求離心率的9種方法【解析版】

求離心率的9種方法【解析版】求離心率的9種方法【解析版】專題：橢圓和雙曲線的離心率第一節(jié)：常用求離心率的公式及推導(dǎo)過程匯總橢圓雙曲線公式一e=e=公式二e=推導(dǎo)過程：e====e=（知漸近線求離心率）推導(dǎo)過程：e====公式三性質(zhì)：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形，則橢圓的離心率。證明：由正弦定理得：由等比定理得：即∴。性質(zhì)：已知雙曲線方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形，則橢圓的離心率。證明：由正弦定理得：由等比定理得：即，∴。公式四性質(zhì)：以橢圓的兩個焦點(diǎn)，及橢圓上任意一點(diǎn)（除長軸上兩個端點(diǎn)外）為頂點(diǎn)的，=，=β，則離心率證明：由正弦定理，有性質(zhì)：以雙曲線的兩個焦點(diǎn)、及雙曲線上任意一點(diǎn)（除實(shí)軸上兩個端點(diǎn)外）為頂點(diǎn)的，=，=β，則離心率（）.證明：由正弦定理，有即又.公式五性質(zhì)：已知點(diǎn)F是橢圓的焦點(diǎn)，過F的弦AB與橢圓焦點(diǎn)所在軸的夾角為θ,，k為直線AB的斜率，且，則有e=當(dāng)曲線焦點(diǎn)在y軸上時，e=注：而不是性質(zhì)：已知點(diǎn)F是雙曲線的焦點(diǎn)，過F的弦AB與雙曲線焦點(diǎn)所在軸的夾角為θ,，k為直線AB的斜率，且，則有e=當(dāng)曲線焦點(diǎn)在y軸上時，e=注：而不是第二節(jié)：離心率求值一、橢圓離心率的求值1、定義法求離心率2、運(yùn)用通徑求離心率3、運(yùn)用e=求離心率4、運(yùn)用求離心率5、運(yùn)用結(jié)論求離心率——（A,B為橢圓上的任意兩點(diǎn)，M為直線AB的中點(diǎn)）6、運(yùn)用正弦定理余弦定理求離心率運(yùn)用相似比求離心率8、求出點(diǎn)的坐標(biāo)帶入橢圓方程建立等式9、運(yùn)用幾何關(guān)系求離心率1、定義法求離心率【2018?新課標(biāo)Ⅰ文】已知橢圓C的一個焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，∵a2?4=4?a=22，則e=【2016新課標(biāo)Ⅰ（文）5】直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()A．B．C．D．【答案】B【解析】由直角三角形的面積關(guān)系得bc=，解得，故選B【2010?廣東7】若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是()A.B.C.D.【答案】B【解析】設(shè)長軸為2，短軸為2，焦距為2，則即.整理得：【2012江西文理】橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為．【答案】【解析】因?yàn)闄E圓（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，所以（a﹣c）（a+c）=4c2，即a2=5c2，所以e=．2、運(yùn)用通徑求離心率【2014?江西文】設(shè)橢圓C=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)D，若AD⊥F1B，則橢圓C的離心率等于．【答案】【解析】解法一：不妨假設(shè)橢圓中的a=1，則F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），當(dāng)x=c時，由=1得y==b2，即A（c，b2），B（c，﹣b2），設(shè)D（0，m），∵F1，D，B三點(diǎn)共線，∴，解得m=﹣，即D（0，﹣），∴若AD⊥F1B，在，即=﹣1，即3b4=4c2，則b2=2c=（1﹣c2）=2c，即c2+2c﹣=0，解得c==，則c=，∵a=1，∴離心率e==，解法二：由題意得F1（﹣c，0），由通徑長可得A（c,）,B（c,-），又因DO∥BF2，,O為F1F2中點(diǎn)所以D為F1B的中點(diǎn)，則D（0，），若AD⊥F1B，則，即，解得e==?！?013四川文9】從橢圓(a＞b＞0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是()．A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意知A(a,0)，B(0，b)，P，∵AB∥OP，∴.∴b＝c.∵a2＝b2＋c2，∴.∴．【2007福建理14】已知正方形，則以為焦點(diǎn)，且過兩點(diǎn)的橢圓的離心率為______．【解析】解法一：設(shè)c=1，則.解法二：由題意得AD=AB=2c，由通徑知AD=,則解得e=【2005全國卷Ⅲ理10】設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 （） A．B．C． D．【答案】D【解析】解法一：設(shè)，，由題意易知，，，選D.解法二：由題意易知，由通徑可得，故，解得e=3、運(yùn)用e=求離心率【2010?全國大綱Ⅰ16】已知F是橢圓C的一個焦點(diǎn)，B是短軸的一個端點(diǎn)，線段BF的延長線交C于點(diǎn)D，且，則C的離心率為．【答案】【解析】解法一：如圖，，作DD1⊥y軸于點(diǎn)D1，則由，得，所以，，即，由橢圓的第二定義得又由|BF|=2|FD|，得，a2=3c2，解得e==，解法二：kBF=,,由e=得e=,解得e=?！纠拷?jīng)過橢圓(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為60°的直線和橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，求橢圓的離心率?！窘馕觥恐本€AB的斜率k=tan60°=,帶入公式e==2˙=4、運(yùn)用求離心率【2018?新課標(biāo)Ⅱ文】已知F1、F2是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若，且,則C的離心率為（）A.

