專題11 相似形與解直角三角形-5年（2020-2024）中考1年模擬數(shù)學(xué)分類匯編（河北專用）

PAGE1試卷第=page22頁，共=sectionpages8787頁專題11相似形與解直角三角形相似形部分1．（2020·河北·中考真題）在如圖所示的網(wǎng)格中，以點(diǎn)為位似中心，四邊形的位似圖形是（

）A．四邊形 B．四邊形 C．四邊形 D．四邊形【答案】A【分析】以O(shè)為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形，根據(jù)圖像可判斷出答案．【詳解】解：如圖所示，四邊形的位似圖形是四邊形．故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了位似圖形的作法，畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心；②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連接上述各點(diǎn)，確定位似圖形．2．（2021·河北·中考真題）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示，此時(shí)液面（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出兩個(gè)高腳杯液體的高度，再通過三角形相似，建立其對應(yīng)邊的比與對應(yīng)高的比相等的關(guān)系，即可求出AB．【詳解】解：由題可知，第一個(gè)高腳杯盛液體的高度為：15-7=8（cm），第二個(gè)高腳杯盛液體的高度為：11-7=4（cm），因?yàn)橐好娑际撬降模瑘D1和圖2中的高腳杯是同一個(gè)高腳杯，所以圖1和圖2中的兩個(gè)三角形相似，∴，∴（cm），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，與圖形建立關(guān)聯(lián)，能靈活運(yùn)用相似三角形的判定得到相似三角形，并能運(yùn)用其性質(zhì)得到相應(yīng)線段之間的關(guān)系等，本題對學(xué)生的觀察分析的能力有一定的要求．3．（2022·河北·中考真題）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個(gè)釘點(diǎn)是邊長為1個(gè)單位長的小正方形頂點(diǎn)，釘點(diǎn)A，B的連線與釘點(diǎn)C，D的連線交于點(diǎn)E，則（1）AB與CD是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）AE＝．【答案】是/【分析】（1）證明△ACG≌△CFD，推出∠CAG=∠FCD，證明∠CEA=90°，即可得到結(jié)論；（2）利用勾股定理求得AB的長，證明△AEC∽△BED，利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：（1）如圖：AC=CF=2，CG=DF=1，∠ACG=∠CFD=90°，

∴△ACG≌△CFD，∴∠CAG=∠FCD，∵∠ACE+∠FCD=90°，∴∠ACE+∠CAG=90°，∴∠CEA=90°，∴AB與CD是垂直的，故答案為：是；（2）AB=2，∵AC∥BD，∴△AEC∽△BED，∴，即，∴，∴AE=AB=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．4．（2024·河北·中考真題）如圖，的面積為，為邊上的中線，點(diǎn)，，，是線段的五等分點(diǎn)，點(diǎn)，，是線段的四等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．（1）的面積為；（2）的面積為．【答案】【分析】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）證明，得，推出、、三點(diǎn)共線，得，繼而得出，，證明，得，推出，最后代入即可．【詳解】解：（1）連接、、、、，∵的面積為，為邊上的中線，∴，∵點(diǎn)，，，是線段的五等分點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)，，是線段的四等分點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，∴的面積為，故答案為：；（2）在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴、、三點(diǎn)共線，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等分點(diǎn)的意義，三角形的面積．掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·河北·中考真題）如圖1和圖2，平面上，四邊形中，，點(diǎn)在邊上，且．將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的平分線所在直線交折線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在該折線上運(yùn)動的路徑長為，連接．

(1)若點(diǎn)在上，求證：；(2)如圖2．連接．①求的度數(shù)，并直接寫出當(dāng)時(shí)，的值；②若點(diǎn)到的距離為，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，請直接寫出點(diǎn)到直線的距離．（用含的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)①，；②或(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和角平分線的概念得到，，然后證明出，即可得到；（2）①首先根據(jù)勾股定理得到，然后利用勾股定理的逆定理即可求出；首先畫出圖形，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求出，，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求解即可；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，分別求得，根據(jù)正切的定義即可求解；②當(dāng)在上時(shí)，則，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，證明，得出，，進(jìn)而求得，證明，即可求解；（3）如圖所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）∵將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，∴∵的平分線所在直線交折線于點(diǎn)，∴又∵∴∴；（2）①∵，，∴∵，∴，∴∴；如圖所示，當(dāng)時(shí)，

∵平分∴∴∴∴∵，∴∴，∴∵，∴∴，即∴解得∴．②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，

∵，∴，，∴，∴∴；如圖所示，當(dāng)在上時(shí)，則，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，

∵，∴，∴∴即∴，，∴∵∴，∴，∴∴解得：∴，綜上所述，的值為或；（3）解：∵當(dāng)時(shí)，∴在上，如圖所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，∴，，

∵，∴，∴，又，∴，又∵，∴，∴∵，，設(shè)，即∴，∴整理得即點(diǎn)到直線的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，求正切值，熟練掌握以上知識且分類討論是解題的關(guān)鍵．6．（2021·河北·中考真題）在一平面內(nèi)，線段，線段，將這四條線段順次首尾相接．把固定，讓繞點(diǎn)從開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角到某一位置時(shí)，，將會跟隨出現(xiàn)到相應(yīng)的位置．（1）論證

如圖1，當(dāng)時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，求證：；（2）發(fā)現(xiàn)

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角時(shí)，的度數(shù)可能是多少？（3）嘗試

取線段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)距離最大時(shí)，求點(diǎn)到的距離；（4）拓展

