高考數(shù)學(xué)一輪備考等比數(shù)列專項(xiàng)練

等比數(shù)列專項(xiàng)練

一、單選題

1.我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自倍，五

日織五尺，問次日織兒?jiǎn)?？其意為：一女子每天織布的尺?shù)是前一天的2倍，5天共織

布5尺，請(qǐng)問第二天織布的尺數(shù)是（)

40

A.D

3?B圈-a

2.已知等比數(shù)列｛&〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃，則“等比礪”是“｛4〃｝單調(diào)遞增”的

)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.等比數(shù)列｛4｝中，％=1,%=4%,S.為｛〃“｝的前〃項(xiàng)和.若S,”=63,則加的值

是)

A.6B.7C.8D.不存在

4.已知數(shù)列｛4｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，S”是其前〃項(xiàng)和，&=2,4=8,則S?=

)

A.31B.63C.127D.255

5.記S?為等比數(shù)列｛a〃｝的前〃項(xiàng)和.若布-a尸12,匹.-a尸24,則1=（

)

%

A.2n-1B.2-21-/?C.2-2n'D.2}n-1

6.在等比數(shù)列｛4｝中，出6%=3,%%%=24，貝IJ的小佝的值為()

A.48B.72C.144D.192

7.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，若4%=64,4+4=20,則可()

A.B.2沙C.2n~2或2人"D.22-M或T-1

8.己知數(shù)列｛6｝是等比數(shù)列，若4=1嗎則%的值為（

A.4B.4或-4C.2D.2或-2

9.記邑為等比數(shù)列｛q｝的前〃§2=4,S4=6,則§6=()

A.7B.8C.9D.10

10.十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是

數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間［0』均

分為三段，去掉中間的區(qū)間段(攝|),記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間段0,；,

-2-

-J分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；如此這樣，每次

在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間

段.操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，以至無(wú)窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去

掉的各區(qū)間長(zhǎng)度之和不小于木，則需要操作的次數(shù)〃的最小值為(參考數(shù)據(jù)：

1g2=0.3010,1g3=0.4771)()

A.4B.5C.6D.7

11.在各項(xiàng)為正的遞增等比數(shù)列｛4｝中，4/4=64，4+4+《=21,則為=

()

A.2""B.2"TC.3X2”TD.2X3”T

12.數(shù)列｛可｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足。/向=4"，則數(shù)列;-----------的前〃項(xiàng)和

llog2a?-log26rn+1J

Tn=()

4〃B.2C.4D.

A.-----

2n+\2n-l2n+\2n-\

二、填空題

13.在等比數(shù)列｛4｝中，/+%=1，/+44=2,則4+%=.

14.已知等比數(shù)列｛4｝的公比為9,且16%,4%,生成等差數(shù)列，則9的值是

15.已知數(shù)列｛4｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，a3a6a9=21,則%%+《生+”64。的最小值為

Io

16.已知等比數(shù)列｛a〃｝的公比為2,若存在兩項(xiàng)的，an,使得a勿?a/?=64a；,則一+一

mn

的最小值為.

17.已知S”是數(shù)列｛a,｝的前〃項(xiàng)和，4+1-3〃“+2凡_1=1,%=1,%=4,求數(shù)列｛4｝

的通項(xiàng)公式.

三、解答題

18.已知公比大于1的等比數(shù)列比J滿足出+q=20曲=大

(1)求(〃,』的通項(xiàng)公式；

n-,

(2)求ata2-a2a3+...+(-l)anan^.

19.已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S/b滿足a“+S0=2〃.

⑴求證：數(shù)列｛q-2｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列應(yīng)｝的通項(xiàng)公式；

⑵若不等式2九-儲(chǔ)＞(2〃-3)(2-4)對(duì)任意的正整數(shù)〃恒成立,求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

20.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為正數(shù)，《=1,其前〃項(xiàng)和為S“，數(shù)列色｝為等比數(shù)列，

4=2,且為，=12,b2+S3=10.

(1)求數(shù)列｛4｝與也｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛為也｝的前〃項(xiàng)和人

(3)設(shè)c“="+￡,〃￡N.，求數(shù)列｛qj的前2〃項(xiàng)和.

21.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為"，％=-(，且4S,川=3邑-9.

(1)求數(shù)列㈤｝的通項(xiàng)；

(2)設(shè)數(shù)列也｝滿足3bli+(般-4)a.=列〃wN'),記0｝的前〃項(xiàng)和為7；,若7；4)對(duì)

任意〃wN*恒成立，求實(shí)數(shù)丸的取值范圍.

