2024-2025學(xué)年高中物理第十一章機(jī)械振動(dòng)4單擺學(xué)案新人教版選修3-4

PAGE18-4單擺一、單擺1．由細(xì)線和小球組成，細(xì)線質(zhì)量與小球的質(zhì)量相比可以忽視，球的直徑與線的長(zhǎng)度相比也可以忽視．忽視搖擺過(guò)程中所受阻力的作用，是志向化模型．2．單擺的回復(fù)力(1)回復(fù)力的供應(yīng)：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力．(2)回復(fù)力的特點(diǎn)：在偏角很小時(shí)，單擺所受的回復(fù)力和它偏離平衡位置的位移大小成正比，方向總是指向平衡位置，即F＝－eq\f(mg,l)x.(3)運(yùn)動(dòng)規(guī)律：?jiǎn)螖[在偏角很小時(shí)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)圖象遵循正弦函數(shù)規(guī)律．結(jié)合單擺模型的特點(diǎn)想一想，下列裝置能否視為單擺？為什么？提示：都不能，(1)中橡皮筋的伸縮不能忽視；(2)(3)中乒乓球和大木球搖擺時(shí)，空氣阻力不能忽視且乒乓球的質(zhì)量與繩相比、大木球的直徑與繩長(zhǎng)相比也不能忽視．二、單擺的周期1．荷蘭物理學(xué)家惠更斯確定了計(jì)算單擺周期的公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，其中l(wèi)表示擺長(zhǎng)，g表示當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋晒娇梢钥闯鰡螖[的周期與擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)，在振幅較小時(shí)與振幅無(wú)關(guān)．2．由單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可得g＝eq\f(4π2l,T2)，只要測(cè)出單擺的擺長(zhǎng)和周期，就可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋畽C(jī)械擺鐘是單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的一個(gè)典型應(yīng)用，其走時(shí)快慢是由擺鐘的周期確定的．假如有條件，可以拆開(kāi)擺鐘看看，在分析其原理后，說(shuō)明如何調(diào)整其走時(shí)快慢．提示：機(jī)械擺鐘工作是以鐘擺完成肯定數(shù)量的全振動(dòng)，從而帶動(dòng)分針、時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)的，因此擺鐘振動(dòng)的周期就反映了擺鐘走時(shí)的快慢．鐘擺振動(dòng)的頻率與時(shí)間有關(guān)，它振動(dòng)的周期越長(zhǎng)，在肯定時(shí)間內(nèi)全振動(dòng)的次數(shù)就越少，擺鐘顯示的時(shí)間走得就越慢．因此，假如擺鐘變快，其振動(dòng)頻率也加大，振動(dòng)周期變小了，所以要復(fù)原正常，應(yīng)當(dāng)增大其擺長(zhǎng)；假如擺鐘走時(shí)變慢，其振動(dòng)頻率也變小，振動(dòng)周期變大了，所以要復(fù)原正常，應(yīng)當(dāng)減小其擺長(zhǎng)．考點(diǎn)一單擺1．定義：如圖所示，在一根長(zhǎng)細(xì)線下懸掛一個(gè)小球，假如細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可以忽視，球的直徑與線的長(zhǎng)度相比也可以忽視，這樣的裝置就叫做單擺，它是實(shí)際擺的志向化模型．2．實(shí)際擺看成單擺的條件(1)懸線的形變量與懸線長(zhǎng)度相比小得多．懸線的質(zhì)量與擺球質(zhì)量相比小得多．這時(shí)可把懸線看成是不行伸長(zhǎng)且沒(méi)有質(zhì)量的細(xì)線．(2)擺球的大小與懸線長(zhǎng)度相比小得多，這時(shí)可把擺球看成是沒(méi)有大小只有質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)．eq\a\vs4\al(【方法指導(dǎo)】)志向模型法為了滿意上述條件及盡量減小空氣阻力的影響，組成單擺的擺球應(yīng)選擇質(zhì)量大而體積小的球，線應(yīng)盡量選擇細(xì)而輕且彈性小的線．單擺是實(shí)際擺的志向化模型．3．?dāng)[長(zhǎng)和最大偏角(1)擺長(zhǎng)：擺球重心到搖擺圓弧圓心的距離l＝l0＋R.