2022-2023學(xué)年浙江省杭州市高三上學(xué)期開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題及答案_第1頁
2022-2023學(xué)年浙江省杭州市高三上學(xué)期開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題及答案_第2頁
2022-2023學(xué)年浙江省杭州市高三上學(xué)期開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題及答案_第3頁
2022-2023學(xué)年浙江省杭州市高三上學(xué)期開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題及答案_第4頁
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文檔簡介

2022-2023學(xué)年浙江省杭州市高三上學(xué)期開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題及答案考生須知:1.本試卷分試題卷和答題卷兩部分.滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.2.請用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域(黑色邊框)內(nèi)作答,超出答題區(qū)域的作答無效!3.考試結(jié)束,只需上交答題卡.一?選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,則()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式解法以及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可求得集合,根據(jù)集合的并集運(yùn)算即可求得答案.【詳解】由題意可得,故,故選:D.2.若復(fù)數(shù)(其中i為虛數(shù)單位),則()A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】由除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù),再根據(jù)定義求模即可.【詳解】因?yàn)?,則.故選:C.3.已知,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角恒等變換及齊次式弦化切,即可求值.【詳解】.故選:A.4.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,將其向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象,則不等式的解集是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出函數(shù)與的圖象,數(shù)形結(jié)合可得出不等式的解集.【詳解】根據(jù)圖中信息作出函數(shù)、的圖象如下圖所示:因?yàn)?,則,且,由圖可知,不等式的解集為.故選:C.5.已知非零向量的夾角的余弦值為,且,則()A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算及向量垂直的表示,可得關(guān)于的齊次方程,即可進(jìn)一步求得的值.【詳解】由得.∴,令,∴,解得或(舍去).故選:A.6.冬末春初,人們?nèi)菀赘忻鞍l(fā)熱,某公司規(guī)定:若任意連續(xù)7天,每天不超過5人體溫高于,則稱沒有發(fā)生群體性發(fā)熱.根據(jù)下列連續(xù)7天體溫高于人數(shù)的統(tǒng)計(jì)量,能判定該公司沒有發(fā)生群體性發(fā)熱的為()①中位數(shù)是3,眾數(shù)為2;②均值小于1,中位數(shù)為1;③均值為3,眾數(shù)為4;④均值為2,標(biāo)準(zhǔn)差為.A.①③ B.③④ C.②③ D.②④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等知識確定正確答案.【詳解】任意連續(xù)7天,每天不超過5人體溫高于的人數(shù)為2,2,2,3,3,4,6,則滿足中位數(shù)是3,眾數(shù)為2,但第7天是6人高于5人,故①錯誤;任意連續(xù)7天,每天不超過5人體溫高于的人數(shù)為0,1,2,4,4,4,6,則滿足均值是3,眾數(shù)為4,但第7天是6人高于5人,故③錯誤;對于②,將個數(shù)據(jù)從小到大排列為,,,所以,由于是自然數(shù),且,所以都不超過,②正確對于④,將個數(shù)據(jù)從小到大排列為,,,,,由于是自然數(shù),若自然數(shù)大于,則,矛盾,所以都不超過,④正確.綜上所述,正確的為②④.故選:D7.已知拋物線的焦點(diǎn)為F,直線l過焦點(diǎn)F與C交于A,B兩點(diǎn),以為直徑的圓與y軸交于D,E兩點(diǎn),且,則直線l的方程為()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)為M,根據(jù)求出r,進(jìn)而得到M點(diǎn)橫坐標(biāo);再設(shè)直線,由韋達(dá)定理得到k與M橫坐標(biāo)的關(guān)系,進(jìn)而求出k.