2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運(yùn)算6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算習(xí)題含解析新人教A版必修第二冊

.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.(多選題)下面四種說法,其中正確的是()A.對于實(shí)數(shù)m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mbB.對于實(shí)數(shù)m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-naC.對于實(shí)數(shù)m和向量a,b,若ma=mb,則a=bD.對于實(shí)數(shù)m,n和向量a,若ma=na,則m=n解析由數(shù)乘向量運(yùn)算律,得A,B均正確.對于C,若m=0,由ma=mb,未必肯定有a=b,錯(cuò)誤.對于D,若a=0,由ma=na,未必肯定有m=n,錯(cuò)誤.答案AB2.(2024江蘇高一檢測)在△ABC中,M是BC的中點(diǎn).若=a,=b,則=()A.(a+b) B.(a-b)C.a+b D.a+b解析在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),又=a,=b,所以=a+b,故選D.答案D3.已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,則()A.A,B,D三點(diǎn)共線 B.A,B,C三點(diǎn)共線C.A,C,D三點(diǎn)共線 D.B,C,D三點(diǎn)共線解析∵向量=2a+4b,=a+2b,∴=2,即A,B,D三點(diǎn)共線.答案A4.已知在△ABC中,向量=λ()(λ∈R),則點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過△ABC的()A.垂心 B.內(nèi)心 C.外心 D.重心解析設(shè)D為BC中點(diǎn),則=2,∴=2λ,即點(diǎn)P在中線AD所在直線上,可知點(diǎn)P軌跡必過△ABC的重心.答案D5.若=5e,=-7e,且||=||,則四邊形ABCD的形態(tài)是.

解析由已知得=-,因此,且||≠|(zhì)|,所以四邊形ABCD是梯形.又因?yàn)閨|=||,所以四邊形ABCD是等腰梯形.答案等腰梯形6.已知a與b是兩個(gè)不共線的向量,且向量(a+λb)與(b-3a)共線,則λ的值為.

解析由向量共線可得a+λb=k(b-3a),即a+λb=kb-3ka,∴(1+3k)a=(k-λ)b.∵a,b不共線,∴解得λ=-.答案-7.如圖,在△ABC中,D,F分別是BC,AC的中點(diǎn),AE=AD,=a,=b.(1)用a,b分別表示向量;(2)求證:B,E,F三點(diǎn)共線.(1)解∵)=(a+b),∴(a+b).∵b,∴=-a+b.(2)證明由(1)知=-a+b,=-a+(a+b)=-a+b=,∴.∴共線.又BE,BF有公共點(diǎn)B,∴B,E,F三點(diǎn)共線.8.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求-a-b+(2b-a);(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.解(1)原式=a-b-a+b+2b-a=a+b=-a+b.∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-(3i+2j)+(2i-j)=i+j=-i-5j.(2)將3x-y=b兩邊同乘2,得6x-2y=2b.與5x+2y=a相加,得11x=a+2b,∴x=a+b.∴y=3x-b=3-b=a-b.實(shí)力提升練1.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿意=0,若實(shí)數(shù)λ滿意=λ,則λ的值為()A.2 B. C.3 D.6解析-2.又=0,即=-,∴=-3=λ=-λ,∴λ=3.答案C2.(多選題)生于瑞士的數(shù)學(xué)巨星歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個(gè)定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同始終線上.”這就是聞名的歐拉線定理.在△ABC中,O,H,G分別是外心、垂心和重心,D為BC邊的中點(diǎn),下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的是()A.GH=2OG B.=0C.AH=2OD D.S△ABG=S△BCG=S△ACG解析在△ABC中,O,H,G分別是外心、垂心和重心,畫出圖形,如圖所示.對于B,依據(jù)三角形的重心性質(zhì)得=0,選項(xiàng)B正確;對于A,C,∵AH∥OD,∴△AHG∽△DOG,∴=2,∴GH=2OG,AH=2OD,選項(xiàng)A,C正確;對于D,過點(diǎn)G作GE⊥BC,垂足為E,∴△DEG∽△DNA,則,∴△BGC的面積為S△BGC=×BC×GE=×BC××AN=S△ABC;同理,S△AGC=S△AGB=S△ABC,選項(xiàng)D正確.答案ABCD3.在平行四邊形ABCD中,,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,則λ+μ=.

解析由平面對量的加法運(yùn)算,有.因?yàn)?λ+μ=λ()+μ()=λ+μ=.所以,即1--μ=λ+-1.∵不共線,∴解得故λ+μ=.答案4.(2024浙江高一期中)已知點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),若滿意6-2=0,且S△ABC=λS△ABM,則實(shí)數(shù)λ的值是.

解析記2.∵+2-2=0,∴=2,S△ABC=S△ABN.又S△ABM=S△ABN,∴S△ABC=3S△ABM,從而有λ=3.答案35.已知在△OBC中,點(diǎn)A是線段BC的中點(diǎn),點(diǎn)D是線段OB的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B),設(shè)=a,=b.(1)用向量a與b表示向量;(2)若,推斷C,D,E是否共線,并說明理由.解(1)∵=a,=b,點(diǎn)A是BC的中點(diǎn),∴=-a.∴=-a-b.(2)C,D,E不共線.理由如下,假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使=λ.∵=a+b+(-b)=a+b,)=2a+(-a+b)=a+b,∴a+b=λ,∴此方程組無解,∴不存在實(shí)數(shù)λ,滿意=λ.∴C,D,E三點(diǎn)不共線.6.在△ABC中,點(diǎn)P是AB上一點(diǎn),且,Q是BC的中點(diǎn),AQ與CP的交點(diǎn)為M,且=t,求t的值.解∵,∴3=2,即2-2.∴2,即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A),如圖所示.∵A,M,Q三點(diǎn)共線,∴設(shè)=x+(1-x)+(x-1),又,∴.又,且=t,∴=t.