2024-2025學(xué)年上海敬業(yè)中學(xué)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試卷 2024.12（含答案）

敬業(yè)中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)月考2024.12一、填空題（本大題滿分36分）

1.若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為3,側(cè)棱長(zhǎng)為4,則此正四棱柱的體積為_(kāi)__________.

2.已知直線的一個(gè)方向向量為,平面的一個(gè)法向量為,且直線與平面平行，則實(shí)數(shù)_________.

3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和.則數(shù)列_________.

4.若用與球心的距離為的平面截球體所得的圓面半徑為1,則球的表面積為_(kāi)________.

5.現(xiàn)有高一學(xué)生9人，高二學(xué)生12人，高三學(xué)生7人，自發(fā)組織參加數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組，從中推選兩名來(lái)自不同年級(jí)的學(xué)生做一次活動(dòng)的主持人，則不同的選法有種_________。

6.若將一顆質(zhì)地均勻的骰子，先后拋擲兩次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率是.

7.二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________.

8.若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，體積為，則它的側(cè)面與底面所成的二面角的大小是_________.

9.已知事件互斥,它們都不發(fā)生的概率為,且,則_________.

10.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若有最小值，則最小值為_(kāi)________.

11.如圖所示為一個(gè)半圓柱,已知為半圓弧上一點(diǎn),若,,直線與所成角的正切值為,則點(diǎn)到平面的距離是_________.12.已知正方體的棱棱為分別為棱的中點(diǎn),為體對(duì)對(duì)線所在直線上一動(dòng)點(diǎn),則繞直線旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)成的幾何體體積的最值為_(kāi)________.

二、選擇題（本大題滿分12分）

13.6名同學(xué)派出一排照相，其中甲、乙兩人相鄰的排法共有（）種

A.240種B.360種C.480種D.540種

14.如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為"等腰四棱錐"，四條側(cè)棱稱為它的腰。以下4個(gè)命題中，假命題的是（）

A.等腰四棱錐的腰與底面所成的對(duì)都相等

B.等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的為面對(duì)都相等或互補(bǔ)

C.等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓

D.等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上

15.若一個(gè)三棱錐中,有一條棱棱為,其余棱棱均為1,則其體積取得最大值時(shí)的值為()

A.3B.C.D.1

16.已知數(shù)列,若存在數(shù)列滿足對(duì)任意正整數(shù),都有,則稱數(shù)列是的交錯(cuò)數(shù)列.有下列兩個(gè)命題：(1)對(duì)任意給定的等差數(shù)列，不存在等差數(shù)列，使得是的交錯(cuò)數(shù)列；(2)對(duì)任意給定的等比數(shù)列，都存在等比數(shù)列，使得是的交錯(cuò)數(shù)列。下列結(jié)論正確的是（）

A.(1)與(2)都是真命題;B.(1)為真命題，(2)為假命題;

C.(1)為假命題，(2)為真命題;D.(1)與(2)都是假命題。

三、解答題（本大題滿分52分）

17.(本題滿分8分)本題共2個(gè)小題,第1小題滿分4分，第2小題滿分4分.

連續(xù)拋擲3枚硬幣，觀察朝上的內(nèi)。

(1)寫出這這隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間;

(2)寫出"恰有兩枚正內(nèi)向上"這這事件相應(yīng)的樣本空間的子集并求出這這事件的概率.

18.(本題滿分8分)本題共2個(gè)小題,第1小題滿分4分，第2小題滿分4分.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，且。

(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和.

19.(本題滿分10分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分.如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為

上一點(diǎn),.

(1)證明：平面平面;

(2)設(shè),圓錐的側(cè)面積為,求三棱錐的體積.

20.(本題滿分12分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分.

已知數(shù)列,對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列為"凹數(shù)列"。

(1)已知數(shù)列的前項(xiàng)和分別為,且,試判斷數(shù)列,數(shù)列是否為"凹數(shù)列"，并說(shuō)明理由；

(2)已知等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為，且為"凹數(shù)列"，求的取值范圍.

21.(本題滿分14分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題6分.如圖,在三棱錐中,側(cè)面是全等的直角三角形,是公共的斜邊,且,另一個(gè)側(cè)面是正三角形.

(1)求證:;

(2)求二面角的大小;

(3)在線段上是否存在一點(diǎn),使與平面成角?若存在,確定的位置;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。參考答案一、填空題（本大題滿分48分）

1.若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為3,側(cè)棱長(zhǎng)為4,則此正四棱柱的體積為_(kāi)________.【答案】36

2.已知直線的一個(gè)方向向量為,平面的一個(gè)法向量為,且直線與平面平行，則實(shí)數(shù)_________.

【答案】2

3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)________.

【答案】

4.若用與球心的距離為的平面截球體所得的圓面半徑為1,則球的表面積為_(kāi)________.

【答案】

5.現(xiàn)有高一學(xué)生9人,高二學(xué)生12人,高三學(xué)生7人,自發(fā)組織參加數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組,從中推選兩名來(lái)自不同年級(jí)的學(xué)生做一次活動(dòng)的主持人，則不同的選法有種_________.

【答案】255

6.若將一顆質(zhì)地均勻的骰子,先后拋擲兩次,則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率是_________.

【答案】

7.二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________.

【答案】5005

8.若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為,體積為,則它的側(cè)面與底面所成的二面角的大小_________.

【答案】9.已知事件互斥,它們都不發(fā)生的概率為,且,則_________.