(其中l(wèi)0為細(xì)線長(zhǎng)，R為小球半徑)(2)最大偏角：擺球擺到最高點(diǎn)時(shí)，細(xì)線與豎直方向的夾角為θ.【例1】下圖中的各種擺的模型，哪種或哪些是單擺？【導(dǎo)思】單擺是志向的模型，忽視繩子的質(zhì)量和伸縮，忽視小球的直徑．【解析】①的懸繩是粗繩，繩的質(zhì)量不行忽視，不是單擺；②的懸繩是橡皮筋，伸縮不行忽視，不是單擺；③的懸繩長(zhǎng)度不是遠(yuǎn)大于球的直徑，不是單擺；④是單擺；⑤的上端沒(méi)有固定，也不是單擺．【答案】④是單擺(多選)單擺是為探討振動(dòng)而抽象出的志向化模型，其志向化條件是(ABC)A．?dāng)[線質(zhì)量不計(jì)B．?dāng)[線長(zhǎng)度不伸縮C．?dāng)[球的直徑比擺線長(zhǎng)度短得多D．只要是單擺的運(yùn)動(dòng)就是一種簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)解析：?jiǎn)螖[由擺線和擺球組成，擺線只計(jì)長(zhǎng)度不計(jì)質(zhì)量，擺球只計(jì)質(zhì)量不計(jì)大小，且擺線不伸縮，A、B、C正確．但把單擺作為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)來(lái)處理是有條件的，只有在擺角很小(θ<5°)的狀況下才能視單擺運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．考點(diǎn)二單擺的回復(fù)力1．單擺的平衡位置如圖所示，擺球靜止在O點(diǎn)時(shí)，懸線豎直下垂，擺球所受到的重力G與懸線的拉力F′平衡，合力為零，小球保持靜止，所以O(shè)點(diǎn)是單擺的平衡位置．2．單擺的回復(fù)力(1)如圖所示，擺球運(yùn)動(dòng)到某點(diǎn)P時(shí)，擺球受重力G和繩子拉力F′兩個(gè)力作用，將重力沿切向、徑向正交分解，則繩子的拉力F′與重力的徑向重量G1的合力供應(yīng)了擺球做圓周運(yùn)動(dòng)所須要的向心力，而重力的切向分力F則供應(yīng)了擺球振動(dòng)所須要的回復(fù)力F＝mgsinθ.(2)單擺在擺角很小時(shí)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)設(shè)單擺的擺長(zhǎng)為l，在最大偏角θ很小的條件下，擺球?qū)點(diǎn)的位移x的大小與θ角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)eq\x\to(OP)、θ角所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)OP都近似相等，即x＝eq\x\to(OP)＝OP，若擺角θ用弧度表示，則由數(shù)學(xué)關(guān)系知sinθ≈θ＝eq\f(\x\to(OP),l)＝eq\f(x,l)，則重力沿切向的分力F＝mgsinθ≈mgeq\f(x,l)，令k＝eq\f(mg,l)，則F＝kx，因?yàn)镕的方向與x方向相反，故F＝－kx.由此可見(jiàn)，單擺在擺角很小條件下的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．3．單擺的振動(dòng)圖象我們已經(jīng)知道，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象是正弦曲線(或余弦曲線)，而在偏角很小的狀況下，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，故它的振動(dòng)圖象也是正弦曲線(或余弦曲線)．4．理解單擺的受力和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)(1)擺球以懸掛點(diǎn)為圓心在豎直平面內(nèi)沿圓弧做變速圓周運(yùn)動(dòng)，做圓周運(yùn)動(dòng)須要向心力，向心力由繩子的拉力與重力的徑向重量的合力供應(yīng)．(2)擺球以最低點(diǎn)為平衡位置做振動(dòng)，做振動(dòng)須要回復(fù)力，回復(fù)力由擺球重力的切向分力供應(yīng)(或者說(shuō)是由擺球所受合外力沿圓弧切向分力供應(yīng))．(3)單擺的運(yùn)動(dòng)既有圓周運(yùn)動(dòng)，又有簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(擺角很小的狀況下)①單擺振動(dòng)的平衡位置：回復(fù)力F為零，而合力不為零，此時(shí)合力供應(yīng)擺球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．