2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.1隨機(jī)事件的概率學(xué)案含解析北師大版必修3

PAGE第三章概率§1隨機(jī)事務(wù)的概率學(xué)問點頻率與概率[填一填]1．隨機(jī)事務(wù)的概率在相同的條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗時，隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)旁邊搖擺，即隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性．這時，我們把這個常數(shù)叫作隨機(jī)事務(wù)A的概率，記為P(A)．我們有0≤P(A)≤1.2．頻率與概率之間的聯(lián)系在相同條件S下重復(fù)n次試驗，事務(wù)A出現(xiàn)了m次，稱n次試驗中事務(wù)A出現(xiàn)的次數(shù)m為事務(wù)A的頻數(shù)，稱事務(wù)A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(m,n)為事務(wù)A出現(xiàn)的頻率．頻率反映了一個隨機(jī)事務(wù)出現(xiàn)的頻繁程度，但頻率是隨機(jī)的，而概率是一個確定的值，因此，人們用概率來反映隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性大?。趯嶋H問題中，某些隨機(jī)事務(wù)的概率往往難以準(zhǔn)確得到，因此，我們經(jīng)常通過做大量的重復(fù)試驗，用隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的頻率作為它的概率的估計值．[答一答]1．頻數(shù)與頻率的取值范圍是多少？提示：由于隨機(jī)事務(wù)A在各次試驗中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以它在n次試驗中發(fā)生的次數(shù)(稱為頻數(shù))nA可能等于0(n次試驗中A一次也不發(fā)生)，可能等于1(n次試驗中A只發(fā)生一次)……也可能等于n(n次試驗中A發(fā)生n次)．我們說事務(wù)A在n次試驗中發(fā)生的頻數(shù)nA是一個隨機(jī)變量，它的可能取值為0,1,2，…，n.頻數(shù)是一個整數(shù)，其取值范圍為0≤nA≤n.隨機(jī)事務(wù)A的頻率fn(A)＝eq\f(nA,n)也是一個隨機(jī)變量，它的可能取值介于0與1之間，即0≤fn(A)≤1.2．某種彩票的中獎概率為eq\f(1,1000)，那么買1000張彩票肯定中獎，對嗎？提示：不對．某種彩票的中獎概率為eq\f(1,1000)，那么買1000張這樣的彩票不肯定就能中獎，因為買彩票是隨機(jī)的，每張彩票可能中獎，也可能不中獎．因此，買1000張彩票，可能沒有一張能夠中獎，也可能有多張中獎．“彩票的中獎概率為eq\f(1,1000)”是指試驗次數(shù)相當(dāng)大，即隨著購買彩票的張數(shù)的增加，大約有eq\f(1,1000)的彩票中獎，明顯彩票不中獎的概率為eq\f(999,1000)，1000張彩票都不中獎的概率為(eq\f(999,1000))1000，則購買1000張彩票中獎的概率為1－(eq\f(999,1000))1000≈0.6323.頻率與概率之間的區(qū)分與聯(lián)系(1)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近于概率，在實際問題中，通常事務(wù)發(fā)生的概率未知，常用頻率作為它的估計值．(2)頻率本身是隨機(jī)的，是一個變量，在試驗前不能確定，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗得到的事務(wù)發(fā)生的頻率可能會不同．比如，全班每個人都做了10次擲勻稱硬幣的試驗，但得到正面朝上的頻率可以是不同的．(3)概率是一個確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次的試驗無關(guān)．比如，假如一枚硬幣是質(zhì)地勻稱的，則擲硬幣出現(xiàn)正面朝上的概率是0.5，與做多少次試驗無關(guān)．類型一頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)分【例1】下列關(guān)于概率和頻率的敘述正確的有______________．