甘肅省多校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

高三數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，化簡(jiǎn)集合，根據(jù)交集的定義求結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則計(jì)算，再由復(fù)數(shù)幾何意義確定其所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的象限.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.3.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，則外接圓的半徑為（）A. B. C.6 D.12【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理（為的外接圓半徑）求解即可.【詳解】設(shè)外接圓的半徑為，則，即.故選：A.4.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用弦長(zhǎng)公式即可求得結(jié)果.【詳解】圓C的圓心為，半徑為3，圓心到直線l的距離，所以直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為.故選：D5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由條件，結(jié)合兩角差正切公式求，結(jié)合二倍角公式，平方關(guān)系將所求式子轉(zhuǎn)化為齊次式，利用齊次式的方法求結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所?故選：C.6.某學(xué)習(xí)小組研究一種如圖1所示的衛(wèi)星接收天線，發(fā)現(xiàn)其軸截面為如圖2所示的拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星信號(hào)波束呈近似平行的狀態(tài)射入，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)F處，已知衛(wèi)星接收天線的口徑（直徑）為10m，深度為3m，則該衛(wèi)星接收天線軸截面所在的拋物線焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，結(jié)合條件列方程求，結(jié)合拋物線性質(zhì)可求結(jié)論.【詳解】由題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為.由題意可得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程可得，解得，所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，所以拋物線焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為.故選：B.7.已知函數(shù)滿足且，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件可得函數(shù)的單調(diào)性，再利用分段函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性列式求解.【詳解】依題意，函數(shù)滿足且，，則是上的增函數(shù)，因此，解得，所以取值范圍為.故選：C8.已知正三棱錐的體積為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取正三棱錐的底面中心為，設(shè)外接球的球心為，先由三棱錐的體積求出正三棱錐的高為，再由勾股定理求出球的半徑，最后求出表面積即可.【詳解】設(shè)正三棱錐的底面中心為，外接球的球心為，顯然球心在直線上.設(shè)正三棱錐的高為，外接球的半徑為，由，可得正三角形的面積為，所以，解得.球心到底面的距離為，由，得，所以外接球的表面積為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某地種植的新品種哈密瓜獲得了豐收，隨機(jī)從采摘好的哈密瓜中挑選了100個(gè)稱重（單位：kg），并整理數(shù)據(jù)，得到如下頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論正確的是（）A.B.估計(jì)該哈密瓜的質(zhì)量不低于1.6kg的比例為C.估計(jì)有一半以上的該哈密瓜的質(zhì)量介于1.4kg至1.6kg之間D.估計(jì)該哈密瓜的質(zhì)量的中位數(shù)介于1.5kg至1.6kg之間【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖有所有頻率之和為1即可求得，根據(jù)質(zhì)量不低于1.6kg的頻率之和即可判斷B，求出哈密瓜的質(zhì)量介于1.4kg至1.6kg之間的頻率即可判斷C，計(jì)算中位數(shù)即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：，解得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：估計(jì)該哈密瓜的質(zhì)量不低于1.6kg的比例為，B正確；對(duì)于C:因?yàn)?，所以估?jì)有一半以上的該哈密瓜的質(zhì)量介于1.4kg至1.6kg之間，C正確；對(duì)于D:設(shè)該哈密瓜的質(zhì)量的中位數(shù)為，則有，所以估計(jì)該哈密瓜的質(zhì)量的中位數(shù)介于1.5kg至1.6kg之間，D正確.故選：BCD.10.若，則（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】【分析】由二項(xiàng)式令可求，取可求所有系數(shù)和，由此判斷AB；取，結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求，判斷C，取，結(jié)合的值判斷D.【詳解】令，得，令，得，所以，所以A正確；B正確；令，則，所以，因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，，所以，故C不正確；令，得，所以，故D正確.故選：ABD.11.若函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為，則（）A. B.C.圖象的一條對(duì)稱軸為直線 D.在上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性的性質(zhì)有條件列方程可求，由此判斷AB，再根據(jù)正弦型函數(shù)的對(duì)稱軸的求法及單調(diào)區(qū)間的求法判斷CD.【詳解】函數(shù)，設(shè)，，則，因?yàn)楹瘮?shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為，由，即，化簡(jiǎn)可得，所以，所以A不正確，B正確；.令，得，當(dāng)時(shí)，得，所以C正確；令，得，當(dāng)時(shí)，，所以D不正確.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，橢圓C上有一點(diǎn)P，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.【答案】16【解析】【分析】由橢圓方程可得參數(shù)的值，進(jìn)而求出的值，根據(jù)橢圓的定義，可得答案.【詳解】由題意可得，，所以，故的周長(zhǎng)為.故答案為：.13.已知向量，，若，則________.【答案】##【解析】【分析】由向量垂直的性質(zhì)列方程求，利用向量的模的坐標(biāo)表示求，再由向量夾角公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，?