【教無憂】2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步講義（人教A版2019）5．4．1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（五大題型）

5．4．1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 3題型一：五點作圖法作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖 3題型二：含絕對值的三角函數(shù) 6題型三：解三角不等式問題 8題型四：與三角函數(shù)有關(guān)的零點問題 11題型五：識圖問題 14

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點梳理】知識點一：正弦函數(shù)圖象的畫法1、描點法：按照列表、描點、連線三步法作出正弦函數(shù)圖象的方法．2、幾何法利用三角函數(shù)線作出正弦函數(shù)在內(nèi)的圖象，再通過平移得到的圖象．3、五點法先描出正弦曲線的波峰、波谷和三個平衡位置這五個點，再利用光滑曲線把這五點連接起來，就得到正弦曲線在一個周期內(nèi)的圖象．在確定正弦函數(shù)在上的圖象形狀時，起關(guān)鍵作用的五個點是知識點詮釋：（1）熟記正弦函數(shù)圖象起關(guān)鍵作用的五點．（2）若，可先作出正弦函數(shù)在上的圖象，然后通過左、右平移可得到的圖象．知識點二：正弦曲線（1）定義：正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線．（2）圖象知識點詮釋：（1）由正弦曲線可以研究正弦函數(shù)的性質(zhì)．（2）運用數(shù)形結(jié)合的思想研究與正弦函數(shù)有關(guān)的問題，如，方程根的個數(shù)．知識點三：用三角函數(shù)圖象解三角不等式的方法1、作出相應(yīng)正弦函數(shù)或余弦函數(shù)在上的圖象；2、寫出適合不等式在區(qū)間上的解集；3、根據(jù)公式一寫出不等式的解集．【典型例題】題型一：五點作圖法作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖【典例1-1】用“五點法”作出，的簡圖.【解析】列表：x0001021232描點、連線，如圖.【典例1-2】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）用“五點法”作出下列函數(shù)，的簡圖：【解析】列表001000描點，連線，如圖所示：【方法技巧與總結(jié)】1、五點作圖法：作正弦曲線、余弦曲線要理解幾何法作圖，掌握五點法作圖．“五點”即或的圖象在內(nèi)的最高點、最低點和與x軸的交點．2、圖象變換：平移變換、對稱變換、翻折變換．【變式1-1】（2024·高一·全國·單元測試）已知，畫出在上的圖象．【解析】∵，∴，列表：x02112描點，連線，如圖所示．【變式1-2】作出下列函數(shù)的大致圖像：(1)，；(2)，x∈R．【解析】（1）列表如下π作出圖象，如圖所示.（2）函數(shù)的圖象如下圖所示：函數(shù)的圖象可由函數(shù)在x軸下方的圖象沿軸翻折得到：【變式1-3】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．完成下面表格，并用“五點法”作函數(shù)在上的簡圖：

