2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.2基本不等式第1課時(shí)基本不等式學(xué)案含解析新人教A版必修第一冊

PAGE1-2.2基本不等式【素養(yǎng)目標(biāo)】1．了解基本不等式的代數(shù)和幾何背景．(數(shù)學(xué)抽象)2．理解并駕馭基本不等式及其變形．(邏輯推理)3．會用基本不等式解決簡潔的最大(小)值問題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4．會用基本不等式進(jìn)行代數(shù)式大小的比較及證明不等式．(邏輯推理)5．會用基本不等式求最值問題和解決簡潔的實(shí)際問題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【學(xué)法解讀】1．本節(jié)學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生先復(fù)習(xí)完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2，由(a－b)2≥0可得a2－2ab＋b2≥0，即a2＋b2≥2ab.然后以eq\r(a)，eq\r(b)分別代替a，b推得基本不等式，從代數(shù)觀點(diǎn)相識基本不等式．2．借助教材“探究”中的問題，使學(xué)生從幾何角度相識基本不等式．3．重點(diǎn)駕馭應(yīng)用基本不等式求最值的前提條件，通過詳細(xì)實(shí)例強(qiáng)化公式的應(yīng)用技巧．第1課時(shí)基本不等式必備學(xué)問·探新知基礎(chǔ)學(xué)問學(xué)問點(diǎn)1重要不等式與基本不等式思索1：(1)基本不等式中的a，b只能是詳細(xì)的某個(gè)數(shù)嗎？(2)基本不等式成立的條件“a，b>0”能省略嗎？請舉例說明．提示：(1)a，b既可以是詳細(xì)的某個(gè)數(shù)，也可以是代數(shù)式．(2)不能，如eq\f(－3＋－4,2)≥eq\r(－3×－4)是不成立的．學(xué)問點(diǎn)2基本不等式與最值已知x，y都為正數(shù)，則(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值__eq\f(s2,4)__.(2)若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值__2eq\r(p)__.思索2：應(yīng)用基本不等式求最值的關(guān)鍵是什么？提示：依定值去探求最值，探求的過程中常需依詳細(xì)的問題進(jìn)行合理的拆、湊、配等變換．基礎(chǔ)自測1．推斷正誤(對的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)兩個(gè)不等式a2＋b2≥2ab與eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的條件是相同的．(×)(2)當(dāng)a>0，b>0時(shí)，a＋b≥2eq\r(ab).(√)(3)當(dāng)a>0，b>0時(shí)，ab≤(eq\f(a＋b,2))2.(√)(4)函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.(×)[解析](1)不等式a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R；不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的條件是a>0，b>0.(2)基本不等式的變形公式．(3)基本不等式的變形公式．(4)當(dāng)x<0時(shí)，x＋eq\f(1,x)是負(fù)數(shù)．2．下列不等式正確的是(C)A．a(chǎn)＋eq\f(1,a)≥2 B．(－a)＋(－eq\f(1,a))≤－2C．a(chǎn)2＋eq\f(1,a2)≥2 D．(－a)2＋(－eq\f(1,a))2≤－23．不等式a2＋1≥2a中等號成立的條件是__a＝1__.4．已知x>0，求x＋eq\f(1,x)的最小值．[解析]因?yàn)閤>0，所以x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)，即x2＝1，x＝1時(shí)，等號成立，因此所求的最小值為2.關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型一利用基本不等式推斷命題真假例1下列不等式肯定成立的是(C)A．eq\r(x2＋\f(1,4))>eq\r(x)(x>0) B．x＋eq\f(1,x)≥2(x≠0)C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．eq\f(1,x2＋1)>1(x∈R)[解析]選項(xiàng)A中，x2＋eq\f(1,4)≥x(當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，x2＋eq\f(1,4)＝x)，故選項(xiàng)A不正確；選項(xiàng)B中，x＋eq\f(1,x)≥2(x>0)，x＋eq\f(1,x)≤－2(x<0)，故選項(xiàng)B不正確；選項(xiàng)C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D中，x2＋1≥1，則0<eq\f(1,x2＋1)≤1，故選項(xiàng)D不正確．例2假如正數(shù)a，b，c，d滿意a＋b＝cd＝4，那么下列命題中是真命題的是(A)A．a(chǎn)b≤c＋d，且等號成立時(shí)，a，b，c，d的取值唯一B．a(chǎn)b≥c＋d，且等號成立時(shí)，a，b，c，d的取值唯一C．a(chǎn)b≤c＋d，且等號成立時(shí)，a，b，c，d的取值不唯一D．a(chǎn)b≥c＋d，且等號成立時(shí)，a，b，c，d的取值不唯一[解析]∵正數(shù)a，b，c，d滿意a＋b＝cd＝4，∴4＝a＋b≥2eq\r(ab)，即ab≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)，等號成立．又4＝cd≤(eq\f(c＋d,2))2，∴c＋d≥4，當(dāng)且僅當(dāng)c＝d＝2時(shí)，等號成立．綜上，ab≤c＋d，且等號成立時(shí)，a，b，c，d的取值都為2.[歸納提升]利用基本不等式推斷命題真假的步驟第一步：檢查是否滿意應(yīng)用基本不等式的條件．其次步：應(yīng)用基本不等式．第三步：檢驗(yàn)等號是否成立．【對點(diǎn)練習(xí)】?若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是(D)A．a(chǎn)2＋b2>2ab B．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2[解析]對于A，若a＝b時(shí)，a2＋b2＝2ab，則A中的不等式不恒成立．當(dāng)a<0，b<0時(shí)，選項(xiàng)B，C不成立，故選D．