點A順時針旋轉60°，得到線段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，，∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB=∠ADC．（2）如圖，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD為等邊三角形．∴∠AED=60°，又∵∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．26.【答案】（1）①，；②或（2）或或【解析】【分析】（1）①把代入拋物線解析式，利用，求出對稱軸，然后把頂點橫坐標代入，即可用含的式子表示出頂點的縱坐標；②利用拋物線的對稱性，及開口向上，可知離對稱軸越遠，函數值越大，從而可解；（2）把代入，再分拋物線經過點，拋物線經過點，拋物線的頂點在線段上，三種情況分類討論，得出相應的值，從而得結論．【小問1詳解】解：①把代入拋物線解析式得：，∴拋物線的對稱軸為直線，把x=1代入拋物線解析式得：，∴拋物線頂點的縱坐標為；故答案為，；②由拋物線解析式可知：開口向上，對稱軸為直線，∴當拋物線上點離對稱軸越近其所對應的函數值越小，∵點，都在拋物線上，且，∴的取值范圍為或；故答案為或；【小問2詳解】解：∵點向右平移4個單位得到點Q，∴點Q的坐標為．∵，∴拋物線為．當拋物線經過點時，，解得．當拋物線經過點時，，解得．當拋物線的頂點在線段PQ上時，，解得．∴m的取值范圍是或或．【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系，以及二次函數的對稱性和拋物線與線段交點個數的問題，