2024-2025學年高考數學考點第三章函數概念與基本初等函數Ⅰ函數的單調性與最值理

函數的單調性與最值1．函數的單調性(1)單調函數的定義增函數減函數定義一般地，設函數f

(x)的定義域為I，假如對于定義域I內某個區(qū)間D上的隨意兩個自變量的值x1，x2當x1<x2時，都有f

(x1)<f

(x2)，那么就說函數f

(x)在區(qū)間D上是增函數當x1<x2時，都有f

(x1)>f

(x2)，那么就說函數f(x)在區(qū)間D上是減函數圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調區(qū)間的定義假如函數y＝f

(x)在區(qū)間D上是增函數或減函數，那么就說函數y＝f

(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，區(qū)間D叫做y＝f

(x)的單調區(qū)間．2．函數的最值前提設函數y＝f

(x)的定義域為I，假如存在實數M滿意條件(1)對于隨意的x∈I，都有f

(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f

(x0)＝M(1)對于隨意的x∈I，都有f

(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f

(x0)＝M結論M為最大值M為最小值概念方法微思索1．在推斷函數的單調性時，你還知道哪些等價結論？提示對?x1，x2∈D，x1≠x2，eq\f(f

x1－f

x2,x1－x2)>0?f

(x)在D上是增函數；對?x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x2)·[f

(x1)－f

(x2)]>0?f

(x)在D上是增函數．減函數類似．2．寫出函數y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的增區(qū)間．提示(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)．1．（2024·新課標Ⅱ）設函數，則f(x)（）A.是偶函數，且在單調遞增 B.是奇函數，且在單調遞減C.是偶函數，且在單調遞增 D.是奇函數，且在單調遞減【答案】D【解析】由得定義域為，關于坐標原點對稱，又，為定義域上的奇函數，可解除AC；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，解除B；當時，，在上單調遞減，在定義域內單調遞增，依據復合函數單調性可知：在上單調遞減，D正確.2．（2024·北京卷）能說明“若f（x）>f（0）對隨意的x∈（0，2］都成立，則f（x）在［0，2］上是增函數”為假命題的一個函數是__________．【答案】（答案不唯一）【解析】對于，其圖象的對稱軸為，則f（x）>f（0）對隨意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是單調函數.1．（2024?平谷區(qū)一模）下列函數中，在區(qū)間上為增函數的是A． B． C． D．【答案】B【解析】依據題意，依次分析選項：對于，，為反比例函數，在上為減函數，不符合題意；對于，，為指數函數，在區(qū)間上為增函數，符合題意；對于，，為正弦函數，在上不是單調函數，不符合題意；對于，，是指數函數，在上為減函數，不符合題意；故選．2．（2024?西城區(qū)一模）下列函數中，值域為且在區(qū)間上單調遞增的是A． B． C． D．【答案】C【解析】依據題意，依次分析選項：對于，，其值域為，，不符合題意；對于，，其值域為，不符合題意；對于，，值域為且在區(qū)間上單調遞增，符合題意；對于，，在區(qū)間上為減函數，不符合題意；故選．3．（2024?安慶三模）若函數，在區(qū)間，和，上均為增函數，則實數的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】，，為實數集上的偶函數，由在區(qū)間，和，上均為增函數，知在，上為增函數，在，上為減函數，函數的對稱軸，得，．故選．4．（2024?