②單擺振動(dòng)的最大位移處：向心力(F′－G1)為零，而合力不為零，此時(shí)合力供應(yīng)擺球振動(dòng)的回復(fù)力．【例2】下列關(guān)于單擺的說(shuō)法，正確的是()A．單擺擺球從平衡位置運(yùn)動(dòng)到正向最大位移處時(shí)的位移為A(A為振幅)，從正向最大位移處運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)的位移為－AB．單擺擺球的回復(fù)力等于擺球所受的合外力C．單擺擺球的回復(fù)力是擺球重力沿圓弧切線方向的分力D．單擺擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)加速度為零【導(dǎo)思】1.單擺的位移是怎樣定義的？2．單擺的回復(fù)力是擺球的合力嗎？3．彈簧振子經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)加速度多大？4．單擺擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)擺球的加速度是零嗎？【解析】簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的位移是以平衡位置為起點(diǎn)，擺球在正向最大位移處時(shí)位移為A，在平衡位置時(shí)位移應(yīng)為零，A錯(cuò)．?dāng)[球的回復(fù)力由合外力沿圓弧切線方向的分力(等于重力沿圓弧切線方向的分力)供應(yīng)，合外力在擺線方向的分力供應(yīng)向心力，擺球經(jīng)最低點(diǎn)(振動(dòng)的平衡位置)時(shí)回復(fù)力為零，但向心力不為零，所以合外力不為零(擺球在最高點(diǎn)時(shí)，向心力為零，回復(fù)力最大，合外力也不為零)，B錯(cuò)，C正確．單擺經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)所受合外力不為零，此時(shí)回復(fù)力為零，但向心力不為零，合外力剛好供應(yīng)向心力，所以此時(shí)擺球加速度不為零，這與彈簧振子有所不同，彈簧振子經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，所受合外力為零，加速度為零，D錯(cuò)，故正確答案為C.【答案】C關(guān)于單擺，下列說(shuō)法中正確的是(A)A．?dāng)[球受到的回復(fù)力方向總是指向平衡位置B．?dāng)[球受到的回復(fù)力是它的合力C．?dāng)[球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，所受的合力為零D．?dāng)[角很小時(shí)，擺球受的合力的大小跟擺球?qū)ζ胶馕恢玫奈灰拼笮〕烧冉馕觯罕绢}主要考查單擺的受力和回復(fù)力，依據(jù)回復(fù)力的定義知選項(xiàng)A正確；單擺的回復(fù)力除指明在最高點(diǎn)外都不是擺球受力的合力，但不管在哪個(gè)位置均可認(rèn)為是重力沿軌跡圓弧切線方向的分力，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，但合力不為零，因懸線方向上要受向心力，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，綜上所述選項(xiàng)D錯(cuò)誤．考點(diǎn)三單擺的周期1．定性試驗(yàn)探究如圖所示：(1)單擺振動(dòng)的周期和振幅無(wú)關(guān)——單擺的等時(shí)性把懸掛在同一高度的兩個(gè)相同的單擺的擺球拉到不同高度同時(shí)釋放，使其做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)象：擺球完成一次全振動(dòng)所用時(shí)間相同．(2)單擺的周期與擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)擺長(zhǎng)相同，將質(zhì)量不同的擺球拉到同一高度同時(shí)釋放，使其做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)象：兩擺球振動(dòng)是同步的．(3)單擺振動(dòng)的周期和擺長(zhǎng)有關(guān)擺長(zhǎng)不同，將質(zhì)量相同的擺球拉到同一高度同時(shí)釋放使其做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)象：兩擺球振動(dòng)不同步，而且擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，振動(dòng)就越慢．