2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.2隨機(jī)變量4.2.4第2課時(shí)離散型隨機(jī)變量的方差課后提升訓(xùn)練含解析新人教B版選擇性必修第二冊(cè)

PAGEPAGE1其次課時(shí)離散型隨機(jī)變量的方差課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.某人從家乘車到單位,途中有3個(gè)路口.假設(shè)在各路口遇到紅燈的事務(wù)是相互獨(dú)立的,且概率都是0.4,則此人上班途中遇到紅燈的次數(shù)的方差為()A.0.48 B.1.2C.0.72 D.0.6解析因?yàn)橥局杏黾t燈的次數(shù)X聽從二項(xiàng)分布,即X~B(3,0.4),所以D(X)=3×0.4×0.6=0.72.答案C2.已知隨機(jī)變量X的分布列為X135P0.40.10.5則X的標(biāo)準(zhǔn)差D(X)等于A.3.56 B.3C.3.2 D.3解析數(shù)學(xué)期望E(X)=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,由方差的定義,D(X)=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5=1.936+0.004+1.62=3.56.所以標(biāo)準(zhǔn)差D(答案D3.若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,則P(X=1)的值為()A.3×2-2 B.2-4C.3×2-10 D.2-8解析因?yàn)閄~B(n,p),所以E(X)=np,D(X)=np(1-p).所以np=6,所以P(X=1)=C121×1211答案C4.從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球,有放回地摸取5次.設(shè)摸得白球的個(gè)數(shù)為X,已知E(X)=3,則D(X)等于()A.85 B.C.45 D.解析由題意知X~B5,則E(X)=5×3m+3=3,解得m=所以D(X)=5×35答案B5.(2024浙江高考)設(shè)0<a<1.隨機(jī)變量X的分布列是X0a1P111則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí),()A.D(X)增大 B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小 D.D(X)先減小后增大解析由分布列得E(X)=1+a3,則D(X)=1+a3-02×13+1+a3-a2×13+1+a3-12×13=29a-122+16,所以當(dāng)a在(0,1)答案D6.已知隨機(jī)變量X~B(n,p),若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2,則P(X=2)=.(結(jié)果用數(shù)字表示)

解析∵D(Y)=4D(X)=3.2,∴D(X)=0.8.又X~B(n,p),∴np解得p=0.8,n=5.故P(X=2)=C52p2(1-p)3=答案327.若隨機(jī)事務(wù)A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p(0<p<1),用隨機(jī)變量X表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù),則方差D(X)的最大值為;2D(X)-解析隨機(jī)變量X的全部可能取值為0,1,由題意,得X的分布列為X01P1-pp,從而E(X)=0×(1-p)+1×p=p,D(X)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2.D(X)=p-p2=-p2-p+14+14=-p-122+14.因?yàn)?2D(X)-1E(X)=2p-2p2-1p=2-故2D(X)-1E答案142-28.某花店每天以每枝5元的價(jià)格購進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售.假如當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.(1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式;(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.①若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花,X表示當(dāng)天的利潤(單位:元),求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差;②若花店安排一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝?請(qǐng)說明理由.解(1)當(dāng)日需求量n≥16時(shí),利潤y=80.當(dāng)日需求量n<16時(shí),利潤y=10n-80.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y=10n-80,n<(2)①X可能的取值為60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.X的分布列為X607080P0.10.20.7X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.X的方差為D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.②答案一:花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,Y表示當(dāng)天的利潤(單位:元),那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.Y的方差為D(Y)=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出,D(X)<D(Y),即購進(jìn)16枝玫瑰花時(shí)利潤波動(dòng)相對(duì)較小.另外,雖然E(X)<E(Y),但兩者相差不大.故花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花.答案二:花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,Y表示當(dāng)天的利潤(單位:元),那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出,E(X)<E(Y),即購進(jìn)17枝玫瑰花時(shí)的平均利潤大于購進(jìn)16枝時(shí)的平均利潤.故花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花.實(shí)力提升練1.(2024山東高二月考)若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下,則X的方差D(X)=()X01Pm0.6A.0.6 B.0.4C.0.24 D.1解析由題意可得m+0.6=1,所以m=0.4,所以E(X)=0×0.4+1×0.6=0.6,所以D(X)=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24.故選C.答案C2.(多選)(2024山東高二期末)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿意Y=2X+1,則下列結(jié)果正確的是()A.q=0.1B.E(X)=2,D(X)=1.4C.E(X)=2,D(X)=1.8D.E(Y)=5,D(Y)=7.2解析因?yàn)閝+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正確;又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正確;因?yàn)閅=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正確.故選ACD.答案ACD3.(2024福建高二期末)現(xiàn)有一條零件生產(chǎn)線,每個(gè)零件達(dá)到優(yōu)等品的概率都為p.某檢驗(yàn)員從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽檢50個(gè)零件,設(shè)其中優(yōu)等品零件的個(gè)數(shù)為X.若D(X)=8,P(X=20)<P(X=30),則p=()A.0.16 B.0.2C.0.8 D.0.84解析∵P(X=20)<P(X=30),∴C5020p20(1-p)30<C5030p30(1化簡得1-p<p,即p>12又D(X)=8=50p(1-p),解得p=0.2或p=0.8,∴p=0.8,故選C.答案C4.(2024山東濟(jì)南高三月考)若X是離散型隨機(jī)變量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,又已知E(X)=43,D(X)=29,則|x1-x2|A.53 B.C.3 D.1解析∵23+∴隨機(jī)變量X的值只能為x1,x2,∴2解得x∴|x1-x2|=1.故選D.答案D5.隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,P(X=0)=0.2,D(X)=0.4,則E(X)=.