天津二模）若，在定義域上是單調函數，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】在定義域上是單調函數時，①函數的單調性是增函數時，可得當時，，即，解之得時，是增函數，又時，是增函數，，得或因此，實數的取值范圍是：②函數的單調性是減函數時，可得當時，，即，解之得或．時，是減函數，又時，是減函數，，得或因此，實數的取值范圍是：綜上所述，得故選．5．（2024春?天津期末）下列函數中，在上為增函數的是A． B． C． D．【答案】C【解析】依據題意，依次分析選項：對于，為一次函數，在上為減函數，不符合題意；對于，為二次函數，在上為減函數，不符合題意；對于，為反比例函數，在上為增函數，符合題意；對于，，當時，，則函數在上為減函數，不符合題意；故選．6．（2024秋?武昌區(qū)期末）下列函數在上是增函數的是A． B． C． D．【答案】D【解析】對于，函數在遞減，不合題意；對于，函數在遞減，不合題意；對于，函數在遞減，不合題意；對于，函數在遞增，符合題意；故選．7．（2024春?鄭州期末）函數的單調減區(qū)間是A． B． C． D．【答案】A【解析】函數的導數為，令，解得．即有單調減區(qū)間為．故選．8．（2024?北京模擬）下列函數中，在內單調遞增，并且是偶函數的是A． B． C． D．【答案】C【解析】．的對稱軸為，為非奇非偶函數，不滿意條件．．是偶函數，但在內不是單調函數，不滿意條件．．為偶函數，在內單調遞增，滿意條件，．，內單調遞增，為非奇非偶函數，不滿意條件．故選．9．（2024春?武邑縣校級期中）函數在區(qū)間上單調遞增，那么實數的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【解析】依據題意，函數，其導數，若在區(qū)間上單調遞增，則在上恒成立，則有在上恒成立，必有，故選．10．（2024秋?東?？h期中）函數的單調減區(qū)間是A． B． C．，， D．和【答案】D【解析】依據題意，函數，其定義域為其導數，分析可得：當時，，即函數在上為減函數，當時，，即函數在上為減函數；綜合可得：函數的單調減區(qū)間是和；故選．11．（2024秋?鐘祥市校級期中）函數的單調遞減區(qū)間為A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，，此時函數為增函數，當時，，此時函數為減函數，即函數的單調遞減區(qū)間為，故選．12．（2024秋?金鳳區(qū)校級期中）下列函數在上單調遞增的是A． B． C． D．【答案】A【解析】依據題意，依次分析選項：對于，，在上單調遞增，符合題意；對于，，為反比例函數，在上單調遞減，不符合題意；對于，，為指數函數，在上單調遞減，不符合題意；對于，，為二次函數，在上單調遞減，不符合題意；故選．13．（2024秋?赫章縣期中）下列函數在，上單調遞減的是A． B． C． D．【答案】A【解析】依據題意，依次分析選項：對于，，為二次函數，其開口向下且對稱軸為，在，上單調遞減，符合題意；對于，，在上為增函數，不符合題意；對于，，在上為增函數，不符合題意；對于，，在上為增函數，不符合題意；故選．14．（2024秋?香坊區(qū)校級月考）已知函數，則函數的單調增區(qū)間是A． B． C．，， D．和．【答案】D【解析】依據題意，函數，其導數，易得在區(qū)間和上，，即函數在區(qū)間和．為增函數，故選．15．（2024春?溫州期中）函數在上是減函數．則A． B． C． D．【答案】B【解析】依據題意，函數在上是減函數，則有，解可得，故選．16．（2024?湖南模擬）定義在的函數與函數在，上具有相同的單調性，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，，【答案】B【解析】依據題意，函數，其定義域為，則上為減函數，在，上為減函數，必有，解可得，即的取值范圍為，；故選．17．（2024秋?金臺區(qū)期中）函數的單調遞增區(qū)間是A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】令，則，由的對稱軸為，可得函數在遞增，，遞減，而在上遞減，由復合函數的單調性：同增異減，可得函數的單調遞增區(qū)間是，，故選．18．（2024秋?天津期中）函數的單調遞增區(qū)間是A． B． C．， D．