結(jié)論：?jiǎn)螖[的振動(dòng)周期與擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)，在振幅較小時(shí)與振幅無(wú)關(guān)，與擺長(zhǎng)有關(guān)．?dāng)[長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期越大．2．定量試驗(yàn)探究——單擺周期與擺長(zhǎng)的關(guān)系(1)如圖所示，細(xì)線的上端固定在鐵架臺(tái)上，下端系一個(gè)小鋼球，于是做成了一個(gè)單擺．用停表測(cè)出單擺做30～50次全振動(dòng)的時(shí)間，計(jì)算出它的周期，并測(cè)出單擺的擺長(zhǎng)(用刻度尺量出擺線長(zhǎng)度，用游標(biāo)卡尺測(cè)量擺球的直徑，并算出半徑，擺線長(zhǎng)度與擺球半徑之和就是單擺的擺長(zhǎng))．(2)變更擺長(zhǎng)，測(cè)量各組不同擺長(zhǎng)、周期的數(shù)據(jù)，把它們填在表格中．(3)先通過(guò)估算，對(duì)周期T與擺長(zhǎng)l的定量關(guān)系作出揣測(cè)，如可能是T∝l、T∝l2，或者T∝eq\r(l)、T∝eq\r(3,l)，然后依據(jù)揣測(cè)來(lái)確定縱坐標(biāo)軸和橫坐標(biāo)軸．例如，假如我們通過(guò)簡(jiǎn)潔的估算，認(rèn)為很可能是T∝l2，那么可以用縱坐標(biāo)表示T，橫坐標(biāo)表示l2，作出圖象．假如這樣作出的圖象確定是一條過(guò)原點(diǎn)的直線，說(shuō)明的確有T∝l2的關(guān)系，否則再做其他嘗試．結(jié)論：?jiǎn)螖[振動(dòng)的周期T與擺長(zhǎng)的二次方根eq\r(l)成正比，即T∝eq\r(l).3．單擺的周期公式荷蘭物理學(xué)家惠更斯發(fā)覺(jué)在偏角很小的狀況下，單擺的周期跟擺長(zhǎng)的二次方根成正比，跟重力加速度的二次方根成反比，而跟擺球的質(zhì)量和振幅無(wú)關(guān)．惠更斯確定了計(jì)算單擺周期的公式T＝2πeq\r(\f(l,g)).式中l(wèi)為懸點(diǎn)到擺球球心的距離，g為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋纠?】已知在單擺a完成10次全振動(dòng)的時(shí)間內(nèi)，單擺b完成了6次全振動(dòng)，兩單擺的擺長(zhǎng)之差為1.6m，則兩單擺的擺長(zhǎng)la與lb分別為()A．la＝2.5m，lb＝0.9m B．la＝0.9m，lb＝2.5mC．la＝2.4m，lb＝4.0m D．la＝4.0m，lb＝2.4m【導(dǎo)思】由a、b相同時(shí)間內(nèi)的全振動(dòng)次數(shù)可求周期關(guān)系，由周期關(guān)系可得到擺長(zhǎng)之比，結(jié)合題目給出的擺長(zhǎng)之差就可解出擺長(zhǎng)．【解析】設(shè)兩單擺的周期分別為T(mén)a和Tb，依題意知10Ta＝6Tb，據(jù)T＝2πeq\r(\f(l,g))，可知l＝eq\f(gT2,4π2)，所以lalb＝Teq\o\al(2,a)Teq\o\al(2,b)＝36100，又lb－la＝1.6m，則la＝0.9m，lb＝2.5m.地球上同一位置重力加速度相同，單擺的周期跟擺長(zhǎng)的平方根成正比．【答案】B如圖所示，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺，若在懸點(diǎn)O的正下方A點(diǎn)固定一顆釘子，A點(diǎn)距懸點(diǎn)O的距離為eq\f(L,3)，試求這個(gè)單擺完成一次全振動(dòng)的時(shí)間是多少？答案：πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(L,g))＋\r(\f(2L,3g))))解析：在擺角很小時(shí)，單擺的振動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，當(dāng)擺線遇到釘子時(shí)，A點(diǎn)成為“懸點(diǎn)”，單擺的擺長(zhǎng)由L變成eq\f(2L,3).由題意知，T＝eq\f(T1,2)＋eq\f(T2,2)＝eq\f(2π\(zhòng)r(\f(L,g)),2)＋eq\f(2π\(zhòng)r(\f(2L,3g)),2)＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(L,g))＋\r(\f(2L,3g)))).