人教A版（2019）高一數(shù)學必修第二冊-棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積-1教案

教案教學基本信息課題8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積學科數(shù)學學段：高中年級高一教材書名：普通高中教科書數(shù)學A版必修第二冊出版社：人民教育出版社出版日期：2019年8月姓名單位設計者葉娟娟北京四中順義分校實施者葉娟娟北京四中順義分校指導者張連榮北京四中順義分校課件制作者葉娟娟北京四中順義分校其他參與者李淑敬、趙賀北京市順義區(qū)教育研究和教師研修中心教學目標及教學重點、難點教學目標1.通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握它們的表面積與體積的公式及求法；2.掌握與多面體相關(guān)的簡單幾何體的表面積與體積的求法，并能解決一些有關(guān)的實際問題；3.通過學習逐步培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化、類比、一般化與特殊化等思想方法；提高邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng)和空間想象等能力.教學重點:棱柱、棱錐和棱臺的表面積與體積公式及求法；教學難點:實際問題中與多面體相關(guān)的簡單組合體的表面積與體積的求法.教學過程(表格描述)教學環(huán)節(jié)主要教學活動設置意圖復習引入前面我們分別認識了基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征和平面表示，先復習下空間幾何體的分類：前面我們學習了棱柱、棱錐、棱臺的概念，大家還記得它們的結(jié)構(gòu)特征嗎？1.棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．兩個互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的側(cè)面．兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點2.棱錐的定義：有一個面是多邊形，而其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐.這個多邊形叫做棱錐的底面，棱錐中有公共頂點的各三角形，叫做棱錐的側(cè)面；相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點.3.棱臺的定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，把底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；其他各面叫做棱臺的側(cè)面；相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱臺的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱臺的頂點.本節(jié)進一步認識簡單幾何體的表面積和體積..今天我們首先學習棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積.溫故知新，通過對前面所學知識的梳理，明確研究對象：棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征，為學習棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積做好知識準備.棱柱、棱錐、棱臺的表面積1.表面積的定義：表面積是幾何體表面的面積，它表示幾何體表面的大小.思考：在初中，我們已經(jīng)學習了長方體的表面積，以及它的展開圖，你知道長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？長方體是由多個平面圖形圍成的多面體，它的表面積就是各個面的面積的和，也就是展開圖的面積.通過長方體的研究我們可知：要研究空間幾何體的表面積，我們可以把幾何體的表面展開成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求空間幾何體的表面積．這樣就可以將空間問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的平面問題.探究：棱柱、棱錐、棱臺也是由多個平面圖形圍成多面體，它們的側(cè)面展開圖是什么？如何計算他們的表面積.（1）棱柱的側(cè)面展開圖棱柱的側(cè)面展開圖是由若干個平行四邊形組成的平面圖形.棱柱的表面積等于上、下底面和側(cè)面積的和.（2）棱錐的側(cè)面展開圖棱錐的側(cè)面展開圖是由若干個三角形組成的平面圖形.棱錐的表面積等于底面和側(cè)面積的和.（3）棱臺的側(cè)面展開圖棱臺的側(cè)面展開圖是由若干個梯形組成的平面圖形.棱臺的表面積等于上、下底面和側(cè)面積的和.注意：對于一個幾何體，不同的展開方式，其平面展開圖是不同的，但其表面積是唯一確定的.棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計算它們的表面積就是計算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和．例題如圖，四面體P-ABC的各棱長均為a，求它的表面積.分析：因為四面體P-ABC的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面的面積的4倍.解：因為△PBC是正三角形，其邊長為a，所以.因此，四面體P-ABC的表面積.例題正四棱臺的上、下底面邊長分別是4cm和8cm，側(cè)棱長是8cm，求它的表面積.分析：正四棱臺的上下底面均為正方形，側(cè)面是由四個等腰梯形組成的圖形.解：因為上底面A1B1C1D1和下底面ABCD為正方形，所以S上底=4×4=16(cm2)，S下底=8×8=64(cm2)因為正四棱臺四個側(cè)面是全等的等腰梯形,在等腰梯形A1B1BA中，過A1作A1E⊥AB交AB于點E.二.棱柱、棱錐和棱臺的體積1.體積的定義：體積是幾何體所占空間的大小.思考：同一摞書，當改變擺放書的形式時，這摞書的總體積是否會改變？由此能得到有關(guān)體積的什么結(jié)論？我們發(fā)現(xiàn)：雖然幾何形狀發(fā)生了變化，但高度沒變，每頁紙的面積沒變，體積沒變.我國古代對幾何體的體積研究，取得了光輝的成就，并建立了完整的理論體系.這個理論的基礎是：祖暅原理：冪勢既同，則積不容異.這就是說，夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果被平行于這兩個平面的任意平面所截，兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等.1.