①如圖2，設(shè)點(diǎn)與的距離為，若的平分線所在直線交于點(diǎn)，直接寫出的長（用含的式子表示）；②當(dāng)點(diǎn)在下方，且與垂直時(shí)，直接寫出的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）或；（3）；（4）①；②．【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，由此即可得證；（2）分如圖（見解析）所示的兩種情況，先根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)、角的和差即可得；（3）先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，再畫出圖形（見解析），利用勾股定理求出的長，然后求出的值，最后在中，解直角三角形即可得；（4）①如圖（見解析），先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，再同（3）的方法可求出的長，然后證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得；②如圖（見解析），只需考慮的情形，先利用勾股定理可得，再同（3）的方法可求出的長，從而可得的長，然后證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和可求出的長，最后根據(jù)余弦三角函數(shù)的定義即可得．【詳解】證明：（1），，在和中，，，，，；（2）由題意，由以下兩種情況：①如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，，是等邊三角形，，，四邊形是菱形，，，；②如圖，當(dāng)點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，則，是等邊三角形，，綜上，的度數(shù)為或；（3）如圖，連接，，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則即為所求，，，設(shè)，則，，，解得，，，在中，，在中，，即當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)距離最大時(shí)，點(diǎn)到的距離為；（4）①如圖，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，平分，，，（等腰三角形的三線合一），設(shè)，則，，，解得，即，在和中，，，，即，解得；②初中階段沒有學(xué)習(xí)鈍角的余弦值，且，只需考慮的情形，如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，設(shè)，則，，，解得，，，設(shè)，則，在和中，，，，即，解得，，，解得，則．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識點(diǎn)，較難的是題（4），正確畫出相應(yīng)的圖形，并通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形和相似三角形是解題關(guān)鍵．7．（2020·河北·中考真題）如圖1和圖2，在中，，，．點(diǎn)在邊上，點(diǎn)，分別在，上，且．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿折線勻速移動，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止；而點(diǎn)在邊上隨移動，且始終保持．（1）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，求點(diǎn)與點(diǎn)的最短距離；（2）若點(diǎn)在上，且將的面積分成上下4：5兩部分時(shí)，求的長；（3）設(shè)點(diǎn)移動的路程為，當(dāng)及時(shí)，分別求點(diǎn)到直線的距離（用含的式子表示）；（4）在點(diǎn)處設(shè)計(jì)并安裝一掃描器，按定角掃描區(qū)域（含邊界），掃描器隨點(diǎn)從到再到共用時(shí)36秒．若，請直接寫出點(diǎn)被掃描到的總時(shí)長．【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（4）【分析】（1）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，PA⊥BC時(shí)PA最小，即可求出答案；（2）過A點(diǎn)向BC邊作垂線，交BC于點(diǎn)E，證明△APQ∽△ABC，可得，根據(jù)=可得，可得，求出AB=5，即可解出MP；（3）先討論當(dāng)0≤x≤3時(shí)，P在BM上運(yùn)動，P到AC的距離：d=PQ·sinC，求解即可，再討論當(dāng)3≤x≤9時(shí)，P在BN上運(yùn)動，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根據(jù)d=CP·sinC即可得出答案；（4）先求出移動的速度==，然后先求出從Q平移到K耗時(shí)，再求出不能被掃描的時(shí)間段即可求出時(shí)間．【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，PA⊥BC時(shí)PA最小，∵AB=AC，△ABC為等腰三角形，∴PAmin=tanC·=×4=3；（2）過A點(diǎn)向BC邊作垂線，交BC于點(diǎn)E，S上=S△APQ，S下=S四邊形BPQC，∵，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，∴，當(dāng)=時(shí)，，∴，AE=·，根據(jù)勾股定理可得AB=5，∴，解得MP=；（3）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，P在BM上運(yùn)動，P到AC的距離：d=PQ·sinC，由（2）可知sinC=，∴d=PQ，∵AP=x+2，∴，∴PQ=，∴d==，當(dāng)3≤x≤9時(shí)，P在BN上運(yùn)動，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，d=CP·sinC=（11-x）=-x+，綜上；（4）AM=2<AQ=，移動的速度==，①從Q平移到K，耗時(shí)：=1秒，②P在BC上時(shí)，K與Q重合時(shí)CQ=CK=5-=，∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP，∴∠QPC=∠BAP，又∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCQ，設(shè)BP=y，CP=8-y，，即，整理得y2-8y=，（y-4）2=，解得y1=，y2=，÷=10秒，÷=22秒，∴點(diǎn)被掃描到的總時(shí)長36-（22-10）-1=23秒．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，一次函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合知識點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．8．（2023·河北·中考真題）將三個(gè)相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1，正六邊形邊長為2且各有一個(gè)頂點(diǎn)在直線l上，兩側(cè)螺母不動，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中間正六邊形的一邊與直線l平行，有兩邊分別經(jīng)過兩側(cè)正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)．則圖2中（1）度．（2）中間正六邊形的中心到直線l的距離為（結(jié)果保留根號）．

【答案】【分析】（1）作圖后，結(jié)合正多邊形的外角的求法即可求解；（2）表問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，首先作圖，標(biāo)出相應(yīng)的字母，把正六邊形的中心到直線l的距離轉(zhuǎn)化為求，再根據(jù)正六邊形的特征及利用勾股定理及三角函數(shù)，分別求出即可求解．【詳解】解：（1）作圖如下：