【例4】如圖所示，光滑的半球殼半徑為R，O點(diǎn)在球心O′的正下方，一小球甲由距O點(diǎn)很近的A點(diǎn)靜止放開(kāi)，R?eq\o\ac(AO,\s\up17(︵)).(1)若另一小球乙從球心O′處自由落下，求兩球第一次到達(dá)O點(diǎn)的時(shí)間比．(2)若另一小球丙在O點(diǎn)正上方某處自由落下，為使兩球在O點(diǎn)相碰，小球應(yīng)由多高處自由落下？【導(dǎo)思】1.甲球從A點(diǎn)釋放后做什么運(yùn)動(dòng)？2．能否依據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)問(wèn)求出甲球到達(dá)O點(diǎn)所用時(shí)間？3．把甲球的運(yùn)動(dòng)看成類(lèi)單擺，等效擺長(zhǎng)是什么？【解析】(1)甲球沿圓弧做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，它第一次到達(dá)O處的時(shí)間為：t1＝eq\f(1,4)T＝eq\f(1,4)×2πeq\r(\f(R,g))＝eq\f(π,2)eq\r(\f(R,g)).乙球做自由落體運(yùn)動(dòng)，到達(dá)O處的時(shí)間為t2.R＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)，所以t2＝eq\r(\f(2R,g)).t1t2＝eq\r(2)π4.(2)小球甲從A點(diǎn)由靜止釋放運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間為t＝eq\f(T,4)(2n－1)，n＝1,2,3，…，由O點(diǎn)正上方自由落下的小球丙到達(dá)O點(diǎn)的時(shí)間也為t時(shí)兩球才能在O點(diǎn)相碰，所以h＝eq\f(1,2)gt2＝eq\f(1,2)geq\f(4π2R,16g)(2n－1)2＝eq\f(2n－12π2R,8)(n＝1,2,3，…)．【答案】(1)eq\r(2)π4(2)eq\f(2n－12π2R,8)(n＝1,2,3，…)如圖所示，小球m自A點(diǎn)以向AD方向的初速度v漸漸接近固定在D點(diǎn)的小球n.已知eq\o\ac(AB,\s\up17(︵))＝0.8m，AB圓弧半徑R＝10m，eq\o\ac(AD,\s\up17(︵))＝10m，A、B、C、D在同一水平面上，則v為多大時(shí)，才能使m恰好遇到小球n？(g取10m/s2，不計(jì)一切摩擦)答案：eq\f(5,kπ)m/s(k＝1,2,3…)解析：小球m的運(yùn)動(dòng)由兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)合成，這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)分別是：以速度v沿AD方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和在圓弧面AB方向上的往復(fù)運(yùn)動(dòng)．因?yàn)閑q\o\ac(AB,\s\up17(︵))?R，所以小球在圓弧面上的往復(fù)運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，是類(lèi)單擺，其圓弧半徑R即為類(lèi)單擺的擺長(zhǎng)．設(shè)小球m恰好能遇到小球n，則有eq\o\ac(AD,\s\up17(︵))＝vt，且滿意t＝kT(k＝1,2,3…)，又T＝2πeq\r(\f(R,g))，解以上方程得v＝eq\f(5,kπ)m/s(k＝1,2,3…)．重難疑點(diǎn)辨析用單擺測(cè)定重力加速度1．試驗(yàn)原理單擺在擺角很小時(shí)，由單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，得g＝eq\f(4π2l,T2).測(cè)得單擺的擺長(zhǎng)l和振動(dòng)周期T，就可以測(cè)出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋?．試驗(yàn)器材鐵架臺(tái)及鐵夾、金屬小球(最好上面有一個(gè)通過(guò)球心的小孔)、秒表、細(xì)線(1m左右)、刻度尺(最小刻度為mm)、游標(biāo)卡尺．3．試驗(yàn)步驟(1)做單擺：讓線的一端穿過(guò)小球的小孔，然后打一個(gè)比小孔大一些的結(jié)．把線的上端用鐵夾固定在鐵架臺(tái)上并把鐵架臺(tái)放在試驗(yàn)桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，讓擺球自由下垂，在單擺平衡位置處作上標(biāo)記．