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為M,軸于點(diǎn)N,過A,B作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,如下圖:由拋物線的定義知,故,所以,即,解得或(舍去),故M的橫坐標(biāo)為,設(shè)直線,將代入,得,則,解得,故直線l的方程為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是要抓住圓的兩要素:圓心和半徑,用圓心的橫坐標(biāo)得到斜率的等量關(guān)系.8.若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為,結(jié)合導(dǎo)數(shù)法有,則存在兩條切線等價(jià)于方程有兩個不同正解,結(jié)合判別式法及韋達(dá)定理列不等式組即可化簡判斷選項(xiàng).【詳解】設(shè)切點(diǎn)為,則,∴,則,化簡得:①,則,∵過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線,∴方程①有兩個不同正解,∴,∴.故選:B.二?多選題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知函數(shù).下列命題中正確的是()A.的圖象是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形B.在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減C.的最大值為,最小值為0D.的最大值為,最小值為【答案】ABD【解析】【分析】利用函數(shù)對稱的結(jié)論,即可驗(yàn)證選項(xiàng)A,由,知和在定義域內(nèi)的單調(diào)性相同,可驗(yàn)證選項(xiàng)B,通過單調(diào)性,即可求得最大值和最小值.【詳解】對于選項(xiàng)A,由,得的對稱軸為直線,因此的圖象是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形.對于選項(xiàng)BCD,因?yàn)椋瘮?shù)和在定義域內(nèi)的單調(diào)性相同,而在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),取到最大值;當(dāng)或3時(shí),取到最小值.故選:ABD.10.甲箱中有個紅球,個白球和個黑球,乙箱中有個紅球,個白球和個黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱,分別以和表示由甲箱取出的球是紅球,白球和黑球的事件;再從乙箱中隨機(jī)取出一球,以表示由乙箱取出的球是紅球的事件,則下列結(jié)論正確的是()A.事件與事件相互獨(dú)立 B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】由題設(shè)求出、,利用條件概率公式、全概率公式判斷B、C、D,根據(jù)是否相等判斷事件的獨(dú)立性.【詳解】由題意,,,先發(fā)生,此時(shí)乙袋有5個紅球,3個白球和3個黑球,則,先發(fā)生,此時(shí)乙袋有4個紅球,4個白球和3個黑球,則,先發(fā)生,此時(shí)乙袋有4個紅球,3個白球和4個黑球,則,所以,B正確;,,,C錯誤;則,,,A錯誤;,D正確.故選:BD11.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則()A.存在,使得函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)的最大值為C.的取值范圍為D.存在4個不同的,使得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】BCD【解析】【分析】對A選項(xiàng),計(jì)算,得到其與的關(guān)系即可判斷,對B選項(xiàng),根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可求出的最大值,對C選項(xiàng),根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,得到不等式組,解出即可,對D選項(xiàng),令,解出,再結(jié)合C選項(xiàng)范圍則可得到的值.【詳解】解:,定義域?yàn)?,不恒成立,則不存在,使得函數(shù)為奇函數(shù),故A錯誤;由,得,則的最大值為,故B正確;由于在區(qū)間上單調(diào)遞增,故,解第一個不等式得,,故,解二式得,故,又,所以,故C正確;令,,解得,,由知的取值為,,,,共4個值,故D正確.故選:BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題的難點(diǎn)在于C,D選項(xiàng)的判斷,根據(jù)的某個單調(diào)增區(qū)間,則其整體應(yīng)該在,即應(yīng)該是后者的子集,再結(jié)合,從而得到關(guān)鍵的不等式組,解出范圍,而D選項(xiàng)我們采取代入法,將代入則內(nèi)部整體應(yīng)等于對稱軸通項(xiàng)即,再結(jié)合范圍,則得到所有取值.12.已知函數(shù),設(shè)為實(shí)數(shù),且.下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B.不等式的解集為C.若,則D.若,則【答案】ABD【解析】【分析】對A,由可判斷;對B,根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增可求解;對CD,根據(jù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象,表示出直線的方程,根據(jù)均在直線上方建立不等關(guān)系可得.