2022-2023學(xué)年江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期期初調(diào)研數(shù)學(xué)試題及答案

2022-2023學(xué)年江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期期初調(diào)研數(shù)學(xué)試題及答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，我們聽到的聲音中包含著正弦函數(shù)．若某聲音對應(yīng)的函數(shù)可近似為，則下列敘述正確的是（）A.為的對稱軸 B.為的對稱中心C.在區(qū)間上有3個零點(diǎn) D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【解析】【分析】利用知關(guān)于直線對稱的性質(zhì)驗(yàn)證A；求得可判斷B；化簡，令，得，進(jìn)而判斷C；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對于A，由已知得，即，故不關(guān)于對稱，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，利用二倍角公式知，令得或，即，所以該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個零點(diǎn)，故C錯誤；對于D，求導(dǎo)，令，由，知，即，利用二次函數(shù)性質(zhì)知，即，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；故選：D.2.已知是定義在上的增函數(shù)，且恒有，則“”是“恒成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】令，由題可求得，得出，因?yàn)楹愠闪⒌葍r(jià)于對恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可判斷.【詳解】令，則．是增函數(shù)且，，對恒成立．令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；，．是的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查必要不充分條件的判斷，解題的關(guān)鍵是求出，將恒成立等價(jià)于對恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求最值.3.如果對一切正實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將不等式cos2x≥asinx恒成立轉(zhuǎn)化為asinx+1﹣sin2x恒成立，構(gòu)造函數(shù)f（y），利用基本不等式可求得f（y）min＝3，于是問題轉(zhuǎn)化為asinx﹣sin2x≤2恒成立．通過對sinx＞0、sinx＜0、sinx＝0三類討論，可求得對應(yīng)情況下的實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后取其交集即可得到答案．【詳解】解：?實(shí)數(shù)x、y，不等式cos2x≥asinx恒成立?asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y），則asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，∵y＞0，f（y）23（當(dāng)且僅當(dāng)y＝6時(shí)取“＝”），f（y）min＝3；所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx恒成立，令sinx＝t，則0＜t≤1，再令g（t）＝t（0＜t≤1），則a≤g（t）min．由于g′（t）＝10，所以，g（t）＝t在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，因此，g（t）min＝g（1）＝3，所以a≤3；②若sinx＜0，則a≥sinx恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx＝0，0≤2恒成立，故a∈R；綜合①②③，﹣3≤a≤3．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查恒成立問題，將不等式cos2x≥asinx恒成立轉(zhuǎn)化為asinx+1﹣sin2x恒成立是基礎(chǔ)，令f（y），求得f（y）min＝3是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．4.黃金分割〔〕是一種數(shù)學(xué)上比例關(guān)系.黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值.應(yīng)用時(shí)一般取，就像圓周率在應(yīng)用時(shí)取一樣.高雅的藝術(shù)殿堂里，自然也留下了黃金數(shù)的足跡.人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的處.藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂器的琴馬放在琴弦的處，能使琴聲更加柔和甜美.黃金矩形的長寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長邊為短邊倍.黃金分割率和黃金矩形能夠給畫面帶來美感，令人愉悅.在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它.希臘雅典的巴特農(nóng)神廟就是一個很好的例子，達(dá)芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形.《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最后的晚餐》同樣也應(yīng)用了該比例布局.2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對于全部之比，等于另一部分對于該部分之比，黃金分割比為其實(shí)有關(guān)“黃金分割”，我國也有記載，雖沒有古希臘的早，但它是我國數(shù)學(xué)家獨(dú)立創(chuàng)造的.如圖，在矩形中，，相交于點(diǎn)，，，，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算和平面向量基本定理即可求解．【詳解】解：，顯然，，所以，，，，故選：D．5.在中，，，過的外心O的直線(不經(jīng)過點(diǎn))分別交線段于，且，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得，外接圓的半徑，設(shè)，，，根據(jù)，結(jié)合和三點(diǎn)共線，得到，進(jìn)而求得，利用基本不等式和函數(shù)的性質(zhì)，即可求得取值范圍.【詳解】因?yàn)橹校?，由余弦定理可得，即，且，設(shè)，則，，所以，同理可得，，解得，所以，又因?yàn)?，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，因?yàn)?，所以，所以，同理可得，所以所以，設(shè)，可得，令，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值；又由，，可得，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，所以的取值范圍是.故選：B.6.??是等腰直角三角形（）內(nèi)的點(diǎn)，且滿足，，，則下列說法正確的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形分別計(jì)算，和的值，再比較大小【詳解】