(2)測(cè)擺長(zhǎng)：l＝l′＋eq\f(d,2)①用毫米刻度尺量出懸線長(zhǎng)l′，如圖甲所示．②用游標(biāo)卡尺測(cè)出擺球的直徑d，如圖乙所示．(3)測(cè)周期：將單擺從平衡位置拉開(kāi)一個(gè)角度，且滿意偏角小于5°，然后釋放擺球，當(dāng)單擺搖擺穩(wěn)定后，用秒表測(cè)量單擺完成30次(或50次)全振動(dòng)的時(shí)間t.計(jì)算出平均搖擺一次的時(shí)間T＝eq\f(t,n)，即為單擺的振動(dòng)周期．eq\a\vs4\al(應(yīng)以擺球經(jīng)平衡位置時(shí)起先或停止計(jì)時(shí).)4．求重力加速度：把測(cè)得的周期和擺長(zhǎng)的數(shù)值代入公式，求出重力加速度g的值．5．多次測(cè)量求平均值變更擺長(zhǎng)，重做幾次試驗(yàn)．計(jì)算出每次試驗(yàn)的重力加速度．最終求出幾次試驗(yàn)得到的重力加速度的平均值，即可作為本地區(qū)的重力加速度．eq\a\vs4\al(【拓展延長(zhǎng)】)假如要求用圖象法來(lái)測(cè)定重力加速度，那么應(yīng)當(dāng)如何建立坐標(biāo)系？分別以l和T2為縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)，作出l＝eq\f(g,4π2)T2的圖象，它應(yīng)當(dāng)是過(guò)原點(diǎn)的一條直線，依據(jù)這條直線可以求出斜率k，則重力加速度值g＝4π2k.由于l-T的圖象不是直線，不便于進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，所以采納l-T2的圖象，目的是將曲線轉(zhuǎn)換為直線，便于利用直線的斜率計(jì)算重力加速度．6．留意事項(xiàng)(1)細(xì)線的質(zhì)量和彈性要小，如用單根尼龍絲、絲線等，長(zhǎng)度一般不應(yīng)短于1m，小球要選用體積小、密度大的金屬球，直徑最好不超過(guò)2cm.(2)單擺懸線的上端不行隨意卷在鐵夾上，應(yīng)夾緊在鐵夾中，以免搖擺時(shí)發(fā)生擺線下滑、擺長(zhǎng)變更的現(xiàn)象．(3)擺長(zhǎng)是懸點(diǎn)到球心的距離，等于擺線長(zhǎng)加上小球半徑．(4)留意搖擺時(shí)限制擺線偏離豎直方向的角度應(yīng)很?。?5)計(jì)算單擺的振動(dòng)次數(shù)時(shí)，應(yīng)從擺球通過(guò)最低位置時(shí)起先計(jì)，以后擺球從同一方向通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)計(jì)數(shù)；要多測(cè)幾次(如30次或50次)全振動(dòng)的時(shí)間，用取平均值的方法求周期．eq\a\vs4\al(【拓展延長(zhǎng)】)為什么擺球搖擺時(shí)，要使之保持在同一個(gè)豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺？如圖所示，用細(xì)線懸吊小球，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，即細(xì)線所掃過(guò)的面為圓錐面，通常我們稱(chēng)為圓錐擺，事實(shí)上圓錐擺中小球的運(yùn)動(dòng)不是振動(dòng)，是勻速圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中細(xì)線與豎直方向夾角為θ，線長(zhǎng)為l，則小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝lsinθ，向心力F向＝mgtanθ.由F向＝mreq\f(4π2,T2)得圓錐擺的周期T＝2πeq\r(\f(lcosθ,g))，明顯該周期小于單擺周期，所以在用單擺測(cè)重力加速度的試驗(yàn)中，強(qiáng)調(diào)擺球必需在豎直面內(nèi)搖擺．【典例】(1)測(cè)量單擺的振動(dòng)周期，測(cè)量時(shí)間應(yīng)從擺球經(jīng)過(guò)________(選填“平衡位置”或“最高點(diǎn)”)時(shí)起先計(jì)時(shí)；某次測(cè)定了50次全振動(dòng)的時(shí)間如圖中停表所示，那么停表讀數(shù)是________s；該單擺的周期是T＝________s(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)．(2)測(cè)量出多組周期T、擺長(zhǎng)L數(shù)值后，畫(huà)出T2-L圖象如圖所示，此圖線斜率的物理意義是()A．