2021-2022學(xué)年上海市浦東新區(qū)華東師大二附中高二上學(xué)期期中考數(shù)學(xué)試卷含詳解

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年上海市浦東新區(qū)華東師大二附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共10題，滿分30分）1．（3分）兩條異面直線所成的角的取值范圍是．2．（3分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線AC1與平面ABB1A1所成角的大小為．3．（3分）若正四面體ABCD的棱長為，則異面直線AB與CD之間的距離為．4．（3分）將一個(gè)正方形繞著它的一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積為27π，則該幾何體的全面積為．5．（3分）某圓錐的底面積為4π，側(cè)面積為8π，則該圓錐的母線與底面所成角的大小為．6．（3分）有一根高為3π，底面半徑為1的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為（結(jié)果用π表示）．7．（3分）北京大興國際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和，例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為4π，則四棱錐的總曲率為．8．（3分）已知三棱錐A﹣BCD的側(cè)棱兩兩互相垂直，且該三棱錐的外接球的體積為36π，則該三棱錐的側(cè)面積的最大值為．9．（3分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面ACC1A1上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則滿足條件的所有點(diǎn)P所圍成的平面區(qū)域的面積是．10．（3分）在三棱錐S﹣ABC中，已知SA＝4，SB≥7，SC≥9，AB＝5，BC≤6，AC≤8．則三棱錐S﹣ABC體積的最大值為．二、選擇題（本大題共有4題，滿分12分）11．（3分）已知向量，，x∈R，則“x＝﹣1”是“∥”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件12．（3分）下列命題為真命題的是（）A．若直線l與平面α上的兩條直線垂直，則直線l與平面α垂直 B．若兩條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行 C．若兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面垂直 D．若直線l上的不同兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則直線l與平面α平行13．（3分）幾何體Γ的表面上有三條線段AB、CD、EF，有AB、CD、EF所在直線兩兩異面，則在①棱柱；②棱錐；③圓柱；④圓錐；⑤球中，Γ有可能是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．③④⑤14．（3分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P是線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中真命題的序號(hào)為（）①A1P∥平面ACD1；②A1P⊥B1D；③三棱錐P﹣ACD1體積不變；④P為BC1中點(diǎn)時(shí)，直線PC與平面ACD1所成角最大．A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④三、解答題（本大題共有4題，滿分0分）15．已知M、N是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱B1C1、C1D1的中點(diǎn)，異面直線MN與AB1所成角的大小為．（1）求證：M、N、B、D在同一平面；（2）求二面角C﹣MN﹣C1的大?。?6．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬P﹣ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，過棱PC的中點(diǎn)E，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F，連接DE，DF，BD，BE．（1）證明：PB⊥平面DEF．試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；（2）若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為，求的值．17．如圖，AA1、BB1為圓柱OO1的母線，BC是底面圓O的直徑，D、E分別是AA1、CB1的中點(diǎn)，DE⊥平面CBB1．（1）證明：DE∥平面ABC；（2）若BB1＝BC，求CA1與平面BB1C所成角的大?。?8．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1．（1）若正方體的棱長為1，求點(diǎn)A到平面A1BD的距離；（2）在一個(gè)棱長為10的密封正方體盒子中，放一個(gè)半徑為1的小球，任意搖動(dòng)盒子，求小球在盒子中不能達(dá)到的空間的體積；（3）在空間里，是否存在一個(gè)正方體，它的定點(diǎn)A、B、C、D、A1、B1、C1、D1到某個(gè)平面的距離恰好為0、1、2、3、4、5、6、7，若存在，求出正方體的棱長，若不存在，說明理由．