22.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S“滿足：Sn=n-an

(1)求證：數(shù)列｛〃廠1｝是等比數(shù)列并寫出｛《｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)我=(2-〃)(勺-1),如果對(duì)任意正整數(shù)〃，都有產(chǎn)，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

4

q，”一i

因此U=E=2-2~

故選:B.

6.D

【詳解】由得。：=3,

由％%必=24,得姆=24,所以43=，=1_=8,

《3

所以a74a9==24x8=192.

故選：D

7.C

【詳解】??在等比數(shù)列｛端中，《％=64

???。洶=%%=64

華6=3M舛J&=4_J%=16

,解得彳“或彳.

a4+a6=20(4=16|4=4

當(dāng)《=4,%=16時(shí)，an>0,

3=4,

a4

???q=gx2"T=2"-2；

當(dāng)％=16,4=4時(shí)，a?>0,

，41

q-=—=7，

44

1A.AC

??。=彳嗎=CFI=I28

2q

.?.a”=128x(g嚴(yán)=2"”

綜上所述：勺=2"-2或勺=28,

故選：C.

8.A

【詳解】因%=444=16,/=4,區(qū)="42=4

故選A

9.A

【詳解】???s“為等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和,

???邑,S—2,S6-S,成等比數(shù)列

/.52=4,SA-S2=6-4=2

S&-S&=1,

S6=1+S4=1+6=7.

故選：A.

10.C

【詳解】第一次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)度為g;

第二次操作去掉兩個(gè)長(zhǎng)度為"的區(qū)間，長(zhǎng)度和為：；

第三次操作去掉四個(gè)長(zhǎng)度為點(diǎn)的區(qū)間，長(zhǎng)度和為最；

以此類推，第〃次操作去掉2”T個(gè)長(zhǎng)度為2的區(qū)間，長(zhǎng)度和為彳二，

小豐]

???進(jìn)行了第〃次操作后，去掉區(qū)間長(zhǎng)度和sJ+2+...+空=21色

"393"[2(3

3

,⑶"9<2Y1.?.〃Nlog」=-log,10=_^=----!—?5.68

由「用Hn力即；武愴2-愴3

又〃eN.，〃的最小值為6.

故選：C.

11.B

【詳解】｛%｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為以

b

,axa2ab=a^q=(4爐了=&=四則6=4,

..4+%+%=21,

+=21,

q-

4

dp—+4+4^2=21,

q-

解得g=±2或q=±g,

又丁應(yīng)｝各項(xiàng)為正且遞增，

二.g=2,

nin3ni

「.an=a3q-=4x2-=2~.

故選：B.

12.A

【詳解】數(shù)列｛4｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，公比設(shè)為g(g>0),由。必討=4",可得4%=。落=4,

3

a2a3=a^q=16,解得%=丘,2,則/=《小=夜.？2=.

則

[=]=]=4=2f_!______]

log2aw-log2d,lM10g224.10g224m〃+；)(2〃-1)(2〃+1)[2n-\2〃+“

則前〃項(xiàng)和T=2(1-；+：-：+,+4-4)=2(1-Q)=3.

\3352〃-12/z+lJ\2n+\)2〃+1

故選：A.

13.4

【詳解】設(shè)公比為9,由。2+%=1嗎+%=2,

得q+q=&q+&q=q(&+%)=q=2,

所以a4+a5=a3q+a4q=q(ai+a4)=2x2=4.

故答案為：4

14.4

【詳解】因?yàn)椋鹮｝為等比數(shù)列，且公比為4,

所以出=4夕，6=44且4工0,4工0.

因?yàn)?6%,4%,%成等差數(shù)列，

所以164T1+a3=2x4^,,

有16q+q4=2x4q,q2-8^+16=0,

解得4=4.

故答案為：4.

15.27

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知。6=3,則44。=9,

+4%+44()=9+34+%29+6m2。10=9+6%=27.

當(dāng)且僅當(dāng)%=%=3時(shí)取得最小值.

故答案為：27.

16.2

【詳解】等比數(shù)列｛勺｝的公比為2,若存在兩項(xiàng)%,%,使得/鳳=64。；,

/.a-2mtn-2=64a；,

即〃z+〃=8,

191/19、/.1n9m,1_In9m,,

二.一H—=-(—F—)(/n+n)=-(10H—+——)...—(10+2.1-------)=2,

mn8tnn8mn8Vtnn

當(dāng)且僅當(dāng)巴=%，即帆=2,〃=6時(shí)取等號(hào)，

mn

1Q

故則上+己的最小值為2,

mn

故答案為：2.

n+[

17.an=2-n-2

【詳解】因?yàn)橐?