(把符合條件的全部答案序號填在橫線上)①隨機(jī)事務(wù)的概率具有穩(wěn)定性，是一個詳細(xì)的數(shù)值，而頻率不是一個固定的數(shù)值②隨機(jī)事務(wù)的頻率是一個在區(qū)間(0,1)上的隨機(jī)數(shù)字，沒有任何規(guī)律③概率可以看作頻率在理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性大小，而頻率在大量重復(fù)試驗的前提下可近似地看作這個事務(wù)的概率【解析】本題考查概率和頻率之間的聯(lián)系與區(qū)分，隨機(jī)事務(wù)的頻率，指此事務(wù)發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值，它雖然不是一個固定的數(shù)值，會在某一個常數(shù)旁邊搖擺，但是隨著試驗次數(shù)的增加，這種搖擺幅度越來越小，也漸漸接近概率．【答案】①③規(guī)律方法頻率與概率的區(qū)分與聯(lián)系：區(qū)分：頻率反映了一個隨機(jī)事務(wù)出現(xiàn)的頻繁程度，是隨機(jī)的；概率是一個確定的值，它反映了隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性的大?。?lián)系：頻率是概率的估計值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率．(1)下列說法正確的是(D)A．由生物學(xué)知道生男生女的概率約為0.5，一對夫婦先后生兩小孩，則肯定為一男一女B．一次摸獎活動中，中獎概率為0.2，則摸5張票，肯定有一張中獎C．10張票中有1張獎票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎票的可能性大D．10張票中有1張獎票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎票的概率都是0.1(2)有以下一些說法：①昨天沒有下雨，則說明“昨天氣象局的天氣預(yù)報降水概率為95%”是錯誤的；②“彩票中獎的概率是1%”表示買100張彩票肯定有1張會中獎；③做10次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次正面朝上，因此正面朝上的概率為eq\f(3,10)；④某廠產(chǎn)品的次品率為2%，但該廠的50件產(chǎn)品中可能有2件次品．其中錯誤說法的序號是①②③.解析：(1)一對夫婦生兩小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正確；中獎概率為0.2是說中獎的可能性為0.2，當(dāng)摸5張票時，可能都中獎，也可能中一張、兩張、三張、四張，或者都不中獎，所以B不正確；10張票中有1張獎票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸到獎票的概率都是0.1，所以C不正確；D正確．(2)①中降水概率為95%，仍有不降水的可能，故①錯；②中“彩票中獎的概率是1%”表示在設(shè)計彩票時，有1%的機(jī)會中獎，但不肯定買100張彩票肯定有1張會中獎，故錯誤；③中正面朝上的頻率為eq\f(3,10)，概率仍為eq\f(1,2)，故③錯誤；④中次品率為2%，但50件產(chǎn)品中可能沒有次品，也可能有1件或2件或3件……次品，故④的說法正確．類型二利用頻率求概率【例2】下面的表中列出10次拋擲硬幣的試驗結(jié)果．n為拋擲硬幣的次數(shù)，m為硬幣正面對上的次數(shù)．計算每次試驗中“正面對上”這一事務(wù)的頻率，并考查它的概率.試驗序號拋擲的次數(shù)n正面對上的次數(shù)m“正面對上”出現(xiàn)的頻率15002512500249350025645002535500251650024675002448500258950026210500247【思路探究】利用eq\f(m,n)可求頻率，再依據(jù)頻率估計概率．概率可以看作是頻率在理論上的一種期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性的大小，頻率在大量重復(fù)試驗的前提下，可以近似地作為這個隨機(jī)事務(wù)的概率．【解】利用頻率的定義，可分別得出這10次試驗中“正面對上”這一事務(wù)出現(xiàn)的頻率依次為：0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524,0.494，這些數(shù)字在0.5旁邊左右搖擺，由概率的統(tǒng)計定義可得，“正面對上”的概率為0.5.某籃球運動員在最近幾場大賽中罰球投籃的結(jié)果如下：(1)計算表中進(jìn)球的頻率；(2)這位運動員投籃一次進(jìn)球的概率是多少？