2021-2022學(xué)年上海市浦東新區(qū)華東師大二附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共10題，滿分30分）1．解：由異面直線所成角的定義可知：過空間一點(diǎn)，分別作相應(yīng)直線的平行線，兩條相交直線所成的直角或銳角為異面直線所成的角故兩條異面直線所成的角的取值范圍是（0，]故答案為：（0，]2．解：設(shè)AB＝a，因?yàn)锳BCD﹣A1B1C1D1是正方體，所以CB⊥平面ABB1A1，所以直線AC1在平面ABB1A1的投影是AB1，C1B1⊥AB1，所以直線AC1與平面ABB1A1所成角為∠C1AB1，tan∠C1AB1＝＝＝，所以∠C1AB1＝arctan．故答案為：arctan．3．解：如圖，分別取AB、CD的中點(diǎn)E、F，連接AF、BF、CE、DE、EF，∴CE＝DE＝AF＝BF＝＝，∴EF⊥AB且EF⊥CD，則EF的長是異面直線AB與CD的距離，則EF＝＝＝1．故答案為：1．4．解：將一個(gè)正方形繞著它的一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體為圓柱，設(shè)正方形的邊長為a，則圓柱的體積為V＝πa2?a＝27π，解得a＝3，所以圓柱的全面積為S＝2π×3×3+2×π×32＝36π．故答案為：36π．5．解：由圓錐的底面積為4π，πr2＝4π，r＝2，圓錐側(cè)面積公式S＝πrl＝π×2×l＝8π，解得l＝4，設(shè)母線與底面所成角為θ，則cosθ＝＝，∴θ＝，故答案為：．6．解：∵圓柱形鐵管的高為3π，底面半徑為1，又∵鐵絲在鐵管上纏繞2圈，且鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則我們可以得到將圓柱面展開后得到的平面圖形如圖示：其中每一個(gè)小矩形的寬為圓柱的周長2πcm，高為圓柱的高3π，則大矩形的對(duì)稱線即為鐵絲的長度最小值．此時(shí)鐵絲的長度最小值為：＝5π故答案為：5π．7．解：由題意可知，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和，可以從整個(gè)多面體的角度考慮，所有頂點(diǎn)相關(guān)的面角就是多面體的所有多邊形表面的內(nèi)角的集合，由圖可知四棱錐有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)三角形，1個(gè)四邊形，所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)為三角形，1個(gè)為四邊形組成，所以面角和為4π+2π＝6π，故總曲率為5×2π﹣6π＝4π．故答案為：4π．8．解：以該三棱錐的三條側(cè)棱為長、寬、高，將該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，長方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑．令A(yù)B＝x，AC＝y(tǒng)，AD＝z，根據(jù)三棱錐外接球體積V＝πr3＝36π，所以球的半徑r＝3，∴x2+y2+z2＝（2×3）2＝36．S側(cè)＝xy+xz+yz≤（x2+y2）+（x2+z2）+（z2+y2）＝（x2+y2+z2）＝18，（當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)，等式成立．）所以該三棱錐的側(cè)面積的最大值為18．故答案為：18．9．解：因?yàn)?，所以D1P⊥CP，故P在以CD1為直徑的球面上，且P在平面ACC1A1上，則P在面ACC1A1截球所得的圓上，設(shè)該圓半徑r，且正方體棱長為2，則CD＝2，球半徑R＝＝，連接B1D1，則B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，所以B1D1⊥平面ACC1A1，所以D1到平面ACC1A1的距離d1＝＝，因?yàn)镺為CD1中點(diǎn)，所以O(shè)到平面ACC1A1的距離d＝＝，所以圓半徑r＝＝，圓面積S＝πr2＝．故答案為：．10．解：∵在三棱錐S﹣ABC中，SA＝4，SB≥7，SC≥9，AB＝5，BC≤6，AC≤8，∴S△SAB＝SA?SB?sin∠SAB，又cos∠SAB＝≤﹣，∴sin∠SAB≤，∴S△SAB＝×4×5×sin∠SAB≤4．設(shè)點(diǎn)C到面SAB的距離為h，則h≤CB≤6，根據(jù)三棱錐S﹣ABC體積V＝?S△SAB?h≤×4×6＝8，故答案為：8．二、選擇題（本大題共有4題，滿分12分）11．解：由∥，可設(shè)＝k，于是（1，x，﹣1）＝k（x，1，1），∴，解得k＝﹣1＝x．∴“x＝﹣1”是“∥”的充要條件．故選：C．12．解：對(duì)于A，若直線l與平面α上的兩條直線垂直，只有當(dāng)平面α上的兩直線是相交線時(shí)，才有直線l與平面α垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若兩條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，則由線面垂直的性質(zhì)得這兩條直線平行，故B正確；對(duì)于C，若兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面相交或平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線l上的不同兩點(diǎn)到平面α的距離相等，設(shè)A、B是直線l上兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)A、B在平面α的同側(cè)，則l∥α，若兩點(diǎn)A、B在平面α的異側(cè)，且線段AB的中點(diǎn)在α上，則l與α相交，故D錯(cuò)誤．