1-

B.

2-

C.

D.

-1【答案】D【解析】解法一：依題意設(shè)PF1=r，PF2=r，F(xiàn)1F2=2r又r+r=2a，a=r,2r=2c∴c=r∴e==-1。解法二：===-1。

【2013福建文理15】橢圓Γ：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于__________．【答案】【解析】解法一：∵由y＝(x＋c)知直線的傾斜角為60°，∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°.∴∠F1MF2＝90°.∴MF1＝c，MF2＝c.又MF1＋MF2＝2a，∴c＋c＝2a，即.解法二：===-1。

【2013課標(biāo)全國Ⅱ文】設(shè)橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為()．A．B．C．D．【答案】D【解析】解法一：如圖所示，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，設(shè)|PF2|＝x，則|PF1|＝2x，由tan30°＝，得.而由橢圓定義得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x，∴，∴.解法二：===。

【2009?江西理6】過橢圓a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若∠F1PF2=60°，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解法一：由題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．解法二：===。

5、運(yùn)用結(jié)論求離心率——（A,B為橢圓上的任意兩點(diǎn)，M為直線AB的中點(diǎn)）【2014江西理15】過點(diǎn)M（1，1）作斜率為﹣的直線與橢圓C：=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于．【答案】【解析】解法一：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，∵過點(diǎn)M（1，1）作斜率為﹣的直線與橢圓C：=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，∴兩式相減可得，∴a=b，∴=b，∴e==．解法二：由點(diǎn)差法可得，1˙﹣=，解得a=b，∴=b，∴e==．6、運(yùn)用正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)求離心率【2013遼寧文11】已知橢圓C：(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，則C的離心率為()．A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖所示，根據(jù)余弦定理，|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|BF||AB|cos∠ABF，即|AF|＝6，又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB||BF|cos∠ABF，即|OF|＝5.又根據(jù)橢圓的對稱性，|AF|＋|BF|＝2a＝14，∴a＝7，|OF|＝5＝c，所以離心率為。【2008全國卷1理15】在中，，．若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率．【解析】設(shè)，則，.【2008全國卷1文15】ABC在中，，．若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率．ABC【解析】如圖，不妨設(shè)|AC|=3，|AB|=4,則|BC|=5，所以2a=8,2c=4,e=.7、運(yùn)用相似比求離心率【2009?浙江文6】已知橢圓+=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P．若=2，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解法一：解：如圖，由于BF⊥x軸，故xB=﹣c，yB=，設(shè)P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，解法二：由題意可知△BFA∽△POA，且相似比為3:2，則，解得e==。8、求出點(diǎn)的坐標(biāo)帶入橢圓方程建立等式【2009?江蘇13】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A1，A2，B1，B2為橢圓（a>b>0）的四個頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，直線A1B1與直線B2F相交于點(diǎn)T，線段OT與橢圓的交點(diǎn)M恰為線段OT的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為．【答案】【解析】解法一：由題意，可得直線A1B1的方程為，直線B2F的方程為兩直線聯(lián)立則點(diǎn)T（），則M（），由于此點(diǎn)在橢圓上，故有，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0即e2+10e﹣3=0，解得，故答案為解法二（難）：對橢圓進(jìn)行壓縮變換，，，橢圓變?yōu)閱挝粓A：x'2+y'2=1，F(xiàn)'（，0）．延長TO交圓O于N，易知直線A1B2斜率為1，TM=MO=ON=1，，設(shè)T（x′，y′），則，y′=x′+1，由割線定理：TB2×TA1=TM×TN，，（負(fù)值舍去），易知：B1（0，﹣1），直線B1T方程：令y′=0，即F橫坐標(biāo)，即原橢圓的離心率e=．9、運(yùn)用幾何關(guān)系求離心率【2018?新課標(biāo)Ⅱ理】已知F1、F2是橢圓C:（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，,則C的離心率為（