根據(jù)中間正六邊形的一邊與直線l平行及多邊形外角和，得，，故答案為：；（2）取中間正六邊形的中心為，作如下圖形，

由題意得：，,，四邊形為矩形，，，，，在中，，由圖1知，由正六邊形的結(jié)構(gòu)特征知：，，，，又，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的特征，勾股定理，含度直角三角形的特征，全等三角形的判定性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握正六邊形的結(jié)構(gòu)特征．解直角三角形部分9．（2024·河北·中考真題）中國的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對太空的興趣．某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點(diǎn)P恰好看到一顆星星，此時(shí)淇淇距窗戶的水平距離，仰角為；淇淇向前走了后到達(dá)點(diǎn)D，透過點(diǎn)P恰好看到月亮，仰角為，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面的距離，點(diǎn)P到的距離，的延長線交于點(diǎn)E．（注：圖中所有點(diǎn)均在同一平面）(1)求的大小及的值；(2)求的長及的值．【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解仰角與俯角的含義以及三角函數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意先求解，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與正切的定義可得答案；（2）利用勾股定理先求解，如圖，過作于，結(jié)合，設(shè)，則，再建立方程求解，即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可得：，，，，，∴，，，∴，∴，；（2）解：∵，，∴，如圖，過作于，∵，設(shè)，則，∴，解得：，∴，∴．10．（2022·河北·中考真題）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O，其中水面截線．嘉琪在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，點(diǎn)M的俯角為7°．已知爸爸的身高為1.7m．(1)求∠C的大小及AB的長；(2)請?jiān)趫D中畫出線段DH，用其長度表示最大水深（不說理由），并求最大水深約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：取4，取4.1）【答案】(1)，(2)見詳解，約米【分析】（1）由水面截線可得，從而可求得，利用銳角三角形的正切值即可求解．（2）過點(diǎn)作，交MN于D點(diǎn)，交半圓于H點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)M作MG⊥OB于G，水面截線，即可得DH即為所求，由圓周角定理可得，進(jìn)而可得，利用相似三角形的性質(zhì)可得，利用勾股定理即可求得的值，從而可求解．【詳解】（1）解：∵水面截線，，，在中，，，，解得．（2）過點(diǎn)作，交MN于D點(diǎn)，交半圓于H點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)M作MG⊥OB于G，如圖所示：水面截線，，，，為最大水深，，，，且，，，即，即，在中，，，，即，解得，，最大水深約為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，主要考查了銳角三角函數(shù)的正切值、圓周角定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握解直角三角形的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．相似形部分11．（2024·河北保定·一模）如圖，嘉嘉要測量池塘兩岸A，B兩點(diǎn)間的距離，先在的延長線上選定點(diǎn)C，測得，再選一點(diǎn)D，連接，，作，交于點(diǎn)E，測得，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和比例的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴∴∴，即，解得．故選：C．12．（2024·河北衡水·一模）如圖，以的邊為邊作正方形，與，分別交于點(diǎn)F，G，若，，，則的長為（

）A．12 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理；過作，由三角形中位線定理可求出的長，由正方形的性質(zhì)及可判定，由全等三角形的性質(zhì)得，，由勾股定理得，即可求解；掌握判定方法及性質(zhì)，能根據(jù)題意作出輔助線，通過勾股定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過作，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，在和中，∴()，，，；故選：D．13．（2024·河北張家口·一模）如圖，點(diǎn)D在的邊上，添加一個(gè)條件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列說法不正確的是（

）

天冀的做法：添加條件．證明：∵，．∴（兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）往琛的做法：添加條件．證明：∵,．∴（兩組對應(yīng)邊成比例及一組對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似）A．天翼的做法證明過程沒有問題 B．往琛的做法證明過程沒有問題C．天翼的做法添加的條件沒有問題 D．往琛的做法添加的條件有問題【答案】B【分析】根據(jù)題意已知，故添加兩組對應(yīng)邊成比例夾角為或者添加一組對應(yīng)角相等，即可求解．本題考查了相似三角形的判定，正確記憶相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：依題意，，添加一組對應(yīng)角相等，可以使得，故天翼的做法以及過程沒有問題，往琛的做法添加的條件有問題，應(yīng)為，證明過程中用到兩組對應(yīng)邊成比例夾角相等，故B選項(xiàng)符合題意，故選：B．14．（2024·河北唐山·二模）將的各邊按如圖所示的方式向內(nèi)等距縮，得到，有以下結(jié)論：I與是相似三角形；Ⅱ與是位似三角形．下列判斷正確的是（

）A．Ⅰ，Ⅱ都正確 B．Ⅰ，Ⅱ都不正確C．Ⅰ正確，Ⅱ不正確 D．Ⅰ不正確，Ⅱ正確【答案】A【分析】本題考查了位似變換：兩個(gè)位似圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行或共線．先利用平行線的判定方法得到，，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，從而可判斷；分別延長、、，它們相交于一點(diǎn)，根據(jù)位似的定義可判斷與是位似三角形．【詳解】解：的各邊按如圖所示的方式向內(nèi)等距縮得到，，，，∴，，同理可得：，，所以Ⅰ正確；分別延長、、，它們相交于一點(diǎn)，如圖，與是位似三角形，所以Ⅱ正確．故選：A．15．（2024·河北石家莊·三模）手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的，圖1中小狗手影就是我們小時(shí)候常玩的游戲．在一次游戲中，小明距離墻壁4米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米，如圖2所示．若在光源不動的情況下，要使小狗手影的高度變?yōu)樵瓉淼囊话?，則光源與小明的距離應(yīng)（

）A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．減少1米【答案】C【分析】本題考查了中心投影、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題是關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解答問題，根據(jù)題意作出圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：如圖：點(diǎn)為光源，為小明的手，表示小狗手影，則，作，延長交于，則，，，∴，，∴，∴，∵米，米，∴，令，則，∵在光源不動的情況下，要使小狗手影的高度變?yōu)樵瓉淼囊话?，如圖，，即，，，∴，則，∴米，∴光源與小明的距離應(yīng)增加米，故選：C．16．（2024·河北邯鄲·二模）如圖是一把折疊椅子及其側(cè)面的示意圖，把一個(gè)簡易刻度尺與地面垂直放置，其中與“0”刻度線重合，點(diǎn)落在“3”刻度線上，與“5”刻度線重合，若測得，則的長是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)“相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比”列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，∴，∴，∵，∴，故選：B．17．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）如圖，圓桌正上方的燈泡（看作一個(gè)點(diǎn)）發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（圓形）．已知地面陰影（圓形）的直徑為1.5米，桌面距地面1米．若燈泡距離桌面2米，則桌面的直徑為（

）A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米【答案】D【分析】本題主要考查了位似圖形．熟練掌握相似三角形的判斷和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)，得到，得到，即得．【詳解】解：依題意知，，，∴，∴，∴，∵，，，∴，得，即桌面的直徑為1米．故選：D．18．（2024·河北滄州·三模）如圖，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，如果和的面積比為，則應(yīng)將放大為原圖形的（