【詳解】對A,,函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,故A正確;對B,在上單調(diào)遞增,且,則化為,則,解得,故不等式的解集為,故B正確;對CD,,則可得,且關(guān)于點(diǎn)對稱,在上單調(diào)遞增,可得函數(shù)圖象如下:均在直線上方,其中直線的方程為,則可得,,所以,,,即,故C錯誤,D正確.故選:ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:解決本題的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)的對稱性和單調(diào)性畫出函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合求解.三?填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.13.的展開式中的系數(shù)為_______________.【答案】40【解析】【分析】利用展開式的通項(xiàng),令的指數(shù)等于3和1,即得展開式中的系數(shù).【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng),令和,可得的系數(shù)為.故答案為:40.14.將函數(shù)y=的圖象向右平移個單位長度,則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是____.【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)圖象變換得解析式,再求對稱軸方程,最后確定結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換、正弦函數(shù)對稱軸,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.15.已知雙曲線,若過點(diǎn)能作該雙曲線的兩條切線,則該雙曲線的離心率e的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)出切線方程,聯(lián)立雙曲線方程消元得一元二次方程,則兩條切線等價(jià)于有兩個不等實(shí)根,即可進(jìn)一步列判別式不等式求得參數(shù)范圍,從而求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)切線方程為代入得,易得,由,由題意此方程有兩個不等的實(shí)根,故,則,所以,即,又代入得,所以,故離心率e的取值范圍為.故答案為:.16.已知不等式,對恒成立,則a的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知得出,對恒成立,而在,上,,可得,將化為,令,根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性,則可化為,即可根據(jù)單調(diào)性得出,令,根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出,即可得出,即可得出答案.【詳解】,對恒成立,則,對恒成立,,,,,則要滿足,則,即,化為:,兩邊乘得:,令,則,令,解得,則在上單調(diào)遞增,不等式,對恒成立,即時(shí),恒成立,則可化為:,當(dāng),時(shí),,,則根據(jù)單調(diào)性可得,則,令,則,令,解得,即在上單調(diào)遞增,令,解得,即上單調(diào)遞減,則,則,即,,綜上,故答案為.四?解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列,寫出通項(xiàng)公式,用求得通項(xiàng)公式.(2)考查用錯位相減法求和,寫出,,兩式錯位作差,化簡.【小問1詳解】,①時(shí),,②①-②,∵為等比數(shù)列∴∴【小問2詳解】,∴,①,②①-②得,∴.18.的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.(1)求B;(2)若為銳角三角形,且,求周長的取值范圍.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件,利用正弦定理角化邊,再利用余弦定理計(jì)算作答.(2)由(1)的結(jié)論,利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換求解作答.【小問1詳解】在中,,由正弦定理得:,整理得,由余弦定理得:,而,所以.【小問2詳解】由(1)知,,由正弦定理得:,則,而,令,在銳角中,,解得,,于是得,則,所以周長的取值范圍是.19.已知函數(shù)滿足.(1)求函數(shù)的解析式;(2)若關(guān)于x的方程恰有四個不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)構(gòu)造等式,即可解得的解析式;(2)對k的符號分類討論,其中時(shí),由參變分離可得恰有四個不相等的實(shí)根,結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)數(shù)形結(jié)合討論即可.【小問1詳解】由題意得:,∴,解得;【小問2詳解】i.當(dāng)時(shí),明顯無解;ii.當(dāng)時(shí),只有一個實(shí)根,不符合條件;iii.當(dāng)時(shí),恰有四個不相等的實(shí)根.