北大期末考試數(shù)學(xué)試卷

北大期末考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求$f'(x)$的值。（）

A.3x^2-12x+9

B.3x^2-12x-9

C.3x^2+12x+9

D.3x^2+12x-9

2.若$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，則$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=$（）

A.1

B.2

C.0

D.不存在

3.求解方程$x^2-5x+6=0$的根。（）

A.$x_1=2,x_2=3$

B.$x_1=3,x_2=2$

C.$x_1=1,x_2=4$

D.$x_1=4,x_2=1$

4.設(shè)$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$，則$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1-x)}{x}=$（）

A.-1

B.1

C.0

D.不存在

5.求函數(shù)$f(x)=e^x$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)。（）

A.$f'(0)=1$

B.$f'(0)=0$

C.$f'(0)=-1$

D.$f'(0)$不存在

6.若$f(x)=x^2+2x+1$，求$f'(x)$的值。（）

A.$2x+2$

B.$2x+1$

C.$2x$

D.$2$

7.設(shè)$f(x)=\frac{1}{x}$，求$f'(x)$的值。（）

A.$-\frac{1}{x^2}$

B.$\frac{1}{x^2}$

C.$x$

D.$-x$

8.求極限$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}$的值。（）

A.1

B.0

C.不存在

D.$\frac{1}{2}$

9.若$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f'(x)$的值。（）

A.$3x^2-6x+4$

B.$3x^2-6x-4$

C.$3x^2+6x-4$

D.$3x^2+6x+4$

10.求函數(shù)$f(x)=\sqrt{x}$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)。（）

A.$f'(1)=\frac{1}{2}$

B.$f'(1)=1$

C.$f'(1)=-\frac{1}{2}$

D.$f'(1)$不存在

二、判斷題

1.函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$在定義域內(nèi)是連續(xù)的。（）

2.函數(shù)$f(x)=x^3$在其定義域內(nèi)具有奇函數(shù)的性質(zhì)。（）

3.如果$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，則$\sinx$在$x=0$處不可導(dǎo)。（）

4.導(dǎo)數(shù)$f'(x)$的幾何意義是函數(shù)在某一點(diǎn)的切線斜率。（）

5.洛必達(dá)法則適用于所有未定式極限的計(jì)算。（）

三、填空題

1.設(shè)函數(shù)$f(x)=2x^3-9x^2+12x-1$，則$f'(x)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

2.極限$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$的值為$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

3.函數(shù)$f(x)=\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

4.設(shè)$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，則$\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{1-\sinx}=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

5.方程$2x^3-6x^2+9x-3=0$的一個(gè)根為$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

四、簡答題

1.簡述導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義。

2.解釋何為未定式極限，并舉例說明。

3.如何求解一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？請(qǐng)給出一個(gè)具體的例子。

4.說明拉格朗日中值定理的條件及其應(yīng)用。

5.闡述如何判斷一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處是否可導(dǎo)。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算定積分$\int_0^1(3x^2+4x-1)\,dx$。

2.求函數(shù)$f(x)=e^{-x^2}$的二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)$。

3.解微分方程$y'+y^2=0$。

4.求極限$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x}-\frac{\sinx}{x}\right)$。

5.設(shè)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，計(jì)算$\int_1^2f'(x)\,dx$。

六、案例分析題

1.案例背景：某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為$C(x)=1000+20x+0.5x^2$，其中$x$為生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。該公司的銷售函數(shù)為$R(x)=60x-0.1x^2$。

（1）求該公司的邊際成本函數(shù)。

（2）若公司希望利潤最大化，求應(yīng)生產(chǎn)多少產(chǎn)品以達(dá)到最大利潤。

2.案例背景：某城市計(jì)劃在一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)行道路拓寬工程，預(yù)計(jì)該工程的總成本為$C(t)=500t+1000t^2$，其中$t$為工程進(jìn)行的時(shí)間（單位：月）。

（1）求該道路拓寬工程的平均成本函數(shù)。

（2）若該工程需要在6個(gè)月內(nèi)完成，求平均成本和總成本。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某商店銷售一種商品，其需求函數(shù)為$Q(p)=100-2p$，其中$p$為商品的價(jià)格，需求量$Q$以件為單位。假設(shè)商店的固定成本為$1000$元，變動(dòng)成本為每件$5$元，求以下內(nèi)容：

-當(dāng)價(jià)格為$10$元時(shí)，商店的利潤是多少？

-求該商店的邊際利潤函數(shù)。

2.應(yīng)用題：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量$x$與成本$C(x)$和收入$R(x)$的關(guān)系分別為$C(x)=2000+5x+0.1x^2$和$R(x)=40x-0.01x^2$。求以下內(nèi)容：

-當(dāng)產(chǎn)量$x=100$時(shí)，工廠的利潤是多少？

-求工廠的邊際利潤函數(shù)，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。

3.應(yīng)用題：某公司有一筆投資，其收益$R(t)$隨時(shí)間$t$變化的函數(shù)為$R(t)=1000t-100t^2$，其中$t$以年為單位。求以下內(nèi)容：