）倍．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了中心位似圖形的性質(zhì)．熟練掌握中心位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，可知，則，可求，然后作答即可．【詳解】解：∵和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，∴，∴，解得，，∴應(yīng)將放大為原圖形的2倍，故選：B．19．（2024·河北邢臺·一模）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，以O(shè)為位似中心，作線段的位似圖形，若點(diǎn)D是點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是（

）A．C點(diǎn) B．F點(diǎn) C．E點(diǎn) D．G點(diǎn)【答案】D【分析】本題考查了位似變換．連接并延長，根據(jù)位似變換的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：如圖，連接，并延長，∵以O(shè)為位似中心，作線段的位似圖形，點(diǎn)D是點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)，∴位似比為，∴點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是G，故選：D．20．（2024·河北滄州·一模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，以點(diǎn)О為位似中心，的位似圖形可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)位似的性質(zhì)，連接，，，并延長，觀察交點(diǎn)即可求解【詳解】解：連接，，，并延長如圖所示，，∴的位似圖形是，故選：C．21．（2024·河北滄州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．以點(diǎn)為位似中心，在原點(diǎn)的另一側(cè)按的相似比將縮小，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是位似圖形的概念和性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或；根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，判斷即可．【詳解】解：以點(diǎn)O為位似中心，在原點(diǎn)的另一側(cè)按的相似比將縮小，將的橫縱坐標(biāo)先縮小為原來的為，再變?yōu)橄喾磾?shù)得，故選：D．22．（2024·河北滄州·一模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，以點(diǎn)O為位似中心，格點(diǎn)的位似圖形是格點(diǎn)，（三角形的頂點(diǎn)為M，N，P，Q，K，T中的三點(diǎn)），該三角形與的位似比為．

【答案】【分析】本題考查位似三角形，根據(jù)位似三角形的定義，進(jìn)行判斷，根據(jù)位似比等于相似比，求出位似比即可．【詳解】解：由題意和圖可知：以點(diǎn)O為位似中心，格點(diǎn)的位似圖形是格點(diǎn)，∴，該三角形與的位似比為；故答案為：；．23．（2024·河北石家莊·二模）《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖1和如圖2，正方形的邊長為，以它的對角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形，已知．（1）四邊形的外接圓半徑為．（2）將正方形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，達(dá)到如圖所示的位置，若點(diǎn)在線段延長線上，則長為．

【答案】【分析】本題考查位似圖形的性質(zhì)，正方形與圓的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；（1）根據(jù)正方形的邊長為4和位似比求出，進(jìn)而即可求解．解題關(guān)鍵求出正方形的邊長；（2）根據(jù)題意證明，設(shè)，在中，，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，連接，

正方形與四邊形是位似圖形，四邊形是正方形，，∴是四邊形的外接圓直徑，正方形的邊長為4，，，，四邊形的外接圓半徑為，故答案為：．（2）∵，∵點(diǎn)在線段延長線上，又∴又∴∴設(shè)，在中，∴解得：（負(fù)值舍去）故答案為：．24．（2024·河北秦皇島·模擬預(yù)測）如圖，和是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，，的頂點(diǎn)與的斜邊的中點(diǎn)重合，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段與線段相交于點(diǎn)，線段與射線相交于點(diǎn)．