解析設(shè)P(X=2)=x,其中0≤x≤0.8,可得出P(X=1)=0.8-x,所以E(X)=0×0.2+1×(0.8-x)+2x=x+0.8,D(X)=(x+0.8)2×0.2+(x-0.2)2×(0.8-x)+(x-1.2)2×x=0.4,解得x=0.2或x=1.2(舍去),因此E(X)=0.2+0.8=1.答案16.(2024浙江高三專題練習(xí))已知袋中裝有大小相同質(zhì)地勻稱的5個(gè)球,其中3個(gè)黑球和2個(gè)白球,從袋中無放回地隨機(jī)取出3個(gè)球,記取出黑球的個(gè)數(shù)為X,則E(X)=,D(X)=.

解析由題意得X的全部可能取值為1,2,3,P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=C3所以X的分布列為X123P331所以E(X)=310×1+35×2+110×3D(X)=310×1-952+35×2-952+110×3-952=925答案97.(2024西藏拉薩那曲其次高級(jí)中學(xué)高二期末)已知隨機(jī)變量X的分布列為X01xP11p若E(X)=23(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.解(1)由題意可得12+13+p=1,得p=16,又E(X)=0×12+1×13+x∴D(X)=0-232×12+1-232×13+2-232×16=(2)∵Y=3X-2,∴D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=9×59=58.(2024天津?yàn)I海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高考模擬)某中學(xué)利用周末組織教職員工進(jìn)行了一次秋季登山健身的活動(dòng),有N個(gè)人參與.現(xiàn)將全部參與者按年齡狀況分為[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)七組.其頻率分布直方圖如圖所示,已知[25,30)這組的參與者是6人.(1)依據(jù)此頻率分布直方圖求N;(2)組織者從[45,55)這組的參與者(其中共有4名女老師,其余全為男老師)中隨機(jī)選取3名擔(dān)當(dāng)后勤保障工作,其中女老師的人數(shù)為X,求X的分布列、均值及方差;(3)已知[35,40)和[40,45)這兩組各有2名數(shù)學(xué)老師.現(xiàn)從這兩個(gè)組中各選取2人擔(dān)當(dāng)接待工作,設(shè)兩組的選擇互不影響,求兩組選出的人中恰有1名數(shù)學(xué)老師的概率.解(1)[25,30)這組頻率為0.03×5=0.15,所以N=60.15(2)[45,55)這組的參與者人數(shù)為(0.02+0.01)×5×40=6,所以X可能的取值為1,2,3,P(X=1)=C4P(X=2)=C4P(X=3)=C4X123P131E(X)=1×15+2×35+3×1D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×(3)[35,40)這組的參與者人數(shù)為0.04×5×40=8.[40,45)這組的參與者人數(shù)為0.03×5×40=6.恰有1名數(shù)學(xué)老師的概率為C2素養(yǎng)培優(yōu)練1.(2024河南高三月考)已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示,則下列說法正確的是()ξxyPyxA.存在x,y∈(0,1),E(ξ)>1B.對(duì)隨意x,y∈(0,1),E(ξ)≤1C.對(duì)隨意x,y∈(0,1),D(ξ)<12E(ξD.存在x,y∈(0,1),D(ξ)>1解析依題意可得E(ξ)=2xy,D(ξ)=(x-2xy)2y+(y-2xy)2x=(1-2y)2x2y+(1-2x)2y2x=[(1-2y)2x+(1-2x)2y]yx.因?yàn)閤+y=1,所以2xy≤(x當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào).即E(ξ)≤12,故A,B錯(cuò)誤∴D(ξ)=[(2x-1)2x+(1-2x)2y]yx=(1-2x)2(x+y)yx=(1-2x)2yx.∵0<x<1,∴-1<2x-1<1,∴0<(2x-1)2<1,∴D(ξ)<yx,即D(ξ)<12E(ξ),故C成立∵D(ξ)=(1-2x)2yx<xy≤14,故D錯(cuò)誤故選C.答案C2.(2024黑龍江牡丹江一中高二月考)某早餐店對(duì)一款新口味的酸奶進(jìn)行了一段時(shí)間試銷,定價(jià)為5元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應(yīng),每天的銷售數(shù)據(jù)依據(jù)[15,25],(25,35],(35,45],(45,55]分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計(jì)概率.試銷結(jié)束后,這款酸奶正式上市,廠家只供應(yīng)整箱批發(fā):大箱每箱50瓶,批發(fā)成本85元;小箱每箱30瓶,批發(fā)成本65元.由于酸奶保質(zhì)期短,當(dāng)天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,確定每天僅批發(fā)一箱(計(jì)算時(shí)每個(gè)分組取中間值作為代表,比如銷量為(45,55]時(shí)看作銷量為50瓶).(1)設(shè)早餐店批發(fā)一大箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤為隨機(jī)變量X,批發(fā)一小箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤為隨機(jī)變量Y,求X和Y的分布列;(2)從早餐店的收益角度和利用所學(xué)的學(xué)問作為決策依據(jù),該早餐店應(yīng)每天批發(fā)一大箱還是一小箱?(必需作出一種合理的選擇)解(1)若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為85元,依題意,銷量有20,30,40,50四種狀況.當(dāng)銷量為20瓶時(shí),利潤為5×20-85=15元,當(dāng)銷量為30瓶時(shí),利潤為5×30-85=65元,當(dāng)銷量為40瓶時(shí),利潤為5×40-85=115元,當(dāng)銷量為50瓶時(shí),利潤為5×50-85=165元.隨機(jī)變量X的分布列為X1565115165P0.30.40.20.1若早餐店批發(fā)一小箱,批發(fā)成本為65元,依題意,銷量有20,30兩種狀況.當(dāng)銷量為20瓶時(shí),