g B.eq\f(1,g)C.eq\f(4π2,g) D.eq\f(g,4π2)(3)在描點(diǎn)時(shí)若誤將擺線長(zhǎng)當(dāng)作擺長(zhǎng)，那么畫(huà)出的直線將不通過(guò)原點(diǎn)，則由圖線斜率得到的重力加速度將會(huì)()A．偏大 B．偏小C．不變 D．都有可能(4)該小組的另一同學(xué)沒(méi)有運(yùn)用游標(biāo)卡尺也測(cè)出了重力加速度．他采納的方法是：先測(cè)出一擺線較長(zhǎng)的單擺的振動(dòng)周期T1，然后把擺線縮短適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度ΔL，再測(cè)出其振動(dòng)周期T2.則可用該同學(xué)測(cè)出的物理量來(lái)表達(dá)重力加速度為g＝________.【思路分析】解答本題的關(guān)鍵是要留意以下兩點(diǎn)：(1)停表的讀數(shù)規(guī)則；(2)T2-L圖象斜率的意義．【解析】(1)因擺球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度大，簡(jiǎn)潔視察和計(jì)時(shí)，所以測(cè)量時(shí)間應(yīng)從擺球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)起先計(jì)時(shí)．停表的讀數(shù)為t＝1min＋7.4s＝67.4s單擺周期T＝eq\f(1,50)t＝1.35s.(2)依據(jù)單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))得T2＝eq\f(4π2,g)L，所以T2－L圖線斜率的物理意義是eq\f(4π2,g)，選項(xiàng)C正確．(3)因?yàn)閑q\f(T2,L)＝eq\f(4π2,g)(常量)，所以eq\f(ΔT2,ΔL)＝eq\f(4π2,g)＝k，若誤將擺線當(dāng)作擺長(zhǎng)，畫(huà)出的直線將不通過(guò)原點(diǎn)，但圖線的斜率仍滿意eq\f(T\o\al(2,1)－T\o\al(2,2),L1－L2)＝eq\f(4π2,g)＝k，所以由圖線斜率得到的重力加速度不變，選項(xiàng)C正確．(4)依據(jù)(3)分析知，eq\f(ΔT2,ΔL)＝eq\f(4π2,g)，所以g＝eq\f(4π2ΔL,ΔT2)＝eq\f(4π2ΔL,T\o\al(2,1)－T\o\al(2,2)).【答案】(1)平衡位置67.41.35(2)C(3)C(4)eq\f(4π2ΔL,T\o\al(2,1)－T\o\al(2,2))對(duì)誤差來(lái)源的分析1．單擺的振動(dòng)不符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的要求引起的系統(tǒng)誤差(1)單擺不在同一豎直平面內(nèi)振動(dòng)，成為圓錐擺，g值偏大．圓錐擺周期T＝2πeq\r(\f(Lcosθ,g))，其中θ為擺線與豎直方向的夾角，L為擺長(zhǎng)．在計(jì)算g時(shí)，以L代替Lcosθ，則測(cè)得g值偏大．(2)振幅過(guò)大，擺線偏離豎直方向的角度超過(guò)5°，g值偏小．?dāng)[角越大，擺球的實(shí)際周期T也越大，求得的g＝eq\f(4π2L,T2)值偏小(此問(wèn)題中學(xué)階段不做過(guò)多探討)．2．測(cè)定擺長(zhǎng)L時(shí)引起的誤差(1)在未懸掛擺球前測(cè)定擺長(zhǎng)或漏掉加擺球半徑，得到的擺線長(zhǎng)偏短，g值偏小．(2)測(cè)擺長(zhǎng)時(shí)擺線拉得過(guò)緊或以擺球的直徑與擺線長(zhǎng)之和作為擺長(zhǎng)，得到的擺線長(zhǎng)偏長(zhǎng)，g值偏大．(3)懸點(diǎn)未固定好，振動(dòng)時(shí)出現(xiàn)松動(dòng)，使實(shí)際的擺長(zhǎng)不斷變長(zhǎng)，g值也偏?。?．測(cè)定周期時(shí)引起的誤差(1)起先計(jì)算時(shí)，停表過(guò)遲按下，會(huì)使所測(cè)時(shí)間t偏小，g值偏大；同理，停止計(jì)時(shí)時(shí)，停表過(guò)早按下，g值偏大．(2)測(cè)定n次全振動(dòng)的時(shí)間為t，誤數(shù)為(n＋1)次全振動(dòng)，計(jì)算時(shí)，g值偏大；同理，誤數(shù)為(n－1)次全振動(dòng)，計(jì)算時(shí)，g值偏?。?3)計(jì)算單擺的全振動(dòng)次數(shù)時(shí)，不以擺球通過(guò)最低點(diǎn)位置時(shí)起先計(jì)時(shí)，簡(jiǎn)潔產(chǎn)生較大的計(jì)時(shí)誤差．