1-3q+241T=1,

所以-一%=2&--)+1,

因此3^=2,

因?yàn)樗?/p>

4=1,a2=4,%-4+1=4,

故數(shù)列｛。7-4+1｝是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列，

所以+1=4?2〃T=2"，即1一勺=r+'-i,

所以當(dāng)“22時(shí),

234

a2-Oj=2-1,a3-a2=2-1,a4-ay=2-1,L,q一%二2"-1,

以上各式累加可得:

22(1-2”、

34=(22+2、+2”)-(〃-1)=-(〃-1)

\I-Z，

=2n+,-4-(w-l)=2n+,-n-3,

因?yàn)?=1,

所以%=22-〃-2/22；

又％=1符合上式,所以丐=21-〃-2.

故答案為：《=2向一”2.

Qo2n+3

18.(1)4=2"；(2)

【詳解】⑴設(shè)等比數(shù)列依｝的公比為。(01),則生+“4：

03=4q

整理可得：2/—5q+2=0,

.q>l,q=2,cii=2,

數(shù)列的通項(xiàng)公式為：4=2.2“T=2”.

rtn+,2W+,

⑵由于:(-if^n+I=(-ifx2x2=(-if2,故:

a\a2~alay1)”"ana,^\

=23-25+27-29+...+(-l),,_|-22"4'

19.(1)證明見詳解；4=2-擊，〃cM

1Q

(2)A<A<-

22

a—21

【分析】(1)利用q=S“一S"-得2q=4T+2,變形得一^=7,則可證明等比數(shù)列,

一/Z

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案;

(3)令f(〃)=(2n-3)(2-4),通過(guò)計(jì)算f(〃+l)-f(%)的正負(fù),求出令(〃)的最大值,將

題目轉(zhuǎn)化為22-;皿，解不等式即可.

(1)

:q+S0=2〃①

.,.%+S.T=2〃-2,〃22②

①-②得%即2%=%_]+2,

a-2\

變形可得一^7=3，

%-22

又q+&=2,得4=1

故數(shù)列｛/-2｝是以1為首項(xiàng)，方為公比的等比數(shù)列，

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得4-2=-擊，

=2-^q-?neN\

(2)

令/(n)=(2n-3)(2-a?),則/(?)=^Fr

?\2〃—12〃—35—2〃

：.fr(n+\)-fr(n)=----—=—^~

當(dāng)〃=|或〃=2時(shí)，/(?+1)-/(?)>0,

當(dāng)時(shí)，/(w+l)-/(n)<0

又43)=?"(〃『；，

因?yàn)椴坏仁?2-萬(wàn)>(2〃-3)(2-a”)對(duì)任意的正整數(shù)〃恒成立,

2313

>解得<<

4-2-2-

20.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d(d>0),等比數(shù)列｛)｝公比為夕,

b2S2=biq(2ai+d)=2q(2+d)=l2(q=2

t

"b2+S3=biq+3ai+3d=2q+3^3d=W肝伶：=]，

.'.an=1+(〃—1)x1=〃；bn=2x2'"=2"；

(2)由(1)得：勺也=〃?，，

/.7；=lx2,+2x22+3x23+--+(n-l)-2,t-,4-/2-2M,

27；=lx22+2x23+3x24+---+(n-l)-2,,+/?-2re+',

22(l-2n-1)

兩式作差得:-7；=2-n-2n+l+(22+23+-+2rt)=2-n-2rt+,+

1-2

=2-w2w+,-44-2rt+,=(l-n)-2w+l-2,

向+2.

12

=2"+=27,+=2W4-2X

(3)由(1)得：c”一〃z(〃十1)

2

1111

則J+c2+C3+…+c2=2+2"+,?,+2~n+2x11—

tt2232n2n+\

2rt

2(l-2)+2%一備)

=22n+i_2+4n=22n+i_2

1-22/1+12/1+1

3

21.(1)a”=—3,(—)；(2)—344Ml.

【詳解】(1)當(dāng)〃=1時(shí)，4(q+%)=3%-9,

92727

4〃，=——9=一一

-4416

當(dāng)〃22時(shí)，由4s向=3S”-9①,

得4s.=3Sz-9②，①-②得41=%.

a2an*0?-'--21L=7，

16%4

又色■=］，，｛%｝是首項(xiàng)為-3,公比為。的等比數(shù)列,

4444

(2)由3%+(〃-4)qr=0,得"=一■?1^1?！?(〃一

+(〃-4)(方,

%=-3x(W-2x圖-lx圖+...+("-5).圖+(“-4).停),

兩式相減得％=-3*[)+漳