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，求證：；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、三角形的外角性質(zhì)．（1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中點(diǎn)，利用，可證得：；（2）由和是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性質(zhì)，即可得，則可證得：．【詳解】（1）證明：是等腰直角三角形，，，，，是的中點(diǎn)，，在和中，，；（2）證明：和是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，，，即，，，．25．（2024·河北邯鄲·二模）嘉淇做數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)，如圖，已知：均為直角三角形，其中，現(xiàn)以為邊作四邊形，且，，點(diǎn)在一條直線上．第一步，如圖1，將的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，在上；第二步，如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)分別與邊交于點(diǎn)；第三步，如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)落在上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，此時(shí)點(diǎn)恰好在上；第四步，如圖4，在第三步的基礎(chǔ)上，點(diǎn)帶動立即沿邊從點(diǎn)向點(diǎn)平移，每秒個(gè)單位長度，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)整個(gè)過程中的運(yùn)動時(shí)間為ts．(1)如圖1，①______；②點(diǎn)到直線的距離是______；(2)如圖2，求證；(3)如圖3，當(dāng)從初始位置到點(diǎn)落在上時(shí)，求的長度；(4)當(dāng)點(diǎn)落在四邊形的邊上時(shí)，直接寫出對應(yīng)的值．【答案】(1)①=；②2；(2)見解析；(3)；(4)7或．【分析】對于（1），根據(jù)勾股定理解答即可；對于（2），根據(jù)“兩角相等的兩個(gè)三角形相似”證明即可；對于（3），如圖，連接，并說明，可求出，再求出，然后證明可得，進(jìn)而得出，再根據(jù)勾股定理求，可根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求出，然后根據(jù)勾股定理，得，最后根據(jù)求出答案．【詳解】（1）①；②2．根據(jù)勾股定理，得．根據(jù)題意，可知，∴，，∴，解得，所以點(diǎn)A到的距離是2．故答案為：，2；（2）根據(jù)題意可知，∴，；（3）如圖，連接，，則．，．，則．∵，，，∴．又．又根據(jù)勾股定理，得，，根據(jù)勾股定理，得，．（4）7或．由（3）知，當(dāng)從初始位置旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)落在上時(shí)，，則旋轉(zhuǎn)所用時(shí)間為；當(dāng)平移到點(diǎn)落在上時(shí)，如圖2，連接，由（3）知，，，在取點(diǎn)，使得，．設(shè)，則，由，得，解得∴點(diǎn)平移的距離為，平移所用的時(shí)間為，故當(dāng)平移到點(diǎn)落在上時(shí)，所運(yùn)動的總時(shí)間為．綜上所述，的值為7或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平移和旋轉(zhuǎn)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，畫出旋轉(zhuǎn)和平移的圖形并構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．解直角三角形部分26．（2024·河北張家口·三模）如圖，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，，則下列說法不正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】D【分析】本題考查了解直角三角形，三角形的外角性質(zhì)以及平行線的判定及性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行線的判定方法．根據(jù)平行線的判定判定選項(xiàng)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)及平行線的性質(zhì)判斷選項(xiàng)，利用解直角三角形求得，即可判斷選項(xiàng)，利用平行線的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)求得即可判斷選項(xiàng)．【詳解】解：∵，，，∴，∴，故正確，不符合題意；∵，，，∴，∴，故正確，不符合題意；∵，，∴∴，∴，故正確，不符合題意；∵，∴∵，∴故不正確，符合題意．故選：．27．（2024·河北邯鄲·三模）如圖所示，兩個(gè)邊長相等的正六邊形的公共邊為，點(diǎn)A，B，C在同一直線上，點(diǎn)，分別為兩個(gè)正六邊形的中心．則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系以及銳角三角函數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵．連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)E，設(shè)正六邊形的邊長為a，分別計(jì)算出和即可得到答案．【詳解】解：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)E，設(shè)正六邊形的邊長為a，則，在直角三角形中，，，∴，∴，∴，故選：C．28．（2024·浙江溫州·二模）圖1是一款折疊日歷，圖2是其側(cè)面示意圖，若，，，，則點(diǎn)A，D之間的距離為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了解直角三角形，等腰三角形性質(zhì)，連接和，作于點(diǎn)，由等腰三角形性質(zhì)可知，，三點(diǎn)共線，，，利用解直角三角形得到，，最后利用計(jì)算求解，即可解題．【詳解】解：連接和，作于點(diǎn)，，，，，三點(diǎn)共線，，，，，，，．故選：D．29．（2024·河北滄州·三模）如圖，點(diǎn)在三角板的斜邊上，，以為半徑作圓，交斜邊于另一點(diǎn)，其中為．則的值是（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，正弦．熟練掌握圓周角定理，正弦是解題的關(guān)鍵．如圖，連接，由，可得，進(jìn)而可求．【詳解】解：如圖，連接，∵，∴，∴，故選：C．30．（2024·河北石家莊·二模）如圖，點(diǎn)為外一點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)在圓上，分別連接和交于點(diǎn)和點(diǎn)，，且，若，則的比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．連接，得到是平行四邊形，則，然后得到，然后得到，利用解直角三角形求比值即可．【詳解】連接，∵∴是平行四邊形，∴∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，又∵∴，∴，∴，∴，故選A．31．（2024·河北張家口·三模）有一題目：“如圖，在四邊形中，，，，，將邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到，連接，．當(dāng)為直角三角形時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．”嘉嘉說：“角為．”而淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，角還應(yīng)有另外兩個(gè)不同的值．”下列判斷正確的是（

）A．淇淇說的對，且角的另外兩個(gè)值是，B．淇淇說的對，且角的另外兩個(gè)值是，C．淇淇說的不對，角就得D．兩人都不對，角僅有2個(gè)不同值【答案】B【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形等知識．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形是解題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，由題意知，當(dāng)為直角三角形時(shí)，分①；②；③；三種情況求解；然后判斷作答即可．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，由題意知，當(dāng)為直角三角形時(shí)，分①；②；③；三種情況求解；①當(dāng)時(shí)，如圖1，

∴，如圖1，作于，∴，∴重合，即，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖，連接，作于，∴，∴重合，即，∴在線段上，∴，∴；如圖，點(diǎn)在的延長線上，

同理，，∴；③當(dāng)時(shí)，如圖3，

∴在以為直徑的圓上運(yùn)動，同時(shí)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，由②可得，，∵，∴兩個(gè)圓無交點(diǎn)，即此情況不成立；綜上所述，角有3個(gè)不同值或或；∴淇淇說的對，且角的另外兩個(gè)值是，，故選：B．32．（2024·河北保定·二模）題目“如圖，，，P為線段上一動點(diǎn)，Q為點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)，連接．當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角為時(shí)，求的長．”甲的答案為；乙的答案為；丙的答案為，則下列說法正確的是（

