重難點突破：專題07 特殊的平行四邊形（解析版）

專題07特殊的平行四邊形重點矩形的性質(zhì)與判定；菱形的性質(zhì)與判定；正方形呃性質(zhì)與判定難點利用矩形的性質(zhì)進行證明和計算；矩形判定定理的證明及運用；正方形的性質(zhì)、判定的應(yīng)用方法易錯對矩形的判定方法的理解一、矩形（一）矩形的性質(zhì)1．有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形，即：矩形＝平行四邊形＋一個內(nèi)角是直角．2．矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì)，即對邊互相平行，對邊相等，對角相等，對角線互相平分．（二）矩形的判定1．定義法；2．對角線相等的平行四邊形是矩形；3．對角線平分且相等的四邊形是矩形；4．有三個角是直角的四邊形是矩形．（三）直角三角形斜邊中線的性質(zhì)1．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；2．直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成兩個等腰三角形，這兩個等腰三角形的面積相等；（四）矩形中的折疊問題矩形折疊問題中，折疊前后的兩個圖形對應(yīng)邊相等，通常建立模型利用勾股定理進行求解．【例1】如圖，矩形的對角線交于點O，平分交于點E，，則的大小是（

）A． B． C． D．以上答案都不對【答案】C【解析】解：∵矩形的對角線交于點O，∴DO=BO=CO=AO，∠ADC=∠DAB=90°，DC∥AB，∵平分，∴∠ADE=∠CDE==∠DEA，∴AD=AE，∵，∴∠ADO=∠ADE+∠EDO=45°+15°=60°，∴△ADO為等邊三角形，∴AO=AD=AE，∠DAO=60°，∴∠OAE=∠DAB-∠DAO=90°-60°=30°，∴．故選擇C．【例2】下列命題為真命題的是(

)A．對角線互相垂直的四邊形是矩形 B．對角線相等的四邊形是矩形C．四條邊都相等的四邊形是矩形 D．四個角都相等的四邊形是矩形【答案】D【解析】A、對角線互相垂直的四邊形不一定是矩形，故錯誤，是假命題；B、對角線相等的平行四邊形才是矩形，故錯誤，是假命題；C、四條邊相等的四邊形是菱形，故錯誤，是假命題；D、四個角相等的四邊形是矩形，正確，是真命題；故選：D．【例3】如圖，在中，，點，分別是邊，的中點，延長至，使，若，則的長是（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】C【解析】解：在中，，點是邊的中點，，∴，點，分別是邊，的中點，，，，∴，四邊形為平行四邊形，，故選：C【例4】如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D′、C′的位置，若∠EFB=60°，則∠AED′=(

）A．50° B．55° C．60° D．65°【答案】C【解析】解：由折疊知∠D′EF=∠DEF，∵四邊形ABCD為矩形，∴，∴∠EFB=∠DEF，∴∠D′EF=∠DEF=∠EFB=60°，∴∠AED′=180°?2∠D′EF=180°?60°×2=60°．故選：C．二、菱形（一）菱形的性質(zhì)及應(yīng)用1．菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)．2．菱形的四條邊都相等，菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．（二）菱形的面積菱形的面積=底×高=對角線乘積的一半．（三）菱形的判定菱形四種判定方法中，兩種是以平行四邊形為基礎(chǔ)的，另兩種是以四邊形為基礎(chǔ)的．【例5】如圖，菱形ABCD中，AC交BD于點O，DE⊥BC于點E，連接OE，若∠BCD＝50°，則∠OED的度數(shù)是（）A．35° B．30° C．25° D．20°【答案】C【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD=50°，∴O為BD中點，∠DBE=∠ABC=65°．∵DE⊥BC，∴在Rt△BDE中，OE=OB=OD，∴∠OEB=∠OBE=65°．∴∠OED=90°-65°=25°．故選：C．【例6】如圖，菱形ABCD的對角線的長分別為2和5，P是對角線AC上任一點（點P不與點A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，則陰影部分的面積是（）A．10 B．7.5 C．5 D．2.5【答案】D【解析】解：∵菱形ABCD的對角線的長分別為2和5，∴菱形ABCD的面積，∴，∵，，∴四邊形PEAF是平行四邊形，∴，∴陰影部分的面積，故選：D．【例7】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD，連接BD，∠BAD的角平分線交BD、BC分別于點O、E，若EC=3，CD=4，則BO的長為（

