2024秋新教材高中數(shù)學第五章三角函數(shù)5.5三角恒等變換5.5.2第2課時簡單的三角恒等變換二分層演練含解析新人教A版必修第一冊

PAGE第2課時簡潔的三角恒等變換(二)分層演練綜合提升A級基礎鞏固1.函數(shù)f(x)=cos2x+π4,x∈R,則f(x) ()A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù),也是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)答案:D2.函數(shù)f(x)=sinx-3cosx可化簡為 (A.2sinx-π3 B.2sinx+π3C.2sinx-π6 D.2sinx+π6答案:A3.設a=12cos6°-32sin6°,b=2sin13°cos13°,c=1-cos50A.c<b<a B.a<b<cC.a<c<b D.b<c<a答案:C4.如圖所示,有一塊正方形的鋼板ABCD,其中一個角有部分損壞,現(xiàn)要把它截成一塊正方形的鋼板EFGH,其面積是原正方形鋼板面積的三分之二,則應按什么角度來截?解:設正方形鋼板的邊長為a,截后正方形的邊長為b,則a2b2=32,ab又因為a=GC+CF=bsinx+bcosx,所以sinx+cosx=62,所以sin(x+π4)因為0<x<π2,所以π4<x+π4所以x+π4=π3或x+π4=2π3,所以x=即應按π12或5π125.已知函數(shù)f(x)=(sin(1)求f(x)的定義域及最小正周期.(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.解:(1)由sinx≠0,得x≠kπ(k∈Z),故f(x)的定義域為{x|x≠kπ,k∈Z}.因為f(x)=(sinx-cosxcosx)=sin2x-cos2x-1=2sin(2x-π4所以f(x)的最小正周期為T=2π2=π(2)因為函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-π2,2kπ+π2](k由2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2,x≠kπ(得kπ-π8≤x≤kπ+3π8,x≠kπ(k所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-π8,kπ)和(kπ,kπ+3π8](k∈B級實力提升6.若函數(shù)f(x)=(1+3tanx)cosx,0≤x<π2,則f(x)的最大值是 (A.1 B.2C.3+1 D.3+2解析:f(x)=(1+3tanx)·cosx=(1+3sinxcosx)·cosx=3sinx+cosx=2sin(x因為0≤x<π2,所以π6≤x+π6所以當x+π6=π2時,f(x答案:B7.如圖,圓O的半徑為1,A是圓上的定點,P是圓上的動點,角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,過點P作直線OA的垂線,垂足為M,將點M到直線OP的距離d表示為x的函數(shù)f(x),則y=f(x)在區(qū)間[0,π]上的圖象大致為 ()ABCD解析:因為OP=1,由三角函數(shù)的定義,得MP=|sinx|,OM=|cosx|.在Rt△OMP中,依據(jù)面積相等,有MP·OM=OP·d,所以f(x)=|sinx·cosx|因為y=sin2x的周期為π,所以f(x)=12|sin2x|的周期為π2,且最大值為12答案:C8.函數(shù)f(x)=sin2xcosx1-sinx解析:f(x)=2sinxcos2x1-sinx=2sin令sinx=t,則t∈[-1,1),f(x)=g(t)=2t2+2t=2(t+12)2-12,故當t=-12時,函數(shù)g(t)取得最小值-12;當t的值趨于1時,g(t)的值趨于4,故函數(shù)g(t)的值域為[-12,4),所以f(x)∈[9.如圖,矩形ABCD的長AD=23,寬AB=1,A,D兩點分別在x、y軸的正半軸上移動,B,C兩點在第一象限,求OB2的最大值.解:如圖,過點B作BH⊥OA,垂足點為點H.設∠OAD=θ(0<θ<π2),則∠BAH=π2-OA=23cosθ,BH=sin(π2-θ)=cosθAH=cos(π2-θ)=sinθ所以點B的坐標為(23cosθ+sinθ,cosθ),OB2=(23cosθ+sinθ)2+cos2θ=7+6cos2θ+23sin2θ=7+43sin(2θ+π3)由0<θ<π2,得π3<2θ+π3所以當2θ+π3=π2,即θ=OB2取得最大值7+43.C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.多空題如圖,有半徑為1的半圓,且四邊形PQRS是半圓的內(nèi)接矩形,設∠SOP=α,則當α為π4時,矩形的面積最大,