題型二利用基本不等式求最值例3(1)已知x<3，求f(x)＝eq\f(4,x－3)＋x的最大值；(2)已知x，y是正實(shí)數(shù)，且x＋y＝4，求eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)的最小值．[分析](1)將所求代數(shù)式變形，構(gòu)造出基本不等式所滿意的結(jié)構(gòu)條件，從而運(yùn)用基本不等式求最值．(2)利用“1”的代換，結(jié)合不等式求解．[解析](1)因?yàn)閤<3，所以x－3<0，所以f(x)＝eq\f(4,x－3)＋x＝eq\f(4,x－3)＋(x－3)＋3＝－[eq\f(4,3－x)＋(3－x)]＋3≤－2eq\r(\f(4,3－x)·3－x)＋3＝－1，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4,3－x)＝3－x，即x＝1時(shí)取等號，所以f(x)的最大值為－1.(2)因?yàn)閤，y是正實(shí)數(shù)，所以(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(3,y))＝4＋(eq\f(y,x)＋eq\f(3x,y))≥4＋2eq\r(3).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y,x)＝eq\f(3x,y)，即x＝2(eq\r(3)－1)，y＝2(3－eq\r(3))時(shí)取等號．又x＋y＝4，所以eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)≥1＋eq\f(\r(3),2)，故eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)的最小值為1＋eq\f(\r(3),2).[歸納提升]利用基本不等式求最值的方法及留意點(diǎn)(1)知和求積的最值：求解此類問題的關(guān)鍵：明確“和為定值，積有最大值”．但應(yīng)留意以下兩點(diǎn)：①具備條件——正數(shù)；②驗(yàn)證等號成立．(2)知積求和的最值：明確“積為定值，和有最小值”，干脆應(yīng)用基本不等式求解，但要留意利用基本不等式求最值的條件．(3)構(gòu)造不等式求最值：在求解含有兩個(gè)變量的代數(shù)式的最值問題時(shí)，通常采納“變量替換”或“常數(shù)1”的替換，構(gòu)造不等式求解．(4)利用基本不等式求最值時(shí)應(yīng)留意：①非零的各數(shù)(或式)均為正；②和或積為定值；③等號能否成立，即“一正、二定、三相等”，這三個(gè)條件缺一不行．【對點(diǎn)練習(xí)】?(1)若0<x<1，則eq\r(x3－2x)的取值范圍是__(0，eq\f(3\r(2),4)]__；(2)已知a>0，b>0，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝4，則a＋b的最小值為__1__.[解析](1)由0<x<1知3－2x>0，故eq\r(x3－2x)＝eq\f(1,\r(2))·eq\r(2x3－2x)≤eq\f(1,\r(2))·eq\f(2x＋3－2x,2)＝eq\f(3\r(2),4)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(3,4)時(shí)，上式等號成立．所以0<eq\r(x3－2x)≤eq\f(3\r(2),4).(2)由eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝4，得eq\f(1,4a)＋eq\f(1,4b)＝1.所以a＋b＝(eq\f(1,4a)＋eq\f(1,4b))(a＋b)＝eq\f(1,2)＋eq\f(b,4a)＋eq\f(a,4b)≥eq\f(1,2)＋2eq\r(\f(b,4a)×\f(a,4b))＝1.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)取等號．題型三利用基本不等式證明不等式例4已知a>b，ab＝1，求證：a2＋b2≥2eq\r(2)(a－b)．[分析]這是個(gè)條件不等式，因此要用好a>b，ab＝1這兩個(gè)條件．留意到不等式左、右兩邊的次數(shù)特征，因此要向模型ax＋eq\f(b,x)≥2eq\r(ab)進(jìn)行思索．[證明]∵a>b，∴a－b>0.又ab＝1，∴eq\f(a2＋b2,a－b)＝eq\f(a2＋b2＋2ab－2ab,a－b)＝eq\f(a－b2＋2ab,a－b)＝a－b＋eq\f(2,a－b)≥2eq\r(a－b·\f(2,a－b))＝2eq\r(2)，即eq\f(a2＋b2,a－b)≥2eq\r(2)，即a2＋b2≥2eq\r(2)(a－b)，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝eq\f(2,a－b)，即a－b＝eq\r(2)時(shí)取等號．[歸納提升]利用基本不等式證明不等式的思路利用基本不等式證明不等式時(shí)，要先視察題中要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征，若不能干脆運(yùn)用基本不等式證明，則考慮對代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)、變形、配湊等，使之轉(zhuǎn)化為能運(yùn)用基本不等式的形式；若題目中還有已知條件，則先視察已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系，當(dāng)已知條件中含有“1”時(shí)，要留意“1”的代換，另外，解題時(shí)要時(shí)刻留意等號能否取到．【對點(diǎn)練習(xí)】?已知x，y，z都是正數(shù)，求證：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.[證明]∵x，y，z是正數(shù)，x＋y≥2eq\r(xy)，y＋z≥2eq\r(yz)，x＋z≥2eq\r(xz)，∴(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.課堂檢測·固雙基1．若x2＋y2＝4，則xy的最大值是(C)A．eq\f(1,2) B．1C．2 D．4[解析]x2＋y2＝4≥2xy，∴xy≤2，∴xy的最大值為2，故選C．2．設(shè)a>b>0，則下列不等式中肯定成立的是(C)A．a(chǎn)－b<0 B．0<eq\f(a,b)<1C．eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2) D．a(chǎn)b>a＋b[解析]由基本不等式知eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，∵a>b>0，∴eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)，故選C．3．對于隨意正數(shù)a，b，A是a，b的算術(shù)平均數(shù)，G是a，b的幾何平均數(shù)，則A與G的大小關(guān)系是__A≥G__.4．已知x>0