）A．4 B．3 C．2 D．3【答案】C【解析】解：連接DE．在直角三角形CDE中，EC=3，CD=4，根據(jù)勾股定理，得DE=5．∵AB=AD，AE平分∴AE⊥BD，BO=OD，∴AE垂直平分BD，∠BAE=∠DAE．∴DE=BE=5．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=5，∴BC=BE+EC=8，∴四邊形ABED是菱形，由勾股定理得出，∴，故選：C．三、正方形（一）正方形的性質(zhì)正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，正方形的四個角都是直角，四條邊都相等，正方形的兩條對角線相等并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角．（二）正方形的判定1．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；2．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；3．對角線互相垂直的矩形是正方形；4．對角線相等的菱形是正方形．【例8】如圖，將正方形沿直線折疊，點落在對角線上的點處，則的角度是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，∴，由折疊的性質(zhì)，則DE=DC，∴△CDE是等腰三角形，∴；故選：B．【例9】如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC⊥BD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，若AC＝BD＝2，則EF的長是（）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】解：分別取的中點為，連接，分別是的中點，，又，，四邊形是正方形，，故選：D．一、單選題1．下列性質(zhì)中，平行四邊形，矩形，菱形，正方形共有的性質(zhì)是（

）A．對角線相等 B．對角線互相垂直C．對角線互相平分 D．對角線平分內(nèi)角【答案】C【解析】∵平行四邊形的對角線互相平分，∴矩形，菱形，正方形的對角線也必然互相平分．故選：C．2．如圖，正方形ABCD的邊長為7，在各邊上順次截取，則四邊形EFGH的面積為（

）．A．20 B．25 C．30 D．35【答案】B【解析】∵正方形ABCD的邊長為7，四邊形ABCD是正方形∴四邊形EFGH的面積為故選：B3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中點，則CD的長為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，則AB=，∵D是AB的中點，∴CD=AB=5，故選：A．4．如圖，在菱形中，點、分別是、的中點，如果，那么菱形的周長是（

）A．16 B．24 C．28 D．32【答案】D【解析】解：點、分別是、的中點，，，四邊形是菱形，菱形的周長是：．故選：D．5．如圖，O是矩形的對角線的中點，E是邊的中點．若，則線段的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】解：∵在矩形ABCD中，，，O是矩形ABCD的對角線BD的中點，E是AB邊的中點，∴OE為的中位線，∴AD=2OE=6∴，∵點O為BD的中點，，∴，故選：C．6．如圖，點P是線段AB上任意一點，在AB同側(cè)作正方形ACDP、正方形PEFB，連接DF、PF，已知AB＝10，當△PDF的面積為8時，AP的長為（）A．2 B．8 C．2或8 D．4【答案】C【解析】解：設(shè)，則，四邊形和四邊形都是正方形，，，即，解得或，故選：C．二、填空題7．如圖，，，與交于點，點是的中點，．若，，則的長是__．【答案】【解析】解：，，點是的中點，，，，，，，，，，，故答案為：．8．如圖，長方形ABCO的邊AO，CO正好落在坐標軸上，且AB=4，OA=2，點D是線段OC上一點，點E為線段AB上一點，沿DE折疊，使點B與點O重合，點C落到C＇處，則此時點D的坐標為___．【答案】（2.5，0）【解析】解：∵AB∥OC，∴∠BED=∠EDO，由折疊的性質(zhì)可得BE=OE，∠BED=∠OED，∴∠EDO=∠OED，∴OE=OD，設(shè)BE=OE=x，則AE=4-x，∴在Rt△AEO中，由勾股定理得：，解得：，∴OE=OD=2.5，∴點D的坐標為（2.5，0）；故答案為（2.5，0）．三、解答題9．如圖①，在平行四邊形ABCD中，將對角線AC分別向兩端延長到點E和F，使得AE＝CF，連接DF，BE．(1)求證：△CDF≌△ABE；(2)如圖②，連接DE，BD，BF，若AC⊥BD，四邊形BEDF是何種特殊四邊形？【答案】(1)見解析(2)菱形【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DCF＝∠BAE，在△CDF和△ABE中，∴△CDF≌△ABE（SAS）；(2)證明：由（1）知△CDF≌△ABE，∴DF＝BE，∠DFC＝∠BEA．∴DF∥BE，∴四邊形BEDF為平行四邊形．∵AC⊥BD，∴EF⊥BD．∴BEDF為菱形，即四邊形BEDF是菱形．10．已知：如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，，點E，F(xiàn)分別為垂足．(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)求證：四邊形AECF是矩形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)證明：四邊形是平行四邊形，，，，在和中，，．(2)證明：，，四邊形是平行四邊形，，，在四邊形中，，四邊形是矩形．一、單選題1．如圖，正方形ABCD，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，有DE＝CF，AF與BE相交于點G．AB＝4，DE＝1，則AG的長是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】解：∵正方形ABCD，AB＝4，DE＝1，∴AD＝CD＝BC＝AB＝4，，AE＝AD－DE＝3∴又∵DE＝CF，∴AD－DE＝CD－CF，即AE＝DF，在△ABE和△DAF中∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∴，∴AG⊥BE，∵∴．故選：D．2．如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE＝CF，連接EF、BF，EF與對角線AC交于點O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，F(xiàn)C＝2，則AB的長為（