）A.

B.

C.

D.

【答案】D【解析】∵過A直線斜率為∴tanα=

即sinα=339=113∴2c113=a+csinβ

【2017?新課標(biāo)Ⅲ文理】已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，∴原點(diǎn)到直線的距離=a，化為：a2=3b2．∴橢圓C的離心率e===．【2016新課標(biāo)Ⅲ文理12】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸，過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E．若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可設(shè)F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），令x=﹣c，代入橢圓方程可得y=±b=±，可得P（﹣c，），設(shè)直線AE的方程為y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），設(shè)OE的中點(diǎn)為H，可得H（0，），由B，H，M三點(diǎn)共線，可得kBH=kBM，即為,化簡可得=，即為a=3c，可得e==．【2016江蘇文理10】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，直線y=與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BFC=90°，則該橢圓的離心率是．【答案】【解析】設(shè)右焦點(diǎn)F（c，0），將y=代入橢圓方程可得x=±a=±a，可得B（﹣a，），C（a，），由∠BFC=90°，可得kBF?kCF=﹣1，即有?=﹣1，化簡為b2=3a2﹣4c2，由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，由e=，可得e2==，可得e=?！?015?浙江】——中難橢圓=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0）關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是．【答案】【解析】不妨令c=1，設(shè)Q（m，n），由題意可得，即：，由①②可得：m=，n=，代入③可得：，解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=【2012新課標(biāo)理】設(shè)、是橢圓E：=1（）的左、右焦點(diǎn)，P為直線上一點(diǎn)，是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為（）A、B、C、D、【答案】C【解析】如圖所示，是等腰三角形，，，，，，又，所以，解得，因此。【2013浙江文理9】如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()．A．B．C．D．【答案】D【解析】橢圓C1中，|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝.又四邊形AF1BF2為矩形，∴∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，∴|AF1|＝，|AF2|＝，∴雙曲線C2中，2c＝，2a＝|AF2|－|AF1|＝，故.【2013江蘇文理12】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞0，b＞0)，右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，短軸的一個端點(diǎn)為B.設(shè)原點(diǎn)到直線BF的距離為d1，F(xiàn)到l的距離為d2.若，則橢圓C的離心率為__________．【答案】【解析】設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意可設(shè)直線BF的方程為，即bx＋cy－bc＝0.于是可知，.∵，∴，即.∴a2(a2－c2)＝6c4.∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝.∴.雙曲線離心率的求解1、定義法關(guān)系求離心率2、運(yùn)用漸近線求離心率3、運(yùn)用e=求離心率4、運(yùn)用求離心率5、運(yùn)用結(jié)論求離心率——（A,B為橢圓上的任意兩點(diǎn)，M為直線AB的中點(diǎn)）6、運(yùn)用幾何關(guān)系求離心率1、定義法關(guān)系求離心率【2018?新課標(biāo)Ⅲ】設(shè)F1,F2是雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)。過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P。若|PF1|=6|OP|，則C的離心率為（A.

B.

2C.

D.