∴與共有四個不相等的實(shí)根.∴解得或,∴或,∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是.20.第屆冬季奧運(yùn)會將于年月日在北京開幕,本次冬季奧運(yùn)會共設(shè)個大項(xiàng),個分項(xiàng),個小項(xiàng).為調(diào)查學(xué)生對冬季奧運(yùn)會項(xiàng)目的了解情況,某大學(xué)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查,若被調(diào)查的男女生人數(shù)均為,統(tǒng)計(jì)得到以下列聯(lián)表,經(jīng)過計(jì)算可得.男生女生合計(jì)了解不了解合計(jì)(1)求的值,并判斷有多大的把握認(rèn)為該校學(xué)生對冬季奧運(yùn)會項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān);(2)①為弄清學(xué)生不了解冬季奧運(yùn)會項(xiàng)目的原因,采用分層抽樣的方法從抽取的不理解冬季奧運(yùn)會項(xiàng)目的學(xué)生中隨機(jī)抽取人,再從這人中抽取人進(jìn)行面對面交流,“至少抽到一名女生”的概率;②將頻率視為概率,用樣本估計(jì)總體,從該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取人,記其中對冬季奧運(yùn)會項(xiàng)目了解的人數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.附表:附:.【答案】(1),有的把握;(2)①;②.【解析】【分析】(1)完善列聯(lián)表,根據(jù)的計(jì)算可得出關(guān)于的等式,即可解得正整數(shù)的值,結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論;(2)①分析可知這人中男生的人數(shù)為,女生的人數(shù)為,利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型和對立事件的概率公式可求得所求事件的概率;②分析可知,利用二項(xiàng)分布的期望公式可求得的值.【小問1詳解】解:列聯(lián)表如下表所示:男生女生合計(jì)了解不了解合計(jì),,可得,,因此,有的把握認(rèn)為該校學(xué)生對冬季奧運(yùn)會項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān);【小問2詳解】解:①采用分層抽樣的方法從抽取的不理解冬季奧運(yùn)會項(xiàng)目的學(xué)生中隨機(jī)抽取人,這人中男生的人數(shù)為,女生的人數(shù)為,再從這人中抽取人進(jìn)行面對面交流,“至少抽到一名女生”的概率為;②由題意可知,故.21.已知橢圓的離心率為,上頂點(diǎn)為M,下頂點(diǎn)為N,,設(shè)點(diǎn)在直線上,過點(diǎn)T的直線分別交橢圓C于點(diǎn)E和點(diǎn)F.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求證:直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn);(3)若的面積為的面積的k倍,則當(dāng)t為何值時(shí),k取得最大值?【答案】(1)(2)證明見解析,(3)【解析】【分析】(1)由短軸長及離心率求得參數(shù),可得標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)分別聯(lián)立直線、直線與橢圓的方程,解出坐標(biāo),即可寫出直線方程,判斷定點(diǎn);(3)設(shè)EF交y軸與P,由得到關(guān)于t的齊次式函數(shù),結(jié)合均值不等式討論最值即可.【小問1詳解】由題意可得由橢圓的離心率為可得,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由題意知直線的方程為,直線的方程為.由,得.同理,.所以,所以直線的方程為:,即,所以,直線過定點(diǎn).【小問3詳解】設(shè)EF交y軸與P,則.因?yàn)?,所以.?dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號成立.所以當(dāng)時(shí),k取得最大值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:(1)直線過頂點(diǎn)問題,一般可寫出直線方程,通過方程判斷定點(diǎn),本題直線上的點(diǎn)由其它直線與圓錐曲線相交所得,故可聯(lián)立直線與圓錐曲線求得交點(diǎn),即可寫出直線方程。(2)最值問題,一般寫出對應(yīng)的函數(shù)式,進(jìn)而討論最值,本題為面積比值的最值,考慮到已知的點(diǎn)的坐標(biāo),可以用拼湊法表示面積.22.已知函數(shù)(1)若1是的極值點(diǎn),求a的值;(2)求的單調(diào)區(qū)間:(3)已知有兩個解,(i)直接寫出a的取值范圍;(無需過程)(ii)λ為正實(shí)數(shù),若對于符合題意的任意,當(dāng)時(shí)都有,求λ的取值范圍.【答案】(1);(2)答案見解析;(3)(i);(ii).【解析】【分析】(1)求導(dǎo)后,利用極值點(diǎn)的定義可知,從而求得;(2)分類討論與,可得的單調(diào)情況;(3)(i)

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