(正弦定理)

在的角平分線上,同理可證在的角平分線上,

為內(nèi)心如圖所示由知,這三個角都是

且在的平分線上,延長交于點(diǎn)

取,則,

得,

所以

記的周長為由題意知是的內(nèi)心,內(nèi)切圓半徑

所以

由,且

則

所以,即,則在以為直徑的圓上

由,且

所以,得

由,得

所以

設(shè),在中由余弦定理得解得所以所以故選:C7.已知，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，即可得到，，，利用導(dǎo)數(shù)說明在的單調(diào)性，再令，利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性，即可得到，從而得到，即可得解；【詳解】解：令，，所以，，，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以在處取得極大值即最大值，，因?yàn)?，所以，即，所以，故選：D8.已知數(shù)列滿足0，且，則A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先取特殊值進(jìn)行排除，再利用遞推關(guān)系計(jì)算前6項(xiàng)，進(jìn)行猜測結(jié)論并證明.詳解】由,取特殊值：，，得：=，=，排除C、D；==，=>；且，，均小于，猜測，下面由圖說明：當(dāng)時(shí)，由迭代蛛網(wǎng)圖：可得，單調(diào)遞增，此時(shí)不動點(diǎn)為，當(dāng)n時(shí)，，則有，.當(dāng)時(shí)，由迭代蛛網(wǎng)圖：可得，當(dāng)n分別為奇數(shù)、偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，且都趨向于不動點(diǎn)，由圖像得，，綜上可得，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的運(yùn)算，考查了由特殊到一般的思維方法，考查了分類討論與數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若數(shù)列滿足：對，若，則，稱數(shù)列為“鯉魚躍龍門數(shù)列”.下列數(shù)列是“鯉魚躍龍門數(shù)列”的有（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】舉特例，可說明A不符合題意，同理可說明C不符合題意；依據(jù)“鯉魚躍龍門數(shù)列”的定義，可說明B,D.【詳解】對于A,不妨取，但，不滿足，故A錯誤；對于B,,對，若,則，則,即，故B正確；對于C，不妨取，但，不滿足，故C錯誤；對于D,,對，若,則，則，故，即，故D正確；故選：BD10.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題中為虛數(shù)單位，說法正確的是（）A.若關(guān)于x的方程有實(shí)根，則B.復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C.是關(guān)于x的方程的一個根，其中p、q為實(shí)數(shù)，則D.已知，，且，則【答案】AC【解析】【分析】將方程整理可得求出，再代入計(jì)算可得，即可判斷A，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)解得幾何意義判斷B，根據(jù)虛根成對原理及韋達(dá)定理計(jì)算即可判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件判斷D.【詳解】解：對于A：關(guān)于的方程有實(shí)根，即，所以，解得，代入解得，故A正確；對于B：復(fù)數(shù)滿足，所以，故在復(fù)平面對應(yīng)的第四象限，故B錯誤；對于C：是關(guān)于的方程的一個根，其中、為實(shí)數(shù)，則也是方程的根，所以，所以，故C正確．對于D：若，且，由，可得，故D錯誤；故選：AC．11.中，為邊上的一點(diǎn)，且滿足，若為邊上的一點(diǎn)，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線定理可知A錯誤；根據(jù)，利用基本不等式可求得最大值，知B正確；由，利用基本不等式可求得最小值，知C錯誤；利用基本不等式可得，知D正確.【詳解】對于A，，三點(diǎn)共線，，A錯誤；對于B，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），B正確；對于C，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號），C錯誤；對于D，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個條件：一正二定三相等.（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.12.已知函數(shù)，則（）A.是以為周期的周期函數(shù)B.直線是圖象的一條對稱軸C.的值域?yàn)镈.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的性質(zhì)對選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對于，因?yàn)椋允且詾橹芷诘闹芷诤瘮?shù)，故A正確；對于B，，設(shè)，由，解得，故B錯誤，對于C，值域?yàn)椋瑒t的值域?yàn)?，故C正確；對于D，，由，解得，所以在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若向量，，則與共線的單位向量的坐標(biāo)是______.【答案】和【解析】【分析】由題意可求出，則可寫出與共線的單位向量的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)?，，所以，所以與共線的單位向量的坐標(biāo)為和.故答案為：和.14.已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則______.【答案】0【解析】【分析】依題意可得關(guān)于直線對稱、關(guān)于點(diǎn)對稱且時(shí)周期為的周期函數(shù)，再求出、，即可得解.【詳解】解：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，即，則關(guān)于直線對稱，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，則，所以是周期為的周期函數(shù)，由，即，所以為奇函數(shù)，又是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，所以，在中，令，所以，所以，在中，令，所以，所以，所以，所以.故答案為：15.設(shè)復(fù)數(shù)，，其中，若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則______，的范圍為______.【答案】①.②.##【解析】【分析】由已知，根據(jù)給的，先表示出，然后表示出，并根據(jù)數(shù)為實(shí)數(shù)，即可得到等式并根據(jù)的范圍及可求解出；由已知，先表示出，然后直接計(jì)算，并根據(jù)的范圍即可完成求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)閺?fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，所以，即，所以，因，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，所?故答案為：；.16.已知函數(shù)有三個零點(diǎn)，且有，則的值為________.【答案】12【解析】【分析】由得出，令，得出，利用導(dǎo)數(shù)得出的圖象，由零點(diǎn)的個數(shù)，結(jié)合圖象求解即可.【詳解】若，則，即當(dāng)時(shí)，可得，不成立，故等式兩邊同除以，得即令，則方程有兩個不等的實(shí)根，，令，則，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，如下圖所示函數(shù)有三個零點(diǎn)，由圖可知，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)的范圍一般思路：利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的簡圖，由交點(diǎn)的個數(shù)結(jié)合圖象得出參數(shù)的范圍.四、解答題：本題共6小題，共70分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用，結(jié)合已知條件，即可容易求得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）中所求，對數(shù)列進(jìn)行裂項(xiàng)求和，即可求得.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，故?shù)列的前項(xiàng)和.18.已知、是方程的兩個實(shí)數(shù)根.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求的值；（3）若，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理及同角關(guān)系式即得；（2）根據(jù)同角關(guān)系式化簡即得；（3）由題可得，然后利用二倍角公式即得.【小問1詳解】因?yàn)?、是方程的兩個實(shí)數(shù)根，