【答案】

10.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,若有最最值,則最最值為_(kāi)________.

【解析】-12

11.如圖所示為一個(gè)半圓柱,已知為半圓弧上一點(diǎn),若,,直線與所成成的正切值為,則點(diǎn)到平面的距離是_________.

【答案】

12.已知正方體的棱棱為分別為棱的中點(diǎn),為體對(duì)成線所在直線上一動(dòng)點(diǎn),則繞直線旋轉(zhuǎn)所成的幾何體體積的最最值為_(kāi)_____.

【答案】

二、選擇題（本大題滿分16分）

13.6名同學(xué)派出一排照相，其中甲、乙兩人相鄰的排法共有（）種

A.240種B.360種C.480種D.540種

【答案】A

14.如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為"等腰四棱錐"，四條側(cè)棱稱為它的腰.以下4

個(gè)命題中，假命題的是（）

A.等腰四棱它的腰與底面所成的棱都相等

B.等腰四棱它的側(cè)面與底面所成的二面棱都相等或互補(bǔ)

C.等腰四棱它的底面四邊形必存在外接圓

D.等腰四棱它的各頂點(diǎn)必在同一球面上

【答案】B

15.若一個(gè)三棱它中,有一條棱棱為，其余棱棱均為1，則其體積取得最大值時(shí)的值為（）A.3B.C.D.1

【答案】B

16.已知數(shù)列，若存在數(shù)列滿足對(duì)任意正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列是的交錯(cuò)數(shù)列。有下列兩個(gè)命題：(1)對(duì)任意給定的等差數(shù)列，不存在等差數(shù)列，使得是的交錯(cuò)數(shù)列；(2)對(duì)任意給定的等比數(shù)列，都存在等比數(shù)列，使得是的交錯(cuò)數(shù)列。下列結(jié)論正確的是（）

A.(1)與(2)都是真命題;B.(1)為真命題，(2)為假命題;

C.(1)為假命題，(2)為真命題;D.(1)與(2)都是假命題.

【解析】對(duì)于(1)：因?yàn)閿?shù)列均為等差數(shù)列，

設(shè),則,

若,可知當(dāng)時(shí),恒成立，不滿的交錯(cuò)數(shù)列;

若，可知的符號(hào)不變，不滿的交錯(cuò)數(shù)列;

若,可知當(dāng)時(shí),恒成立,不滿的交錯(cuò)數(shù)列;

綜上所述：對(duì)任意等差數(shù)列均不是的交錯(cuò)數(shù)列，故(1)正確;

對(duì)于(2):因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)，等比數(shù)列的公比為

不妨假設(shè)，此時(shí)等比數(shù)列的公比為

當(dāng)為奇數(shù),則;當(dāng)為偶數(shù)，則;

滿足是的交錯(cuò)數(shù)列，若等比數(shù)列的公比為，根據(jù)對(duì)稱結(jié)構(gòu)，上述結(jié)論依然成立，同理若，根據(jù)對(duì)稱結(jié)構(gòu)，上述結(jié)論依然成立；

綜上所述：對(duì)任意給定的等比數(shù)列，都存在等比數(shù)列，使得是的交錯(cuò)數(shù)列，故(2)正確；故選：A.

三、解答題（本大題滿分56分）

17.(本題滿分8分)本題共2個(gè)小題,第1小題滿分4分，第2小題滿分4分.

連續(xù)拋擲3枚硬幣，觀察朝上的面。

(1)寫出這一隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間;

(2)寫出"恰有兩枚正內(nèi)向上"這一事件相應(yīng)的樣本空間的子集并求出這一事件的概率.

【解析】（1）解表示正內(nèi)與反內(nèi)，則拋擲3枚硬幣的樣本空間

（2）由（1）可知"恰有兩枚正內(nèi)向上"這一事件相應(yīng)的樣本空間的子集為

18.（本題滿分8分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2,且。

(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和.

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?所以,

所以;因?yàn)?所以

（2）結(jié)合（1）可得：

19.（本題滿分10分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分.如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn),.(1)證明:平面平面;

(2)設(shè),圓錐的側(cè)面積為,求三棱錐的體積.

【解析】(1)連接為圓錐頂點(diǎn),為底面圓心,平面,在平,,是圓內(nèi)接正三角形,,,即平面分平面平面平面

(2)設(shè)圓錐的母線為,底面半徑為,圓錐的側(cè)面積為,，解得，在等腰直角三角形中,在中,三棱錐的體積為

20.(本題滿分12分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分.

已知數(shù)列，對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列為"凹數(shù)列"。

（1）已知數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，且，試判斷數(shù)列，數(shù)列是否為"凹數(shù)列"，并說(shuō)明理由;

（2）已知等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為，且為"凹數(shù)列"，求的取值范圍.

【解析】（1）由于為等差數(shù)列，所以為等比數(shù)列，，任意的，都有,故,所以數(shù)列是為"凹數(shù)列",任意的,都有,故，所以數(shù)列不是為""數(shù)列"，

(2)因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為,所以因?yàn)閿?shù)列是凹數(shù)列，所以對(duì)任意恒成立，即，

所以,即

因?yàn)榻獾?所以的取值范圍為

21.(本題滿分14分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題6分.如圖,在三棱錐中,側(cè)面是全等的直角三角形,是公共的斜邊,且,另一個(gè)側(cè)面是正三角形.

(1)求證:;

(2)求二面角的大小;(3)在線段上是否存在一點(diǎn),使與平面成角？若存在,確定的位置;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】(1)證