解：(2)這位運動員投籃一次進(jìn)球的概率P≈0.76.類型三對概率的正確理解【例3】(1)早在2010年夏季，就有氣象學(xué)家預(yù)料：在2010年的冬季，我國華北、黃淮地區(qū)將遭遇50年一遇的旱情．這里所說的“50年一遇”是指每隔50年就會出現(xiàn)一次旱情嗎？(2)某種病的治愈率是0.3，那么前7個人沒有治愈，后3個人肯定能治愈嗎？如何理解治愈的概率是0.3?【思路探究】概率在生活中無處不在，用途很廣泛，用概率說明生活中的問題，必需明確概率的真正含義，明確概率值是個期望值，任一個隨機(jī)事務(wù)的概率無論有多么大，但也有不發(fā)生的可能性，同樣，對于一個隨機(jī)事務(wù)的概率值無論多么小，但也有發(fā)生的可能性．這就是或然與必定的數(shù)學(xué)思想在現(xiàn)實問題中的體現(xiàn)．【解】(1)“50年一遇”不是指每隔50年就會出現(xiàn)一次旱情，而是指這種程度的干旱從歷史上看平均50年才有一次，并非是說50年內(nèi)只有一次，也可能有多次，也可能一次沒有．(2)假如把治療一個病人作為一次試驗，治愈率是0.3，是指隨著試驗次數(shù)的增加，即治療病人人數(shù)的增加，大約有30%的人能夠治愈，對于一次試驗來說，其結(jié)果是隨機(jī)的，因此前7個病人沒治愈是可能的，對后3個人來說，其結(jié)果仍舊是隨機(jī)的，即有可能治愈，也可能沒有治愈．規(guī)律方法對概率意義的理解：(1)概率是隨機(jī)事務(wù)發(fā)生可能性大小的度量，是隨機(jī)事務(wù)A的本質(zhì)屬性．(2)由概率的定義我們可以知道隨機(jī)事務(wù)A在一獨立重復(fù)試驗中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映．(3)正確理解概率的意義，要清晰與頻率的區(qū)分與聯(lián)系．對詳細(xì)的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗或某一個詳細(xì)的事務(wù)．試說明下面狀況中概率的意義：(1)某商場為促進(jìn)銷售，實行有獎銷售活動，凡購買其商品的顧客中獎的概率為0.20；(2)一生產(chǎn)廠家稱：我們廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的概率是0.98.解：(1)指購買其商品的顧客中獎的可能性是20%.(2)是說其廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是98%.類型四用概率說明公允性【例4】有一個轉(zhuǎn)盤嬉戲，轉(zhuǎn)盤被平均分成10等份．如圖，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字為轉(zhuǎn)出的數(shù)字(指針指到分界線上時重轉(zhuǎn))．嬉戲規(guī)則如下：兩個人參與，先確定猜數(shù)方案，甲轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，乙猜，若猜出的結(jié)果與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字所表示的特征相符，則乙獲勝；否則甲獲勝．猜數(shù)方案從以下三種方案中選一種：A．猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”；B．猜“是4的整數(shù)倍數(shù)”或“不是4的整數(shù)倍數(shù)”，C．猜“是大于4的數(shù)”或“不是大于4的數(shù)”．請回答下列問題：(1)假如你是乙，為了盡可能大地獲勝，你將選擇哪種猜數(shù)方案，并且怎樣猜？為什么？(2)為了保證嬉戲的公允性，你認(rèn)為應(yīng)選哪種猜數(shù)方案？為什么？(3)請你設(shè)計一種其他的猜數(shù)方案，并保證嬉戲的公允性．【思路探究】分別計算出雙方獲勝的概率，然后比較得出結(jié)論．【解】(1)可以選擇B，猜“不是4的整數(shù)倍數(shù)”．“不是4的整數(shù)倍數(shù)”的概率為eq\f(8,10)＝0.8，而“是大于4的數(shù)”的概率為eq\f(6,10)＝0.6，雖然它們都超過了0.5，但0.8>0.6，故乙選擇B方案并猜“不是4的整數(shù)倍數(shù)”可以盡可能大地獲勝．(2)為了保證嬉戲的公允性，應(yīng)當(dāng)選擇方案A.因為方案A猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”的概率均為0.5，從而保證了該嬉戲是公允的．