x0π2π【解析】補充完整的表格如下：x0π2π13531描點、連線得函數(shù)的圖象如圖所示，題型二：含絕對值的三角函數(shù)【典例2-1】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）畫出函數(shù)的簡圖．【解析】，的圖象如下圖所示，【典例2-2】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）作出函數(shù)，的大致圖像．【解析】函數(shù)，其圖如下所示：【方法技巧與總結(jié)】分類討論解決絕對值問題【變式2-1】（2024·高一·江蘇鹽城·期末）已知函數(shù)，．（1）作出函數(shù)的圖象；（2）求方程的解．【解析】（1）當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則.，函數(shù)的圖象如下圖所示：（2）當(dāng)時，令，即，得，解得；當(dāng)時，令，得，該方程無解.綜上所述，方程的解為.【變式2-2】（2024·高一·全國·課前預(yù)習(xí)）作函數(shù)的圖象.【解析】故的圖象實際就是的圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方后得到的圖象，如圖【變式2-3】（2024·高一·上海·課后作業(yè)）作出函數(shù)的圖像．【解析】由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得，，當(dāng)時，函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)；結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，可得函數(shù)圖象，如圖所示：題型三：解三角不等式問題【典例3-1】（2024·高一·北京延慶·期中）不等式的解集為．【答案】【解析】在的解集為，結(jié)合的周期為可知，不等式的解集為.故答案為：.【典例3-2】（2024·高一·廣東深圳·期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為．【答案】【解析】由得，所以，解得不等式的解集為故答案為：【方法技巧與總結(jié)】用三角函數(shù)的圖象解（或）的方法（1）作出直線，作出（或）的圖象．（2）確定（或）的x值．（3）確定（或）的解集．【變式3-1】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）在內(nèi)，不等式的解集是．【答案】【解析】因為在上單調(diào)遞減，且，所以在上，由，得；而在上單調(diào)遞增，且，所以在上，由，得；綜上，，即.故答案為：.【變式3-2】（2024·高一·陜西咸陽·階段練習(xí)）當(dāng)時，不等式的解集是．【答案】【解析】由可得：，所以，解得：，因為，所以，，所以原不等式的解集為：，故答案為：【變式3-3】（2024·高一·上海·課后作業(yè)）在內(nèi)，不等式的解集是.【答案】【解析】畫出，的草圖如下：當(dāng)時，由，得，又，觀察圖象，當(dāng)時，所以不等式的解集是.故答案為：【變式3-4】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）不等式，的解集為.【答案】【解析】作出在上的圖象如圖所示，由圖象可知：不等式的解集為.故答案為：.題型四：與三角函數(shù)有關(guān)的零點問題【典例4-1】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)，的圖象與直線的交點個數(shù)為．【答案】2【解析】令，，，，所以或，故所求為2.故答案為：2.【典例4-2】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的圖像與直線的交點有個.【答案】2【解析】作出函數(shù)的圖像與直線，如圖所示：所以交點個數(shù)為2.故答案為：2【方法技巧與總結(jié)】方程的根（或函數(shù)零點）問題：三角函數(shù)的圖象是研究函數(shù)的重要工具，通過圖象可較簡便的解決問題，這正是數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用．【變式4-1】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是．【答案】【解析】由題意，得畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時，函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點．故答案為：【變式4-2】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的圖象與的圖象在上的交點個數(shù)為.【答案】【解析】作出函數(shù)與在上的圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象在上有個交點.故答案為：【變式4-3】（2024·高一·上海浦東新·期中）定義在區(qū)間上的函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)為.【答案】16【解析】由于，故為偶函數(shù)，因為也為偶函數(shù)，故考慮的情況，畫出圖像，如圖所示：共有個交點，且時，沒有交點，故共有16個交點.故答案為：16【變式4-4】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)，的圖像與直線的交點坐標(biāo)為．【答案】或【解析】因為，令，即，則，所以或，因為，所以或，所以函數(shù)，的圖像與直線的交點坐標(biāo)為或.故答案為：或【變式4-5】（2024·高一·湖南·課后作業(yè)）函數(shù)，的圖象與直線的交點有個．【答案】2【解析】作，的圖象及直線如下所示，知兩函數(shù)圖象有兩個交點．故答案為：2【變式4-6】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）若函數(shù)在上有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】令得．作出在上的圖像，如圖所示．要使函數(shù)在上有兩個零點，需滿足，所以．故答案為：．題型五：識圖問題【典例5-1】（2024·高三·河南·階段練習(xí)）函數(shù)的大致圖像為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】函數(shù)定義域為，又因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，故A和B錯誤；當(dāng)時，則，故C錯誤.故選：D.【典例5-2】（2024·青海海東·模擬預(yù)測）函數(shù)在上的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】易知f(x)是偶函數(shù)，排除B，C項；當(dāng)時，，所以，排除A項.故選：D【方法技巧與總結(jié)】利用排除法，從定義域、奇偶性、代數(shù)三個方面進(jìn)行排除．【變式5-1】（2024·高三·江西宜春·期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，函數(shù)的解析式常用來琢磨函數(shù)圖象的特征.函數(shù)在的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)奇偶性排除A，取特殊值，得到答案D，為奇函數(shù)，排除A，，，故選：D【變式5-2】圖中的曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式是（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A選項，當(dāng)時，，A選項不滿足條件；對于B選項，當(dāng)時，，，B選項不滿足條件；對于C選項，令，該函數(shù)的定義域為，，故函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，由三角函數(shù)圖象可知，C選項滿足條件；對于D選項，當(dāng)時，，D選項不滿足條件.故選：C.【變式5-3】（2024·高一·河南省直轄縣級單位·期末）華羅庚是享譽世界的數(shù)學(xué)大師，國際上以華氏命名的數(shù)學(xué)科研成果有“華氏定理”“華氏不等式”“華氏算子”“華—王方法”等，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)圖象的特征．已知函數(shù)y=fx的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】由的圖象在縱軸右側(cè)先單調(diào)遞增再遞減，又和在縱軸右側(cè)均先遞增，而和在縱軸右側(cè)均先遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可排除B、C，若，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性有時函數(shù)單調(diào)遞減，與圖象不符，故D錯誤；而，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性有時函數(shù)單調(diào)遞減，與圖象相符，故A正確.故選：A【變式5-4】（