-當(dāng)投資$t=5$年時(shí)，公司從這筆投資中獲得的收益是多少？

-求投資收益的瞬時(shí)變化率，即邊際收益，并解釋其含義。

4.應(yīng)用題：某城市計(jì)劃修建一條新的道路，其修建成本$C(d)$隨道路長度$d$的增加而增加，成本函數(shù)為$C(d)=20000+300d-0.5d^2$。假設(shè)該城市計(jì)劃修建的道路長度不超過$100$公里。求以下內(nèi)容：

-當(dāng)?shù)缆烽L度$d=50$公里時(shí)，修建這條道路的成本是多少？

-求修建這條道路的平均成本函數(shù)，并計(jì)算修建$100$公里道路的平均成本。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題

1.A.3x^2-12x+9

2.B.2

3.A.$x_1=2,x_2=3$

4.A.-1

5.A.$f'(0)=1$

6.A.$2x+2$

7.A.$-\frac{1}{x^2}$

8.B.0

9.A.$3x^2-6x+4$

10.A.$f'(1)=\frac{1}{2}$

二、判斷題

1.正確

2.正確

3.錯(cuò)誤

4.正確

5.錯(cuò)誤

三、填空題

1.$f'(x)=6x^2-18x+12$

2.2

3.$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

4.1

5.3

四、簡答題

1.導(dǎo)數(shù)的定義是函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，幾何意義是函數(shù)圖形在該點(diǎn)的切線斜率。

2.未定式極限是指當(dāng)自變量的值趨向于某一確定的極限時(shí)，函數(shù)的值趨向于無窮大或無窮小。

3.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)通常采用導(dǎo)數(shù)的基本公式和法則，如冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等。

4.拉格朗日中值定理的條件是函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。應(yīng)用時(shí)，可以找到至少一個(gè)點(diǎn)，使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)在該區(qū)間兩端點(diǎn)函數(shù)值之差的比值。

5.判斷一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處是否可導(dǎo)，可以通過導(dǎo)數(shù)的定義來判斷。如果導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)。

五、計(jì)算題

1.$\int_0^1(3x^2+4x-1)\,dx=\left[x^3+2x^2-x\right]_0^1=(1^3+2\cdot1^2-1)-(0^3+2\cdot0^2-0)=2$

2.$f''(x)=-2xe^{-x^2}$

3.$y'=-y^2$，分離變量得$\frac{dy}{y^2}=-dx$，積分得$-\frac{1}{y}=x+C$，解得$y=-\frac{1}{x+C}$

4.$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x}-\frac{\sinx}{x}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\sinx}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\sinx}{x}\cdot\frac{1+\sinx}{1+\sinx}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\sin^2x}{x(1+\sinx)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\cos^2x}{x(1+\sinx)}=0$

5.$\int_1^2f'(x)\,dx=\int_1^2(3x^2-6x+4)\,dx=\left[x^3-3x^2+4x\right]_1^2=(2^3-3\cdot2^2+4\cdot2)-(1^3-3\cdot1^2+4\cdot1)=3$

六、案例分析題

1.（1）利潤$=R(10)-C(10)=(60\cdot10-0.1\cdot10^2)-(1000+20\cdot10+0.5\cdot10^2)=590-1250=-660$元

（2）邊際利潤函數(shù)$=R'(x)-C'(x)=60-0.2x-(20+0.5\cdot2x)=40-2.5x$

2.（1）利潤$=R(100)-C(100)=(40\cdot100-0.01\cdot100^2)-(2000+5\cdot100+0.1\cdot100^2)=3900-700=3200$元

（2）邊際利潤函數(shù)$=R'(x)-C'(x)=40-0.02x-(5+0.2x)=35-0.22x$

七、應(yīng)用題

1.當(dāng)價(jià)格為$10$元時(shí)，需求量$Q(p)=100-2\cdot10=80$件，利潤$=R(10)-C(10)=(60\cdot80-0.1\cdot80^2)-(1000+20\cdot80+0.5\cdot80^2)=4800-6400=-1600$元

邊際利潤函數(shù)$=R'(p)-C'(p)=60-0.2p-(20+0.5\cdot2p)=40-2.7p$

2.當(dāng)產(chǎn)量$x=100$時(shí)，利潤$=R(100)-C(100)=(40\cdot100-0.01\cdot100^2)-(2000+5\cdot100+0.1\cdot100^2)=3900-700=3200$元

邊際利潤函數(shù)$=R'(x)-C'(x)=40-0.02x-(5+0.2x)=35-0.22x$

3.當(dāng)投資$t=5$年時(shí)，收益$R(5)=1000\cdot5-100\cdot5^2=5000-2500=2500$元

邊際收益$=\frac{dR}{dt}=1