【答案】C【解析】令，解得：或，而函數的對稱軸是：，由復合函數同增異減的原則，故函數的單調遞增區(qū)間是，，故選．19．（2024秋?項城市校級月考）下列函數中，在區(qū)間上是遞增函數的是A． B． C． D．【答案】A【解析】．時，，該函數在上是遞增函數，；所以該選項正確．是一次函數，在上是遞減函數，所以該選項錯誤；．是反比例函數，在上是遞減函數，所以該選項錯誤；．是二次函數，在上是遞減函數，所以該選項錯誤．故選．20．（2024?西湖區(qū)校級模擬）函數的定義域為___________；單調遞減區(qū)間是___________．【答案】；，【解析】函數的定義域為；，令，得，函數的單調遞減區(qū)間為，．故答案為：；單調遞減區(qū)間為，．21．（2024?西湖區(qū)校級模擬）函數的單調遞增區(qū)間為___________，值域為___________．【答案】和，，，，【解析】，解得或，函數的單調遞增區(qū)間為和，，單調遞減區(qū)間為，，，，即函數在處有極大值，在處有微小值，所以函數的值域為，，．故答案為：和，，，，．22．（2024?浙江模擬）已知函數已知函數，則（4）___________；函數的單調遞減區(qū)間是___________．【答案】1，，【解析】（4）；（4）（1）；時，，對稱軸為；在，上單調遞減；的單調遞減區(qū)間為，．故答案為：1，，．23．（2024?河東區(qū)一模）已知函數在上是單調函數，則實數的取值范圍是___________．【答案】【解析】由題意知，，則，在上是單調函數，在上恒成立，則△，解得，實數的取值范圍是，故答案為：．24．（2024?永康市模擬）設函數，若（1），則實數___________，函數的單調增區(qū)間為___________．【答案】2，【解析】函數，可得（1），（1）（2），解得；的增區(qū)間為，．故答案為：2，25．（2024秋?徐匯區(qū)校級期中）函數的單調遞增區(qū)間為___________．【答案】，【解析】依據題意，，是開口向下的二次函數，其對稱軸為，故的單調遞增區(qū)間為，；故答案為：，．26．（2024秋?香坊區(qū)校級月考）函數的值域是___________，單調遞增區(qū)間是___________．【答案】，；，【解析】依據題意，函數，設，必有，解可得，必有，則，則有，即函數的值域為，；又由，必在區(qū)間，上為增函數，則，上為減函數，則函數的遞增區(qū)間為，；故答案為：，；，．27．（2024春?江陰市期中）已知在，上是單調函數，則實數的取值范圍為___________．【答案】或【解析】依據題意，為二次函數，其對稱軸為，若在，上是單調函數，則有或，解可得或，即的取值范圍為或；故答案為：或．28．（2024秋?駐馬店期末）已知是定義在，上的單調遞增函數，則不等式的解集是___________．【答案】，【解析】依據題意，是定義在，上的單調遞增函數，則，解可得：，即不等式的解集為，；故答案為：，．29．（2024秋?秦州區(qū)校級月考）已知函數，則的單調遞增區(qū)間是___________．【答案】【解析】；在上單調遞增；即的單調遞增區(qū)間為．故答案為：．30．（2024秋?思明區(qū)校級期中）函數的單調減區(qū)間為___________．【答案】，【解析】當時，，當時，，這樣就得到一個分段函數．的對稱軸為：，開口向上，時是增函數；，開口向下，對稱軸為，則時函數是增函數，時函數是減函數．即有函數的單調減區(qū)間是，．故答案為：，．31．（2024秋?定遠縣期末）若函數在區(qū)間上單調遞減，則實數的取值范圍是___________．【答案】【解析】函數函數的增區(qū)間為和，減區(qū)間是．在區(qū)間上單調遞減，，，，得，解之得故答案為：．32．（2024?西湖區(qū)校級模擬）已知函數（1）若，求函數的最小值．（2）求函數的單調區(qū)間．【解析】（1），在區(qū)間上單調遞增，所以在，上是增函數，所以（2）當時，在，上是增函數當時，在上遞減，在遞增，所以①當時，在，上是增函數；②當時，在上是減函數，在上是增函數；綜上所述，當時，在，上是增函數當時，在上是減函數，在上是增函數．33．（2024秋?秦淮區(qū)校級期中）（1）求函數的值域；（2）求函數的單調區(qū)間．【解析】（1），則，所以，因為拋物線開口向上，對稱軸為直線，所