）A．只有甲的答案對B．甲、乙兩人的答案合在一起才完整C．甲、丙兩人的答案合在一起才完整D．甲、乙、丙三人的答案合在一起才完整【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形，對稱的性質(zhì)，靈活運(yùn)用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵，分點(diǎn)Q在線段上，點(diǎn)Q在線段的延長線上，兩種情況討論即可．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)Q在線段上，時(shí)，，∴；②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段的延長線上，時(shí)，同理，可求得，∴，此時(shí)，即點(diǎn)P在線段上，此種情況符合條件；如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段的延長線上，時(shí)，，∴，此時(shí)，即點(diǎn)P不在線段上，此種情況不符合條件，∴甲、乙兩人的答案合在一起才完整，故選B．33．（2024·河北石家莊·三模）已知和都為等腰三角形，，，．（1）當(dāng)時(shí)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不在上時(shí)，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系為；（2）當(dāng)時(shí)，若，，時(shí)，的長為．【答案】5或【分析】（1）由，證明和都為等邊三角形，則，，，證明，進(jìn)而可得，（2）由題意知，，，則，同理（1），證明，則，可求；當(dāng)時(shí)，分當(dāng)在外部，當(dāng)在內(nèi)部兩種情況，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴和都為等邊三角形，∴，，∴，即，∵，∴，∴，故答案為：；（2）解：由題意知，，，∴，同理（1），∴，∴，即，解得，；當(dāng)時(shí)，分當(dāng)在外部，當(dāng)在內(nèi)部，兩種情況求解；當(dāng)在外部時(shí)，，如圖①，記的交點(diǎn)為，由題意知，，，，∵，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，由勾股定理得，，∴，，∴；當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，，如圖②，延長交于點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，即，，即，∴，由勾股定理得，，∴，∴；綜上所述，的長為5或，故答案為：5或．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，余弦，勾股定理等知識．熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，余弦是解題的關(guān)鍵．34．（2024·河北張家口·三模）如圖，是半圓的直徑，，是半圓上的兩點(diǎn)，，于點(diǎn)．（1）（用含的式子表示）；（2）若，則．【答案】【分析】（1）由圓周角定理得，進(jìn)而可得；（2）由設(shè)，，根據(jù)勾股定理求得，，再由垂徑定理及正切定義求解即可．【詳解】解：（）∵，∴，∵，∴，故答案為：；（）由設(shè)，，∴，，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、垂徑定理、圓周角定理以及解直角三角形，熟練掌握勾股定理及垂徑定理是解題得關(guān)鍵．35．（2024·河北石家莊·二模）如圖，正方形和等腰直角三角形放在水平地面上，，在兩個(gè)圖形上方按照圖中方式放置一個(gè)邊長為6的等邊三角形，經(jīng)測量，此時(shí)，（1）的度數(shù)為；（2）點(diǎn)K到的距離為【答案】【分析】此題考查解直角三角形、正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識，適當(dāng)添加輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)求出，再求出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可得到答案；（2）延長交點(diǎn)，作于點(diǎn)N，則，證明，求出，證明四邊形是矩形，得到，即可得到，即可得到點(diǎn)K到的距離．【詳解】解：（1）∵如圖，正方形和等腰直角三角形放在水平地面上，∴，∴，∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴故答案為：（2）延長交點(diǎn)，作于點(diǎn)N，則，∴，∴∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴,∴解得，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴∴四邊形是矩形，∴，∴，即點(diǎn)K到的距離為，故答案為：．36．（2024·河北石家莊·二模）某興趣小組研制的智能操作機(jī)器人，如圖1，水平操作臺為l，高為，連桿長度為，手臂的長度為，B，C是轉(zhuǎn)動點(diǎn)，且，與始終在同一平面內(nèi)．(1)轉(zhuǎn)動連桿，手臂，使，，如圖2，求手臂端點(diǎn)離操作臺的高度的長（精確到，參考數(shù)據(jù)：，）．(2)物品在操作臺上，距離底座A端的點(diǎn)M處，轉(zhuǎn)動連桿，手臂端點(diǎn)能否碰到點(diǎn)？請說明理由．【答案】(1)手臂端點(diǎn)離操作臺的高度的長約為(2)不能，理由見解析【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得，，，再解直角三角形可得的長，由此即可得；（2）當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，利用勾股定理求出的長，由此即可得．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，∵，∴，在中，，則，答：手臂端點(diǎn)離操作臺的高度的長約為．（2）解：手臂端點(diǎn)不能碰到點(diǎn)，理由如下：由題意可知，如圖，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，手臂端點(diǎn)能碰到的距離最遠(yuǎn)，∴此時(shí)，∵，，∴，即手臂端點(diǎn)不能碰到點(diǎn)．37．（2024·河北廊坊·二模）嘉嘉使用桌上書架如圖所示．嘉嘉發(fā)觀，當(dāng)書架與桌面的夾角時(shí)，頂部邊緣處離桌面的高度的長為，此時(shí)舒適度不太理想．嘉嘉調(diào)整書架與桌面的夾角大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角時(shí)（點(diǎn)是的對應(yīng)點(diǎn)），舒適度較為理想．(1)書架在旋轉(zhuǎn)過程中，求頂部邊緣點(diǎn)到走過的路徑長(2)如圖這個(gè)平面圖形，如果嘉嘉的眼睛在處．當(dāng)她看書上距離桌面高度為的點(diǎn)時(shí)，她向下看的俯角為，眼睛到桌面高度，求此時(shí)眼睛到點(diǎn)的距離，即的長度．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)邊緣點(diǎn)到走過的路徑長(2)．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（）利用平角定義先求出，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，進(jìn)而利用弧長公式求解即可．（）過點(diǎn)作，于點(diǎn)、，則四邊形是矩形，，在中，解直角三角形即可得解．【詳解】（1）解：∵，∴，在中，，∴，由題意得：，∵，∴，∴邊緣點(diǎn)到走過的路徑長．（2）解：過點(diǎn)作，于點(diǎn)、，則四邊形是矩形，，∴，∴，∵向下看的俯角為，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形、度直角三角形的性質(zhì)、求弧長以及矩形的判定及性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形、度直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．38．（2024·河北唐山·二模）圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能被識別），其示意圖如圖2，攝像頭A的仰角、俯角均為，攝像頭高度，識別的最遠(yuǎn)水平距離．

(1)如圖2，張亮站在攝像頭前水平距離的點(diǎn)G處，恰好能被識別（頭的頂部在仰角線），求張亮的身高約是多少厘米；(2)夕夕身高，頭部高度為，踮起腳尖可以增高，此時(shí)夕夕能被識別嗎?請計(jì)算說明．（精確到，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)張亮的身高約厘米(2)夕夕能被識別【分析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及到的知識點(diǎn)有銳角三角函數(shù)中的正切值、矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)生活實(shí)際題結(jié)合數(shù)學(xué)相關(guān)知識．解題的重點(diǎn)在于熟練掌握相關(guān)概念、性質(zhì)和全等方法．（1）根據(jù)正切值求出長度，再利用矩形性質(zhì)得出，，從而求出結(jié)論．（2）過點(diǎn)作的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)，，交水平線于點(diǎn)，求出與踮起腳尖后的高度進(jìn)行比較，即可求出答案．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)，，交水平線于點(diǎn)，如圖所示，

則，四邊形是矩形，，在中，．．，張亮的身高約厘米．（2）解：夕夕能被識別，理由如下：過點(diǎn)作的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)，，交水平線于點(diǎn)，如圖所示，