【答案】C【解析】因?yàn)镺F2=c，直線OP的斜率為，則|OP|=a,|PF2|=b

則|PF1|=6a,OF1=C,cos∠POF1=?cos∠POF2=?ac

則【答案】2【解析】解：右焦點(diǎn)F（C,0）到的距離，32C=【2014?重慶文】設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.4D.【答案】D【解析】∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，∴由雙曲線的定義可得（2a）2=b2﹣3ab，∴4a2+3ab﹣b2=0，∴a=，∴c==b，∴e==．【2014重慶理（理）】設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=ab，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.3【答案】B【解析】不妨設(shè)右支上P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,由焦半徑公式有|PF1|=ex﹣a，|PF2|=ex+a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab∴a=b，∴c==b，∴e==．【2011課標(biāo)理7】設(shè)直線L過雙曲線C的一個焦點(diǎn)，且與C的一條對稱軸垂直，L與C交于A,B兩點(diǎn)，為C的實(shí)軸長的2倍，則C的離心率為()A.B.C.2D.3【答案】B【解析】通徑|AB|==4a得.【2016山東（理）】已知雙曲線E:（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四個頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個焦點(diǎn)，且2|AB|=3|BC|，則E的離心率是．【答案】2【解析】解：令x=c，代入雙曲線的方程可得y=±b=±，由題意可設(shè)A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2?=3?2c，即為2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（負(fù)的舍去）．2、運(yùn)用漸近線求離心率【2015?湖南文】若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣4），則此雙曲線的離心率為（）B.C.D.【答案】D【解析】雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得e==【2010新課標(biāo)文】中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（4，2），則它的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵漸近線的方程是y=±x，∴2=?4，=，a=2b，c==a，e==，即它的離心率為．【2010?遼寧文9】設(shè)雙曲線的﹣個焦點(diǎn)為F，虛軸的﹣個端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線方程為（a＞0，b＞0），則F（c，0），B（0，b）直線FB：bx+cy﹣bc=0與漸近線y=x垂直，所以，即b2=ac所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，所以或（舍去）【2015?山東文15】過雙曲線C：（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交C于點(diǎn)P．若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，則C的離心率為【答案】2+【解析】x=2a時，代入雙曲線方程可得y=±b，取P（2a，﹣b），∴雙曲線C：（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線的斜率為，∴=∴e==2+．3、運(yùn)用e=求離心率【2009全國卷2理11】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，若,則的離心率為（）A．B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為,過分別作于,于,,由直線AB的斜率為,知直線AB的傾斜角為,由雙曲線的第二定義有.又解法二：直線AB的斜率k=,帶入公式e==2˙=4、運(yùn)用求離心率【2013湖南文14】設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：(a＞0，b＞0)的兩個焦點(diǎn)．若在C上存在一點(diǎn)P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，則C的離心率為__________．【答案】【解析】解法一：如圖所示，∵PF1⊥PF2，∠PF1F2＝30°，可得|PF2|＝c.由雙曲線定義知，|PF1|＝2a＋c，由|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2得4c2＝(2a＋c)2＋c2，即2c2－4ac－4a2＝0，即e2－2e－2＝0，∴，∴.解法二：===+1。

【2008?陜西理8】雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過F1作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于M點(diǎn)，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如圖在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F(xiàn)1F2=2c∴，∴∴，故選B．解法二：===?！?008全國卷Ⅱ11】設(shè)△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，則以A，B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)C的雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由題意2c=|AB|，所以，由雙曲線的定義，有，∴故選B．

解法二：===?！?005福建理10】已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是 （） A． B． C． D．【答案】D【解析】===+1。

