2024-2025學年上海浦外附中高一上學期數(shù)學期末試卷（2025.01）（含答案）

浦東外國語2024學年第一學期高一年級數(shù)學期末2025.1一、填空題（共36分，每題3分）1．角的終邊在第_________象限．2．函數(shù)的零點為________．3．已知，則方程的解集為________．4．計算________．5．已知函數(shù)和其反函數(shù)的圖像都過點（1，2），則________．6．已知扇形的面積為，弧長為，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為________．7．方程的解是________．8．在直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的正半軸重合．若點在角終邊上，且，則________．9．設為常數(shù)且，在上是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是________．10．設函數(shù)，其表達式為，關于的方程有三個不等實根，，，則的取值范圍是________．11．已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為________．12．關于函數(shù)，其表達式為，給出下列結論：①函數(shù)的圖像關于軸對稱；②如果方程（為常數(shù)）有解，則解的個數(shù)一定是偶數(shù)：③方程一定有實數(shù)解：以上結論正確的是________．二、選擇題（共12分，每題3分）13．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．已知函數(shù)的表達式為，用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次經過計算得，，則其中一個零點所在區(qū)間和第二次應計算的函數(shù)值分別為（）A．， B．，G．， D．，15．已知函數(shù)的定義域為，值域為，則的最大值為（）A． B． C． D．216．定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，且，則不等式的解集為（）．A． B．C． D．三、解答題（共52分）17．（本題10分）已知函數(shù)的表達式．（1）證明：函數(shù)在其定義域上是嚴格減函數(shù)；（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)是奇函數(shù)？并說明理由．18．（本題8分）已知．（1）化簡并求；（2）若角為第二象限角，且，求的值．19．（本題10分）學校要建造一個面積為10000平方米的運動場．如圖，運動場由一個矩形和分別以、為直徑的兩個半圓組成．跑道是一條寬8米的塑膠跑道，運動場除跑道外，其它地方均鋪設草皮．已知塑膠跑道每平方米造價為150元，草皮每平方米造價為30元．（1）設半圓的半徑（米），試建立塑膠跑道面積與的函數(shù)關系式；（2）由于條件限制，問當取何值時，運動場造價最低？（精確到元）．20．（本題12分）已知函數(shù)．（1）若恒成立，求的最大值：（2）若在上是嚴格單調函數(shù)，求的取值范圍；（3）求在上的最小值為，求．21．（本題12分）若函數(shù)在其定義域內給定區(qū)間上存在實數(shù)滿足，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，是它的一個均值點．（1）已知函數(shù)的表達式是，判斷函數(shù)是否是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，并說明理由；（2）已知函數(shù)的表達式是，若函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍：（3）已知函數(shù)的表達式是，其中為正整數(shù)，函數(shù)是區(qū)間（為正整數(shù)）上的“平均值函數(shù)”，1是函數(shù)的一個均值點，求所有滿足條件實數(shù)對．參考答案一、填空題1.三;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.①③11．已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】當時，，此時；當且時，，此時，又∵，不滿足；當且時，，由對勾函數(shù)單調性可知在，上嚴格增，在上嚴格減，∴，此時，若要滿足函數(shù)的值域為，只需要，解得；當且時，∵均在上嚴格增，∴在上嚴格增，且時，時，此時，此時顯然能滿足函數(shù)的值域為．綜上可知，的取值范圍是．12．關于函數(shù)，其表達式為，給出下列結論：①函數(shù)的圖像關于軸對稱；②如果方程（為常數(shù)）有解，則解的個數(shù)一定是偶數(shù)：③方程一定有實數(shù)解：以上結論正確的是________．【答案】①③【解析】對①，令，解得，可知的定義域為，定義域關于原點對稱，且，則為偶函數(shù)，

即其圖像關于軸對稱，故①正確；

對于②：當時，方程只有1個解，故②錯誤；

對③，當時，則，因為在上單調遞增，且恒成立，所以在上單調遞減，

當時，則，

因為在上單調遞減，且恒成立，所以在上單調遞增，

可得的函數(shù)圖像如下：

方程根的個數(shù)即為函數(shù)與的交點個數(shù)，

由圖像可得：當時，函數(shù)與函數(shù)的圖像一定有交點，

由對稱性可知，當時，函數(shù)與函數(shù)的圖像也一定有交點，故③正確．故答案為：①③.二、選擇題13.A14.D15.B16.D15．已知函數(shù)的定義域為，值域為，則的最大值為（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

令，解得或，∵函數(shù)的定義域為，值域為，

由圖象可得，的最大值為．故選：B．16．定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，且，則不等式的解集為（）．A． B．C． D．【答案】D【解析】因為定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，且，所以的圖象大致如圖所示：由，

①當時，，即或，解得或；

②當時，，即或（舍），解得；

綜上，，或或．故選：.三．解答題17.（1）證明略（2）存在，18.（1）（2）19.（1）（2）當時，運動場造價最低，為元.20．（本題12分）已知函數(shù)．（1）若恒成立，求的最大值：（2）若在上是嚴格單調函數(shù)，求的取值范圍；（3）求在上的最小值為，求．【答案】（1）（2）（3）或5．【解析】已知函數(shù)，

（1）由題意得恒成立，則，解得，所以的最大值為．

（2）由題意得圖象的對稱軸為直線，

所以在上單調遞減，在上單調遞增．

因為在上單調，所以或，解得或，即的取值范圍為

（3）當，即時，在上單調遞增，解得，符合題意；

當，即時，在上單調遞減，解得，舍去；

當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，，解得或，舍去）.故或5．21．（本題12分）若函數(shù)在其定義域內給定區(qū)間上存在實數(shù)滿足，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，是它的一個均值點．（1）已知函數(shù)的表達式是，判斷函數(shù)是否是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，并說明理由；（2）已知函數(shù)的表達式是，若函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍：（3）已知函數(shù)的表達式是，其中為正整數(shù)，函數(shù)是區(qū)間（為正整數(shù)）上的“平均值函數(shù)”，1是函數(shù)的一個均值點，求所有滿足條件實數(shù)對．【答案】（1）是