(3)可以設(shè)計為：猜“是大于5的數(shù)”或“不是大于5的數(shù)”，這樣也可以保證嬉戲的公允性．規(guī)律方法解決生活中的公允性問題的策略盡管隨機(jī)事務(wù)的發(fā)生具有隨機(jī)性，但是大量重復(fù)這一過程時，可用概率的學(xué)問對嬉戲的公允性作出決策．解題時留意分析數(shù)據(jù)總數(shù)和某事務(wù)包含的數(shù)據(jù)個數(shù)，計算出頻率，進(jìn)而估計出概率，對結(jié)果進(jìn)行推斷．在一場網(wǎng)球競賽前，為確定由誰先發(fā)球，裁判確定發(fā)球時常用的一種方法是：裁判員拿出一個抽簽器，它是一個像大硬幣似的勻稱塑料圓板，一面是紅圈，一面是綠圈，然后隨意指定一名運動員，要他猜上拋的抽簽器落到球臺上時，是紅圈朝上還是綠圈朝上．假如他猜對了，就由他先發(fā)球，否則，由另一方先發(fā)球．請問這樣公允嗎？說明理由．解：這樣做體現(xiàn)了公允性．理由如下：因為它使得兩名運動員的先發(fā)球機(jī)會是等可能的．用概率的語言描述，就是兩名運動員取得發(fā)球權(quán)的概率都是0.5.這是因為抽簽器上拋后，紅圈朝上與綠圈朝上的概率都是0.5，因此任何一名運動員猜中的概率都是0.5，所以這個規(guī)則是公允的．——易錯警示——不理解概率的意義致誤【例5】已知某廠的產(chǎn)品合格率為90%，現(xiàn)抽出10件產(chǎn)品檢查，則下列說法正確的是()A．合格產(chǎn)品少于9件B．合格產(chǎn)品多于9件C．合格產(chǎn)品正好是9件D．合格產(chǎn)品可能是9件【易錯點分析】因不理解概率的意義而錯選C.【防范措施】一個事務(wù)的概率是通過大量的重復(fù)試驗得到的，其反映了該隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性大小，因此在本題中“抽出10件產(chǎn)品”相當(dāng)于做了10次試驗，而每次試驗結(jié)果可能是正品，也可能是次品．故只有D正確．【解析】合格產(chǎn)品可能為90%×10＝9，故選D.【答案】D“今日北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列說法不正確的是(A)A．北京今日肯定降雨，而上?？隙ú唤涤闎．上海今日可能降雨，而北京可能沒有降雨C．北京和上海都可能沒降雨D．北京降雨的可能性比上海大解析：北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，說明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都沒有降雨，但是不能確定北京今日肯定降雨，上?？隙ú唤涤辏訠，C，D正確，A錯誤.一、選擇題1．給出下列三個命題，其中正確命題有(A)①有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是eq\f(3,7)；③隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的頻率就是這個隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的概率．A．0個 B．1個C．2個 D．3個解析：由頻率與概率的定義知三個結(jié)論都不對．2．在擲一枚硬幣的試驗中，共擲了100次，“正面朝上”的頻率為0.49，則“正面朝下”的次數(shù)為(D)A．0.49 B．49C．0.51 D．51解析：由100×0.49＝49知，有49次“正面朝上”，故有100－49＝51次“正面朝下”．3．某市對該市觀看中心電視臺播放的2024年春節(jié)聯(lián)歡晚會的狀況進(jìn)行統(tǒng)計，得到該市的收視率為65.4%，這表示(C)A．該市觀看該節(jié)目的概率為65.4%B．在1000戶家庭中總有654戶收看該節(jié)目C．該市觀看該節(jié)目的頻率為65.4%D．該市收看該節(jié)目的共有654戶解析：頻率是一個實際值，是個統(tǒng)計值，概率為理論值．二、填空題4．已知隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的頻率是0.2，事務(wù)A出現(xiàn)了10次，那么共進(jìn)行了50次試驗．解析：設(shè)共進(jìn)行了n次試驗，則由eq\f(10,n)＝0.2，解得n＝eq\f(10,0.2)＝50.5．某工廠為了節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標(biāo)為1000度，依據(jù)上個月的用電記錄，在30天中有12天的用