同（1）知，四邊形是矩形，，，，夕夕能被識別．39．（2024·河北石家莊·三模）圖1是一臺實(shí)物投影儀，圖2是它的示意圖，折線表示固定支架，垂直水平桌面于點(diǎn)，點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，可轉(zhuǎn)動，當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，投影探頭始終垂直于水平桌面，經(jīng)測量：，，，．(1)如圖2，當(dāng)時(shí)，，求投影探頭的端點(diǎn)到桌面的距離；(2)如圖3，將（1）中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，投影探頭是否會與桌面OE發(fā)生碰撞？請說明理由．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，，，）【答案】(1)(2)不會，見解析【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．（1）延長交于點(diǎn)，易得，在中，解直角三角形得出的長，再利用線段的和差關(guān)系計(jì)算即可得出答案；（2）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，由題意得出，求出，在中，解直角三角形求出的長，再利用線段的和差關(guān)系計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：延長交于點(diǎn)，，，，，在中，，，，，，投影探頭的端點(diǎn)到桌面的距離，投影探頭的端點(diǎn)到桌面的距離約為；（2）解：投影探頭不會與桌面發(fā)生碰撞，理由：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，由題意得：，，，在中，，，，投影探頭的端點(diǎn)到桌面的距離．投影探頭不會與桌面發(fā)生碰撞．40．（2024·河北保定·二模）司南是我國古代辨別方向用的一種儀器．其早在戰(zhàn)國時(shí)期就已被發(fā)明，是現(xiàn)在所用指南針的始祖．如圖，司南中心為一圓形，圓心為點(diǎn)O，直徑為20，根據(jù)八個(gè)方位將圓形八等分（圖2中點(diǎn)A～H），過點(diǎn)E作的切線與的延長線交于點(diǎn)M，連接．(1)相鄰兩個(gè)方位間所夾的圓心角的度數(shù)為______．(2)求的長．(3)求線段與的長，并比較大?。敬鸢浮?1)(2)(3)，的長為，的長【分析】本題考查圓的切線性質(zhì)、圓周角定理、弧長公式、三角形的內(nèi)角和定理、解直角三角形等知識，熟練掌握圓中相關(guān)性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)八個(gè)方位將圓形八等分直接求解即可；（2）根據(jù)圓周角定理和三角形的內(nèi)角和定理可求得，然后解直角三角形即可求解；（3）根據(jù)切線性質(zhì)得到，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可求得；連接，根據(jù)圓周角定理得到，然后利用弧長公式求得的長，然后比較大小即可．【詳解】（1）解：∵八個(gè)方位將圓形八等分，∴相鄰兩個(gè)方位間所夾的圓心角的度數(shù)為，故答案為：．（2）解：∵為的直徑，∴．由題意知，∴，∴．（3）解：∵為的切線，∴．由（2）知，∴．如圖，連接，則．∵，∴，則的長為．∵，∴的長．41．（2024·河北邯鄲·二模）一款手動鍘切刀的側(cè)面示意圖如圖1所示，圓弧形刀刃和手柄構(gòu)成刀身，點(diǎn)M，P，Q總在一直線上，與切割槽在轉(zhuǎn)軸（點(diǎn)Q）處連接．延長支撐桿交切割槽于點(diǎn)K，當(dāng)鍘切刀繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)時(shí)，與的另一個(gè)交點(diǎn)為T（圖3），已知．(1)如圖2，當(dāng)與相切時(shí)，，求弦和的長；(2)如圖3，在鍘切刀從與相切的位置開始下降的過程中（點(diǎn)P未經(jīng)過），判斷的度數(shù)是否改變，若改變說明理由；若不改變，求出的度數(shù)．（結(jié)果保留一位小數(shù)，）【答案】(1)，的長度；(2)的度數(shù)不改變，總為【分析】（1）過點(diǎn)作，垂足為．過點(diǎn)作，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，利用銳角三角函數(shù)求出，再證明為等邊三角形，根據(jù)弧長公式即可求解；（2）根據(jù)圓周角定理求解即可【詳解】（1）解：如圖1，所在圓與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．過點(diǎn)作，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接所在圓的圓心為點(diǎn)．，．在中，，．在中，，．，，為等邊三角形，，的長度；（2）的度數(shù)不改變，總為．如圖2，由（1）可知，在鍘切刀從與相切的位置開始下降的過程中，為等邊三角形，，圓周角所夾弧所對的圓心角為，，的度數(shù)不改變，總為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，確定圓心，弧長公式，正確作出輔助線是關(guān)鍵．42．（2024·河北石家莊·二模）為了提高學(xué)生的行車安全意識，某學(xué)校數(shù)學(xué)活動小組設(shè)計(jì)了如圖所示的模擬公路單點(diǎn)測速實(shí)驗(yàn)：先在筆直車道旁取一點(diǎn)安置測速儀，再在車道上確定兩點(diǎn)、，當(dāng)車輛經(jīng)過、兩點(diǎn)時(shí)，測速儀就會自動拍攝車輛的照片，根據(jù)兩張照片的時(shí)間差和的距離就可以測算出車速．測得點(diǎn)到車道的距離為，，.（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）(1)求的長（每一步的計(jì)算結(jié)果均精確到）；(2)《道路交通安全法》規(guī)定：普通道路行駛的小型機(jī)動車超速未超不扣分，只罰款，超速超過但未超過扣分并罰款，超速超過以上，扣分并罰款．若該路段對汽車限速，某小型汽車從到用時(shí)，這輛車是否超速了？如果超速了，駕駛員將受到哪種處罰？【答案】(1)(2)駕駛員超速未超，不扣分，只罰款【分析】（）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，解和得，，再根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解；（）求出汽車的速度為，與限速比較即可判斷，再求出超速的速度即可得出駕駛員將受到哪種處罰；本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，在中，∵，∴，在中，∵，∴，∴；（2）汽車的速度為，∵，∴汽車超速了，，∵，∴駕駛員超速未超，不扣分，只罰款．43．（2024·河北滄州·三模）如圖，，，，分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接，與相交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)直線與圓相切時(shí)，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留）【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】本題主要考查全等三角形的判定，求角的正切值以及不規(guī)則圖形的面積：（1）由得，，根據(jù)證明，得，由可得結(jié)論；（2）求出由勾股定理求出，從而可求出的值；（3）過作于，求出，根據(jù)陰影部分的面積的面積扇形的面積求解即可【詳解】（1）證明：，，，在和中，，，，又，；（2）解：直線與圓相切，，，，，在中，，，，；（3）解：過作于，，，，，陰影部分的面積的面積扇形的面積．44．（2024·河北邯鄲·二模）小明在一段斜坡上進(jìn)行跑步訓(xùn)練．在訓(xùn)練過程中，始終有一架無人機(jī)在小明正上方隨他一起運(yùn)動，無人機(jī)速度為，距水平地面的高度總為（在直線上運(yùn)動）．現(xiàn)就小明訓(xùn)練中部分路段作出如圖函數(shù)圖象：已知點(diǎn)坐標(biāo)是，斜坡的坡角為．