5、運(yùn)用結(jié)論求離心率——（A,B為橢圓上的任意兩點(diǎn)，M為直線AB的中點(diǎn)）【2010全國2理21】己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為.求C的離心率；【答案】2【解析】解法一：由題設(shè)知，的方程為：帶入的方程，并化簡，得設(shè)則①由為的中點(diǎn)知，故即，②故所以的離心率解法二：由，即1˙3=，e==26、運(yùn)用幾何關(guān)系求離心率【2017·新課標(biāo)全國Ⅱ卷理9】.若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為（）A．2B．C．D．【答案】A【解析】解法一：常規(guī)解法根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得漸近線方程為，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可求得圓心到漸進(jìn)線的距離為，∴圓心到漸近線的距離為，即，解得.解法二：待定系數(shù)法設(shè)漸進(jìn)線的方程為，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可求得圓心到漸進(jìn)線的距離為，∴圓心到漸近線的距離為，即，解得；由于漸近線的斜率與離心率關(guān)系為，解得.解法三：幾何法從題意可知：，為等邊三角形，所以一條漸近線的傾斜較為，由于，可得，漸近線的斜率與離心率關(guān)系為，解得.解法四：坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化法根據(jù)圓的直角坐標(biāo)系方程：，可得極坐標(biāo)方程，由可得極角，從上圖可知：漸近線的傾斜角與圓的極坐標(biāo)方程中的極角相等，所以，漸近線的斜率與離心率關(guān)系為，解得.解法五：參數(shù)法之直線參數(shù)方程如上圖，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得漸近線方程為，可以表示點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入圓方程中，解得.【2016新課標(biāo)Ⅱ(理）】已知，是雙曲線E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，與軸垂直，sin,則E的離心率為（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】離心率，由正弦定理得．【2015新課標(biāo)2理】已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，頂角為120°，則E的離心率為（）A.B.2C.D.【答案】D【解析】設(shè)M在雙曲線的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，則M的坐標(biāo)為（﹣2a，a），代入雙曲線方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．【2015湖南（理）】設(shè)F是雙曲線C的一個焦點(diǎn)．若C上存在點(diǎn)P，使線段PF的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個端點(diǎn)，則C的離心率為．【答案】【解析】設(shè)F（c，0），P（m，n），（m＜0），設(shè)PF的中點(diǎn)為M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，將點(diǎn)（﹣c，2b）代入雙曲線方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．【2015?山東理】平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：（a＞0，b＞0）的漸近線與拋物線C2：x2=2py（p＞0）交于點(diǎn)O，A，B，若△OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則C1的離心率為．【答案】【解析】雙曲線C1:（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±x，與拋物線C2：x2=2py聯(lián)立，可得x=0或x=±，取A（，），則=，∵△OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，∴×（﹣）=﹣1，∴5a2=4b2，∴5a2=4（c2﹣a2）∴e==．【2014浙江文理】設(shè)直線x﹣3y+m=0（m≠0）與雙曲線（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B．若點(diǎn)P（m，0）滿足|PA|=|PB|，則該雙曲線的離心率是．【答案】【解析】雙曲線（a＞0，b＞0）的兩條漸近線方程為y=±x，則與直線x﹣3y+m=0聯(lián)立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∵點(diǎn)P（m，0）滿足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴c==b，∴e==．【2013湖南理14】設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：(a＞0，b＞0)的兩個焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為__________．【答案】【解析】不妨設(shè)|PF1|＞|PF2|，由可得∵2a＜2c，∴∠PF1F2＝30°，∴cos30°＝，整理得，c2＋3a2－ac＝0，即e2－e＋3＝0，∴.【2012浙江理8】如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：(a，b＞0)的左右焦點(diǎn)，B是虛軸的端點(diǎn)，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M．若|MF2|＝|F1F2|，則C的離心率是A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖：|OB|＝b，|OF1|＝c．∴kPQ＝，kMN＝﹣．直線PQ為：y＝(x＋c)，兩條漸近線為：y＝x．由，得：Q(，)；由，得：P(，)．∴直線MN為：y－＝﹣(x－)，令y＝0得：xM＝．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝，解之得：，即e＝．【2012重慶文】設(shè)為直線與雙曲線（a＞0，b＞0）左支的交點(diǎn)，是左焦點(diǎn)，垂直于軸，則雙曲線的離心率___________.【答案】【解析】因?yàn)橹本€與雙曲線相交，聯(lián)立方程化簡得又PF1垂直于軸，【2009浙江理9】過雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為．若，則雙曲線的離心率是()A．B．C．D．【答案】C【解析】解法一：對于，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點(diǎn)為B，C，，則有，因．四、橢圓、雙曲線離心率綜合【2018?北京】已知橢圓M:(a>b>0）,雙曲線N：.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點(diǎn)及橢圓M的兩個焦點(diǎn)恰為一個正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為________；雙曲線N的離心率為________【答案】-1；2【解析】解法一：圖中A(c2,32c)，設(shè)橢圓焦距為2c,