故選：B．13．解：根據(jù)幾何體的特征：在棱柱中有AB、CD、EF所在直線兩兩異面；在棱錐中有AB、CD、EF所在直線兩兩異面；在圓柱中有AB、CD、EF所在直線兩兩異面；故選：A．14．解：對(duì)于①，因?yàn)锳BCD﹣A1B1C1D1是正方體，所以平面ACD1∥平面A1BC1，因?yàn)锳1P?平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，所以①對(duì)；對(duì)于②，因?yàn)锽1D⊥平面A1BC1，又因?yàn)锳1P?平面A1BC1，所以B1D⊥A1P，所以②對(duì)；對(duì)于③，因?yàn)椤鰽CD1面積為定值，又因?yàn)锽C1∥平面ACD1，所以P到平面ACD1距離為定值，所以三棱錐P﹣ACD1體積不變，所以③對(duì)；對(duì)于④，平面ACD1∥平面A1BC1，所以PC與平面ACD1成角等于PC與平面A1BC1成角，因?yàn)镻C在平面BB1C1C上，∠A1OB1為平面A1BC1與平面BB1C1C成角的二面角，所以PC與平面A1BC1成角小于等于∠A1OB1，所以④正確．故選：D．三、解答題（本大題共有4題，滿分0分）15．（1）證明：因?yàn)镸、N是B1C1、C1D1的中點(diǎn)，所以MN∥B1D1，因?yàn)锳BCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，所以四邊形BB1D1D是矩形，所以BD∥B1D1，所以BD∥MN，所以M、N、B、D在同一平面．（2）解：由（1）知MN⊥A1C1，又因?yàn)镋N為CE在平面A1B1C1D1內(nèi)投影，所以CE⊥MN，所以∠C1EC為二面角C﹣MN﹣C1的平面角，設(shè)正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長為a，高為h．因?yàn)镸N∥B1D1．所以異面直線MN與AB1所成角等于∠OB1A＝，cos∠OB1A＝＝＝，所以h＝，tan∠C1EC＝＝＝2，所以∠C1EC＝arctan（2）．16．（解法1）（1）因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PDC，所以BC⊥DE．又因?yàn)镻D＝CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC．而PC∩CB＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如圖所示，在面BPC內(nèi)，延長BC與FE交于點(diǎn)G，則DG是平面DEF與平面ACBD的交線．由（1）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．又因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD．所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，設(shè)PD＝DC＝1，BC＝λ，有BD＝，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB＝∠FDB＝，則tan＝tan∠DPF＝＝＝，解得．所以＝＝故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時(shí)，＝．（解法2）（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PD＝DC＝1，BC＝λ，則D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），＝（λ，1，﹣1），點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以E（0，，），＝（0，，），于是＝0，即PB⊥DE．又已知EF⊥PB，而ED∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF．因＝（0，1，﹣1），＝0，則DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）由PD⊥底面ABCD，所以＝（0，0，1）是平面ACDB的一個(gè)法向量；由（1）知，PB⊥平面DEF，所以＝（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一個(gè)法向量．若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為，則運(yùn)用向量的數(shù)量積求解得出cos＝＝，解得．所以＝＝故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時(shí)，＝．17．（1）證明：取BB1中點(diǎn)F，連接FD、FE，AA1、BB1為圓柱OO1的母線，所以四邊形AA1B1B為矩形，因?yàn)镈、E分別是AA1、CB1的中點(diǎn)，所以FD∥AB，F(xiàn)E∥BC，又因?yàn)镕D∩FE＝F，AB∩BC＝B，點(diǎn)F?平面ABC，所以平面DEF∥平面ABC，又因?yàn)镈E?平面DEF，所以DE∥平面ABC．（2）解：作圓柱OO1的母線，連接B1C1，O1為B1C1中點(diǎn)，連接O1O，E為O1O中點(diǎn)，四邊形A1O1ED是矩