1．單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是(D)A．?dāng)[球的重力B．?dāng)[線的拉力C．?dāng)[球重力與擺線拉力的合力D．?dāng)[球重力沿圓弧切線方向的分力解析：擺線的拉力是沿半徑方向的，在圓弧切線方向上的分力為零，因此，擺球在切線方向上所受的力就是重力在切線方向上的分力，正是這個(gè)切線方向上的重力的分力充當(dāng)了回復(fù)力，但這不是擺球重力與擺線拉力的合力，擺線的拉力與重力沿半徑方向上的分力的合力供應(yīng)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，除在最大位移處兩位置外，擺球在半徑方向上所受的合力均不為零．故正確答案為D.2．用單擺測(cè)重力加速度的試驗(yàn)中，測(cè)出的重力加速度的值大于當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?，下列緣由中可能的?D)A．振幅太小導(dǎo)致測(cè)得的周期偏小B．計(jì)算擺長(zhǎng)時(shí)，只考慮線長(zhǎng)，沒(méi)有加上擺球半徑C．將n次全振動(dòng)誤記為(n－1)次全振動(dòng)D．將n次全振動(dòng)誤記為(n＋1)次全振動(dòng)解析：?jiǎn)螖[周期與振幅無(wú)關(guān)，振幅的大小不會(huì)影響周期的測(cè)量，則A錯(cuò)；由T＝2πeq\r(\f(l,g))得，重力加速度g＝eq\f(4π2l,T2)，測(cè)得的g偏大，可能是l的測(cè)量值偏大，也可能是T的測(cè)量值偏小，所以不加擺球半徑，是使l偏小，使g偏小，則B錯(cuò)；將n次全振動(dòng)記為(n－1)次全振動(dòng)，T的測(cè)量值偏大，使g偏小，則C錯(cuò)；同理分析知D正確．故正確答案為D.3．(多選)惠更斯利用擺的等時(shí)性獨(dú)創(chuàng)了帶擺的計(jì)時(shí)器，叫擺鐘，擺鐘運(yùn)行時(shí)克服摩擦所需的能量由重錘的勢(shì)能供應(yīng)，運(yùn)行的速率由鐘擺限制．旋轉(zhuǎn)鐘擺下端的螺母可以使擺上的圓盤(pán)沿?cái)[桿上下移動(dòng)，如圖所示．以下說(shuō)法正確的是(AC)A．當(dāng)擺鐘不精確時(shí)須要調(diào)整圓盤(pán)的位置B．?dāng)[鐘快了應(yīng)使圓盤(pán)沿?cái)[桿上移C．由冬季變?yōu)橄募緯r(shí)應(yīng)使圓盤(pán)沿?cái)[桿上移D．把擺鐘從福建移到北京應(yīng)使圓盤(pán)沿?cái)[桿上移解析：依據(jù)周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))知，當(dāng)擺鐘不精確時(shí)，則須要調(diào)整擺長(zhǎng)，A正確；擺鐘快了，周期小，則需將擺長(zhǎng)增長(zhǎng)，增大周期，B錯(cuò)誤；由冬季變?yōu)橄募緯r(shí)擺桿受熱伸長(zhǎng)，則需上移圓盤(pán)調(diào)整，C正確；擺鐘從福建移到北京，加速度增大，則需將擺長(zhǎng)增大，D錯(cuò)誤．4．將在地球上校準(zhǔn)的擺鐘拿到月球上去，若此鐘在月球記錄的時(shí)間是1h，那么事實(shí)上的時(shí)間應(yīng)是eq\r(6)h．(月球表面的重力加速度是地球表面的eq\f(1,6))．若要把此擺鐘調(diào)準(zhǔn)，應(yīng)將擺長(zhǎng)L0調(diào)整為eq\f(L0,6).解析：對(duì)于一個(gè)確定的擺鐘，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)確定了它每搖擺一個(gè)周期記錄的時(shí)間是肯定的．每搖擺一個(gè)周期，在鐘表上的記錄時(shí)間為肯定值，此定值與實(shí)際所用時(shí)間不肯定相等．設(shè)在地球上校準(zhǔn)的擺鐘周期為T(mén)0，月球擺鐘記錄時(shí)間為t0，擺鐘全振動(dòng)次數(shù)為N，實(shí)際時(shí)間為t1，月球上擺鐘周期為T(mén)1.t0＝NT0，t1＝NT1，則有：eq\f(t0,t1)＝eq\f(T0,T1)＝eq\f(2π\(zhòng)r(\f(l,g地)),2π\(zhòng)r(\f(l,g月)))＝eq\r(\f(g月,g地))，所求實(shí)際時(shí)間為t1＝eq\r(\f(g地,g月))·t0＝eq\r(6)t0，要把該擺鐘調(diào)準(zhǔn)，需將擺長(zhǎng)調(diào)為eq\f(L0,6).5．(1)物理課外小組