又|AF2|=C?|AF1|=3c。

∴解法二：連接AF1，則∠AF1F2=30°,∠AF2F1=60°對于橢圓===-1。連接六邊形的對角線AB則∠AOF2=60°，，則

【2016浙江（理）】已知橢圓C1：+y2=1（m＞1）與雙曲線C2：﹣y2=1（n＞0）的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則（）A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1【答案】A【解析】∵橢圓C1：+y2=1（m＞1）與雙曲線C2：﹣y2=1（n＞0）的焦點(diǎn)重合，∴滿足c2=m2﹣1=n2+1，即m2﹣n2=2＞0，∴m2＞n2，則m＞n，排除C，D則c2=m2﹣1＜m2，c2=n2+1＞n2，則c＜m．c＞n，e1=，e2=，則e1?e2=?=，則（e1?e2）2=（）2?（）2====1+=1+=1+＞1，∴e1e2＞1.【2014?湖北理（理）】已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個公共點(diǎn)．且∠F1PF2=，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）A.B.C.3D.2【答案】A【解析】設(shè)橢圓的長半軸為a，雙曲線的實(shí)半軸為a1，（a＞a1），半焦距為c，由橢圓和雙曲線的定義可知，設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，橢圓和雙曲線的離心率分布為e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在橢圓中，①化簡為即4c2=4a12-3r1r2，即，②在雙曲線中，①化簡為即4c2=4a22+r1r2，即，③聯(lián)立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d當(dāng)且僅當(dāng)時取等號?！?012浙江（文）】如圖，中心均為原點(diǎn)的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，是雙曲線的兩頂點(diǎn)。若將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是()A．3 B．2C．D．【答案】B【解析】設(shè)雙曲線和橢圓的方程分別為，，則。依題意可得，，所以。【2011?福建文11】設(shè)圓錐曲線r的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線r上存在點(diǎn)P滿足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，則曲線r的離心率等于（）A．或 B．或2 C．．或2 D．或【答案】A【解析】依題意設(shè)|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲線為橢圓則2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t則e==，若曲線為雙曲線則，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t∴e==【2013課標(biāo)全國Ⅱ文10】設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l過F且與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＝3|BF|，則l的方程為()．A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝或y＝C．y＝或y＝D．y＝或y＝【答案】C【解析】由題意可得拋物線焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.當(dāng)直線l的斜率大于0時，如圖所示，過A，B兩點(diǎn)分別向準(zhǔn)線x＝－1作垂線，垂足分別為M，N，則由拋物線定義可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|.設(shè)|AM|＝|AF|＝3t(t＞0)，|BN|＝|BF|＝t，|BK|＝x，而|GF|＝2，在△AMK中，由，得，解得x＝2t，則cos∠NBK＝，∴∠NBK＝60°，則∠GFK＝60°，即直線AB的傾斜角為60°.∴斜率k＝tan60°＝，故直線方程為y＝．當(dāng)直線l的斜率小于0時，如圖所示，同理可得直線方程為y＝，故選C.第二節(jié)、求離心率取值范圍一、根據(jù)題目已知不等式求離心率的取值范圍（注意“存在”“恒成立”是隱藏的不等式）【2015福建文】已知橢圓E：（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個端點(diǎn)為M，直線l：3x﹣4y=0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若|AF|+|BF|=4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是（）（0，]B．（0，]C．[，1）D．[，1）【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)F′為橢圓的左焦點(diǎn)，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形，∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．取M（0，b），∵點(diǎn)M到直線l的距離不小于，∴，解得b≥1．∴e==≤=．∴橢圓E的離心率的取值范圍是．【2007北京文4】橢圓的焦點(diǎn)為，，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【答案】D【解析】橢圓的焦點(diǎn)為，，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為，若，，，則，該橢圓離心率e≥，取值范圍是。【2008湖南理8】若雙曲線（a＞0,b＞0）上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是()A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D.(5,+) 【答案】B【解析】或(舍去),.