(1)請直接寫出小明在斜坡上的跑步速度．(2)求段關(guān)于的函數(shù)解析式；(3)若小明沿方向運(yùn)動，求無人機(jī)與小明之間距離不超過的時(shí)長．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查一次函數(shù)圖象的運(yùn)用，行程問題，解直角三角形的運(yùn)用，掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)解直角三角形可求的值，根據(jù)無人機(jī)的速度可求出時(shí)間，由此即可求解；（2）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；（3）根據(jù)無人機(jī)與小明的路程，分別求值的解析式，根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：已知點(diǎn)坐標(biāo)是，，無人機(jī)速度為，如圖所示，作于點(diǎn)，

∴，，在中，，無人機(jī)從的時(shí)間為：，∴小明在斜坡上的跑步速度為；（2）解：，∴，∴，且，設(shè)直線所在直線的解析式為，∴，解得，，∴直線所在直線的解析式為；（3）解：設(shè)直線的解析式為，且，∴，解得，，∴直線的解析式為，∵無人機(jī)與小明之間距離不超過，∴在段時(shí)，，即，解得，；在段時(shí)，，解得，；∴，∴∴小明沿方向運(yùn)動，無人機(jī)與小明之間距離不超過的時(shí)長為．45．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)，連接、，設(shè)長為（）．(1)A的長為________．(2)求長度（用含的代數(shù)式表示）．(3)當(dāng)點(diǎn)落在直線上時(shí)，求的值．(4)探究：直線會與的邊或垂直嗎？如果會，請直接寫出的值．【答案】(1)(2)(3)(4)會，或【分析】（1）根據(jù)正弦的定義解即可得到答案；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，進(jìn)而得到，再由軸對稱的性質(zhì)可得；（3）先求出，再證明，得到，則；由軸對稱的性質(zhì)可得，解可得方程，解得；（4）當(dāng)時(shí)，延長交于點(diǎn)G，由勾股定理得，則，由軸對稱的性質(zhì)可得，，則，求出則，解，得到，解得；當(dāng)時(shí)，延長交于點(diǎn)M，則，則，解得到，解中，得到，，進(jìn)而得到，再解中得到，解得，據(jù)此可得答案．【詳解】（1）解：∵在中，，，，∴，故答案為：；（2）解：∵點(diǎn)D是斜邊的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴由軸對稱的性質(zhì)可得（3）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)F落在直線上時(shí)，∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴，∵D為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，由軸對稱的性質(zhì)可得，∵，∴，∴在中，，∴，解得；（4）解：當(dāng)時(shí)，延長交于點(diǎn)G，在中，，∴，由軸對稱的性質(zhì)可得，，∴，∴，∴∴，∵在中，，∴，解得；當(dāng)時(shí)，延長交于點(diǎn)M，則，∴，∴，∴中，∴∵在中，∴，∴，∴，在中，，∴，解得．綜上所述，x的值為1或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等等，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．46．（2024·河北唐山·二模）如圖1，在中，，，為銳角，且．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊向點(diǎn)C運(yùn)動，連接，將繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．(1)點(diǎn)B到的距離為；(2)當(dāng)時(shí)，求的長；(3)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的值；(4)若點(diǎn)P的運(yùn)動速度為每秒1個(gè)單位長，直接寫出點(diǎn)Q在區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時(shí)長．【答案】(1)8(2)或10(3)2(4)【分析】（1）過點(diǎn)作，在中，利用銳角三角函數(shù)，求出的長即可；（2）分點(diǎn)在點(diǎn)的上方和下方，兩種情況進(jìn)行討論求解即可；（3）過點(diǎn)作，延長交的延長線于點(diǎn)，證明，根據(jù)，設(shè)，得到，，平行得到，進(jìn)而得到，求出的值，再利用正切的定義求解即可；（4）求出點(diǎn)在上和在上時(shí)的值，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作，在，，，∴，∴到的距離為；（2）∵，∴，在中，，在中，當(dāng)在點(diǎn)下方時(shí)：，當(dāng)在點(diǎn)上方時(shí)：；綜上：或10；（3）過點(diǎn)作，延長交的延長線于點(diǎn)，∵，∴，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴，∴，∴，∵，∴設(shè)，則：，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（4）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，則：，由（1）知：，∴，∴秒；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，則：，由（1）知：，則：，∴，同法（3）可得：，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，∴秒，∴點(diǎn)Q在區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時(shí)長為秒．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵．47．（2024·河北石家莊·三模）綜合與實(shí)踐【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在正方形中，E為對角線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)B作的垂線，過點(diǎn)C作的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)F，連接，①求證：．②當(dāng)正方形的邊長為，時(shí)，則__________．【類比探究】（2）如圖2，在矩形中，E為對角線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)B作的垂線，過點(diǎn)C作的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)F，且，連接，求的值．【拓展延伸】（3）如圖3，在（2）的條件下，將E改為直線上的動點(diǎn)，其余條件不變，取線段的中點(diǎn)M，