因?yàn)?，，，所?故答案為：.14.已知函數(shù)，則函數(shù)的最小值為_(kāi)_______；若過(guò)原點(diǎn)可向曲線作兩條切線，則a的取值范圍是________.（注：當(dāng)時(shí)，）【答案】①.②.【解析】【分析】(1)求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)單調(diào)性，即可求出最小值；（2）設(shè)切點(diǎn)為得切線方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的根即可.【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.因?yàn)椋?設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)得，則關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的根.令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，，，所以，故的取值范圍?故答案為：，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用公式，求出數(shù)列的通項(xiàng)，結(jié)合為等差數(shù)列列方程求，由此可得結(jié)論；（2）由（1），利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，所以數(shù)列的公差為所以，即，所以，故，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以?16.現(xiàn)在很多市民都喜歡騎“共享單車”，但也有很多市民并不喜歡.為了調(diào)查人們是否喜歡這種交通方式，某同學(xué)從交通擁堵嚴(yán)重的A城市和交通擁堵不嚴(yán)重的B城市隨機(jī)調(diào)查了100名市民，得到了一個(gè)市民是否喜歡騎“共享單車”的樣本，具體數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表：AB總計(jì)喜歡401050不喜歡203050總計(jì)6040100（1）根據(jù)列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜歡騎“共享單車”與城市的擁堵情況有關(guān)聯(lián)？（2）為進(jìn)一步了解A城市的擁堵情況，該同學(xué)從樣本中A城市的市民中按是否喜歡利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人，并從這6人中選出2人代表發(fā)言，記代表發(fā)言中喜歡騎“共享單車”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.附表格及參考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）認(rèn)為市民喜歡騎“共享單車”與城市的擁堵情況有關(guān)聯(lián)（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的相關(guān)計(jì)算方法，可得答案；（2）根據(jù)超幾何分布列以及期望的計(jì)算方法，可得答案.【小問(wèn)1詳解】零假設(shè)為：市民是否喜歡騎“共享單車”與城市的擁堵情況無(wú)關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為市民是否喜歡騎“共享單車”與城市的擁堵情況有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的知識(shí)可知，隨機(jī)抽取的6人中喜歡騎“共享單車”的有4人，不喜歡騎“共享單車”的有2人，所以隨機(jī)變量的所有可能取值為，，所以的分布列為012所以.17.已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）條件可轉(zhuǎn)化為為的變號(hào)零點(diǎn)，列關(guān)系式求；（2）條件可轉(zhuǎn)化為恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以為的變號(hào)零點(diǎn)，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)，所以，得.，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，符合題意，故實(shí)數(shù)的值為.【小問(wèn)2詳解】因，所以可轉(zhuǎn)化為，即恒成立.令，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，側(cè)面PCD為正三角形，且平面PCD平面ABCD，，，，.（1）證明：.（2）已知Q為側(cè)棱PB上一點(diǎn)，平面QAC.①求的值；②求直線DQ與平面QAC所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①；②.【解析】【分析】（1）由直角梯形的幾何性質(zhì)以及勾股定理，可得線線垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)，可得答案；（2）①由相似三角形的性質(zhì)以及線面平行的性質(zhì)，可得答案；②由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量與平面的法向量，利用線面角的向量公式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：在梯形ABCD中，因?yàn)椋?，，，所以，則，所以.因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD且平面平面，所以平面PCD，因?yàn)槠矫?，所?【小問(wèn)2詳解】①設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為M，連接MQ，則在直角梯形，易知，因?yàn)?，，所?因?yàn)槠矫妫移矫?，平面平面，所以，則，即，故.②如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x，y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.因?yàn)椋?設(shè)平面QAC的法向量為，因?yàn)?，，所以令，?設(shè)直線DQ與平面QAC所成的角為，因?yàn)椋?，所以直線DQ與平面QAC所成角的正弦值為.19.已知雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別為，，左焦點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是線段OM的中點(diǎn).（1）求雙曲線的離心率.（2）過(guò)點(diǎn)M且斜率不為0的直線l與雙曲線的左，右兩支的交點(diǎn)分別為Q，P.①若直線l的斜率為1，，求雙曲線的方程；②連接QO并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)R，證明：.【答案】（1）2（2）①；②證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題意可得參數(shù)的等量關(guān)系，利用離心率的公式，可得答案；（2）由題意作圖，聯(lián)立方程寫出韋達(dá)定理，①由直線斜率與弦長(zhǎng)公式，可得答案，②利用垂直向量的坐標(biāo)表達(dá)，代入韋達(dá)定理，可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭蔷€段OM的中點(diǎn)，所以，即，所以雙曲線的離心率為2.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線，點(diǎn)，.