棱柱的體積：我們注意到棱柱被平行與底面的平面所截時，得到的截面與底面全等，因此截面面積一定等于底面面積，從而由祖暅原理可知，底面面積相等，高相等的兩個棱柱，體積相等.我們在小學和初中已經(jīng)學過特殊的棱柱——長方體的體積公式,它的體積公式等于底面面積乘以高：，S，h分別是長方體的底面積和高.那么由長方體體積的算法，可以推出求其它棱柱體積的算法.一般地，如果棱柱的底面積是S，高是h，那么這個棱柱的體積公式為：.棱柱的高是指兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一個底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離.2.棱錐的體積由祖暅原理可知，底面面積相等，高相等的兩個棱錐，體積相等.那么如果棱錐的底面積是S，高為h，則棱錐的體積公式為？探究棱錐與同底等高的棱柱體積之間的關(guān)系：將這個三棱柱分割成3個三棱錐.其中三棱錐1，2的底面積相等，高也相等，三棱錐2，3的底面積相等，高也相等.因此這3個三棱錐體積相等，每個三棱錐的體積都是.如果一個棱柱和一個棱錐的底面積相等，高也相等，那么，棱柱的體積是棱錐的體積的3倍.因此，一般地，如果棱錐的底面面積為S，高為h，那么該棱錐的體積：棱錐的高是指從頂點向底面作垂線，頂點與垂足之間的距離.3.棱臺的體積因為棱臺可看成棱錐截去一個小錐體得到，所以棱臺的體積可以通過計算棱錐的體積之差來得到：如果棱臺的上、下底面面積分別為S′，S，高為h，將四棱臺看成從棱錐P-ABCD中截去棱錐P-A′B′C′D′所得到的，設兩個棱錐的高分別為PO與PO′．從而可知棱臺的體積為結(jié)論：一般地，如果棱臺的上、下底面面積分別為S’，S高為h，則棱臺的體積計算公式其中，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高.棱臺的高是指指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，這點與垂足之間的距離.思考：觀察棱柱、棱錐、棱臺的體積公式：（S為底面面積，h為高）（S為底面面積，h為高）（S’，S分別為上、下底面面積，h為高）它們之間有什么關(guān)系？你能用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎？我們發(fā)現(xiàn)：當棱臺的上底面擴大到和下底面相等時就變成了棱柱；當棱臺的上底面縮小到一個點時，就變成了棱錐.例題如圖，一個漏斗的上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，兩部分的高都是0.5m，公共面是邊長為1m的正方形，那么這個漏斗的容積是多少立方米（精確到0.01m3）?分析：漏斗由兩個多面體組成，其容積就是兩個多面體的體積和.解：由題意知，所以這個漏斗的容積例題已知直三棱柱ABC-A′B′C′，底面ABC的一邊長BC為2cm，另兩邊長為3cm，側(cè)棱長為4cm，求它的側(cè)面積和體積.分析：由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征可知：三個側(cè)面都是矩形；側(cè)棱長等于高.例題如圖，將一個長方體ABCD-A′B′C′D′沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐B-A′B′C′，求棱錐B-A′B′C′的體積與剩下的幾何體體積的比.分析：需要分別求出長方體ABCD-A′B′C′D′和棱錐B-A′B′C′的體積.例題正四棱錐底面邊長為4cm，高與斜高的夾角是30o，求正四棱錐的表面積和體積.分析：首先需要計算正四棱錐的高與斜高的值，然后利用公式計算底面面積和側(cè)面面積以及體積.解：根據(jù)正四棱錐的定義可知：取正方形ABCD的中心O，則PO為正四棱錐的高.取BC的中點E，則PE為正四棱錐的斜高.因為正四棱錐的底面為正方形，側(cè)面為四個全等的等腰三角形.所以S底面=4×4=16(cm2)，從學生熟悉的長方體的展開圖入手，分析展開圖與其表面積的關(guān)系。目的有兩個：一是復習表面積的概念，即表面積是各個面的面積的和；二是介紹求幾何體表面積的方法，把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積.通過對棱柱、棱錐、棱臺的展開圖的研究，使學生理解棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計算它們的表面積就是計算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和．通過兩道例題的分析，使學生了解要計算棱柱、棱錐、棱臺的表面積，首先是要弄清楚幾何體的結(jié)構(gòu)特征，它的每個面是哪個平面圖形.求棱柱、棱錐、棱臺的表面積轉(zhuǎn)化為求平面三角形、四邊形、多邊形的面積.在教學中滲透轉(zhuǎn)化的思想.從學生熟悉的情景出發(fā)，引出學生對幾何體體積問題的思考.通過對祖暅原理的學習，使學生了解我國古代數(shù)學家在這方面作出的突出成就，受到愛國主義教育，激發(fā)學生熱愛科學，提高學習數(shù)學的興趣.利用祖暅原理對棱柱、棱錐和棱臺體積公式的推導，培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)和論證能力.用分割法對棱錐體積公式的推導，培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)和論證能力.在推導過程中滲透等體積法的思想方法.棱臺的體積公式的推導過程要注意對學生的邏輯推理素養(yǎng)和論證能力的培養(yǎng).在給出棱柱、棱錐、棱臺的體積公式后，讓學生思考它們之間的關(guān)系，培養(yǎng)學生思考、歸納、總結(jié)等數(shù)學學習習慣和能力.引導學生用運動變化的觀點研究棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間的關(guān)系.通過例3的分析使學生知道求組合體的體積時，要注意組合體的結(jié)構(gòu)特征，先分解成我們熟悉的簡單幾何體（如棱柱、棱錐、棱臺等），再根據(jù)每個簡單幾何體的體積公式來計算.使學生感受簡單幾何體和它們的組合體的表面積和體積的求法，以及應用公式解決簡單實際問題的一般過程和方法鞏固掌握多面體的表面積和體積的求法.提醒同學注意分析直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征來求.表面積和體積.可直接利用公式法計算.本題是幾何體的分割問題，解答時可先求出整個長方體的體積，再求出截下的三棱錐的體積，從而求出剩余部分的體積.在求幾何體的體積時，必須先確定底面積和高，然后運用體積公式，應注意到平面圖形的應用；而對于組合體，可采用“割補