）A．2 B．4 C．4 D．6【答案】D【解析】∵四邊形ABCD是矩形，AE=CF，BE=BF，∴AE∥CF，∠ABC＝∠BCF＝90°，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，OA=OC，∴OA=OB=OC，BO⊥EF，∴∠ABO＝∠BAC=∠FBO，設(shè)∠ABO=x°，∵∠BEF＝2∠BAC，∴∠BEF＝2x，∴2x+x=90°，解得x=30°，∴∠ABF=60°，∴∠FBC=30°，∵CF=2，∴BF=BE=4，∴AB=BE+AE=6，故選D．3．如圖，在菱形中，添加一個條件不能證明的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，A.添加，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），故選項A正確，不合題意；B.添加，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），故選項B正確，不合題意；C.添加，根據(jù)SSA條件不能判斷△ABE和△CDF全等；故選項C不正確，符合題意；D.，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），故選項D正確，不合題意．故選C．4．如圖，正方形紙片的邊長為12，點F是上一點，將沿折疊，點D落在點G處，連接并延長交于點E．若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：設(shè)CF與DE交于點O，將△CDF沿CF折疊，點D落在點G處，GO=DO，CF⊥DG，四邊形ABCD是正方形，AD=CD，∠A=∠ADC=90°=∠FOD，，∠CFD+∠FCD=90°=∠CFD+∠ADE，∠ADE=∠FCD，在△ADE和△DCF中，(ASA)，AE=DF=5，AE=5，AD=12，DE=，CF⊥DG，，，，DO==GO，EG=故答案為：C5．如圖，D，E分別是AB，AC上的中點，F(xiàn)是DE上的一點，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，則EF的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】∵DE是△ABC的中位線，BC＝8，∴DE＝BC＝4．∵∠AFB＝90°，D是AB的中點，AB＝6，∴DF＝AB＝3，∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．故選：A．6．如圖，在銳角△ABC中，延長BC到點D，過點O作直線MNBC，MN分別交∠ACB、∠ACD的平分線于E，連接AE、AF，在下列結(jié)論中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，則OC的長為6；④當AO＝CO時，四邊形AECF是矩形．其中正確的是（）A．①④ B．①② C．①②③ D．②③④【答案】A【解析】MNBCEC平分角，F(xiàn)C平分角故結(jié)論①正確；若，則，，與△ABC是銳角三角形矛盾，故結(jié)論②錯誤；由上面分析知，△ECF是直角三角形，是斜邊中線，故，故結(jié)論③錯誤；由，，知四邊形AECF是矩形，故結(jié)論④正確．綜上，正確答案為：A二、填空題7．如圖，正方形ABCD和正方形AEFG的邊長分別為5cm和3cm，點E、G分別為AB、AD邊上的點，H為CF的中點，連接HG，則HG的長為______．【答案】【解析】解：如圖，延長GH交DC的延長線于N，∵正方形ABCD和正方形AEFG的邊長分別為5和3，∴AE∥GF∥CD，GF=AG=3，DC=AD=5，∴∠FGH=∠N，GD=2，∵點H是CF的中點，∴CH=FH，在△FGH和△CNH中，，∴△FGH≌△CNH（AAS），∴GH=HN，GF=CN=3，∴DN=DC+CN=8，∴GN=，∴GH=，故答案為：．8．如圖，在菱形ABCD中，點O是對角線的交點，OA=6，OB=8，在BC上取一點F，使得BF=3CF，取OA的中點E，點G為BD上的一動點，連接GE、GF，則GF-GE的最大值為_____．【答案】【解析】解：在菱形ABCD中，OA=6，OB=8，．在BC上取一點