【2007湖南理9】設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知P，所以的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，由當(dāng)時，不存在，此時為中點(diǎn)，綜上得二、根據(jù)頂角建立不等式求離心率的取值范圍1、P為橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)，則∠F1PF2最大當(dāng)且僅當(dāng)P為短軸頂點(diǎn)；2、P是橢圓上的任意一點(diǎn)，A,B為橢圓的長軸頂點(diǎn)，則∠APB最大當(dāng)且僅當(dāng)P為短軸頂點(diǎn)；3、P為橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)，若∠F1PF2=θ，則橢圓的離心率的取值范圍為≤e<1.【2008?江西理7】已知F1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）A．（0，1） B．（0，] C．（0，） D．[，1）【答案】C【解析】解：設(shè)橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為a，b，c，∵=0，∴M點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，半焦距c為半徑的圓．又M點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，∴該圓內(nèi)含于橢圓，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．【變式1】已知F1、F2是橢圓(a>b>0)的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P,使得∠F1PF2=900，則橢圓的離心率e的取值范圍為【答案】[，1)【解析】設(shè)上頂點(diǎn)為B，只要∠F1BF2≥,就存在點(diǎn)P使得∠F1PF2=900，所以e=sin∠F1BO≥sin=，解得≤e<1.【變式2】已知A,B是橢圓(a>b>0)長軸的兩個頂點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P,使得∠APB=1200，則橢圓的離心率e的最小值為【答案】【解析】設(shè)上頂點(diǎn)為M，只要∠AMB≥,就存在點(diǎn)P使得∠APB=1200，所以===tan∠AOM≥tan=，解得≤e?！咀兪?】已知橢圓C：兩個焦點(diǎn)為，如果曲線C上存在一點(diǎn)Q，使，求橢圓離心率的最小值。【分析】根據(jù)條件可采用多種方法求解，如例1中所提的方法均可。本題如借用三角函數(shù)的有界性求解，也會有不錯的效果。【解析】根據(jù)三角形的正弦定理及合分比定理可得：設(shè)故，故橢圓離心率的最小值為?！咀兪?】雙曲線的兩個焦點(diǎn)為，若為其上一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】B【解析】設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在右頂點(diǎn)處，．．三、根據(jù)焦半徑的取值范圍（利用三角形三邊的關(guān)系建立不等關(guān)系）求離心率的取值范圍1、F是橢圓的一個焦點(diǎn)，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，則a-c≤≤a+c；2、F是雙曲線的右焦點(diǎn)，若P是雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則c-a≤；若P是雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，則c+a≤，根據(jù)題給等式確定P位置。3、P是橢圓上的任意一點(diǎn)，則-a<xp<a,-b<yp<b.【2010?四川理9】橢圓(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A．在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，則橢圓離心率的取值范圍是（）A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）【答案】D【解析】由題意，橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等而|FA|=，|PF|∈[a﹣c，a+c]于是∈[a﹣c，a+c]即ac﹣c2≤b2≤ac+c2∴又e∈（0，1）故e∈[，1）．【2009?重慶理15】已知雙曲線（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），若雙曲線上存在一點(diǎn)P使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是．【答案】（1，）【解析】（由正弦定理得），，．又，，，由雙曲線性質(zhì)知，，即，得，又，得．【2009?重慶文15】已知橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），若橢圓上存在一點(diǎn)P使，則該橢圓的離心率的取值范圍為．【答案】（，1）【解析】在△PF1F2中，由正弦定理得：則由已知得：，即：a|PF1|=c|PF2|設(shè)點(diǎn)（x0，y0）由焦點(diǎn)半徑公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0則a（a+ex0）=c（a﹣ex0），解得：由橢圓的幾何性質(zhì)知：x0＞﹣a則，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e<-或e>，又e∈（0，1），故橢圓的離心率：e∈（，1）?！?008福建理11】雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為（）A.(1,3) B. C.(3,+) D.【答案】B【解析】由題意可知即由c+a≤則e≤3.【2004重慶理10】已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為：()A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意可知即由c+a≤則e≤.【例】如果橢圓上存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離與它到右焦點(diǎn)的距離相等，那么橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，由題意及橢圓第二定義可知（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線等號成立），把代入化簡可得又?！纠恳阎p曲線的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，P到右準(zhǔn)線的距離為d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比數(shù)列，求雙曲線的離心率的取值