由韋達(dá)定理得，

由，則，所以；【小問2詳解】；【小問3詳解】因?yàn)?，所?/p>

，

所以，

因?yàn)?/p>

，所以，，，

所以.19.將形如的符號稱為二階行列式，現(xiàn)規(guī)定二階行列式的運(yùn)算如下：．已知兩個不共線的向量，的夾角為，，（其中），且．（1）若為鈍角，試探究與能否垂直？若能，求出的值；若不能，請說明理由；（2）若，當(dāng)時(shí)，求的最小值并求出此時(shí)與的夾角．【答案】（1）不可能垂直；理由見解析；（2）；．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到，求得，即，進(jìn)而化簡，根據(jù)為鈍角，即可得到結(jié)論；（2）因?yàn)?，求得，由向量的模的運(yùn)算公式，求得，得到當(dāng)時(shí)，，得出，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，因?yàn)椋傻?，解得，即，則，所以，因?yàn)闉殁g角，所以，故，所以與不可能垂直．（2）因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以?0.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入兩個數(shù)，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，…，，…是從中抽取的部分項(xiàng)按原來的順序排列組成的一個等比數(shù)列，，，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，根據(jù)在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入兩個數(shù)，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，求得首項(xiàng)和公差，即可得解；（2）根據(jù)題意可求得等比數(shù)列的公比，從而得到，又，即可求得，從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)，再利用錯位相減法即可得出答案.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則，所以，所以；（2）由，，則，，所以等比數(shù)列的公比為3，所以，又因是等差數(shù)列的第項(xiàng)，所以，所以，所以，所以，則，，兩式相減得所以.21.已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求正數(shù)的取值范圍；（2）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，，，D、E、H為邊上的點(diǎn).從以下給出的3個條件中選擇其中1個條件，并根據(jù)所選擇的條件判斷是否存在滿足條件的三角形？若存在，求出的周長；若不存在，請說明理由（若多種選擇作答，則按第一種解答給分）.①邊的中線；②A角的角平分線；③邊的垂線.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）化簡并求出其中的一個單調(diào)遞增區(qū)間，從而得到為它的一個子區(qū)間；（2）若選擇①，求出，不合題意.故此時(shí)不存在滿足條件的三角形.若選擇②，利用三角形的面積關(guān)系可得，再構(gòu)造出關(guān)于的方程；若選擇③，利用三角形的面積關(guān)系可得故，再構(gòu)造出關(guān)于的方程；【小問1詳解】由題，.令，則.令，則在上單調(diào)遞增.由在上遞增，則，解得.故正數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】（2）由，，則，則.因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，?）.若選擇①，設(shè)，