2024秋高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1合情推理與演繹推理2.1.2演繹推理課時作業(yè)含解析新人教A版選修2-2

PAGE7-其次章2.12.1.2請同學(xué)們仔細(xì)完成練案[15]A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．(2024·岳麓區(qū)校級期末)利用演繹推理的“三段論”可得到結(jié)論：函數(shù)f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，那么，這個三段論的小前提是(C)A．f(x)是增函數(shù) B．f(x)是減函數(shù)C．f(x)是奇函數(shù) D．f(x)是偶函數(shù)[解析]利用演繹推理的“三段論”可得到結(jié)論：函數(shù)f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，大前提：奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，小前提：函數(shù)f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)是奇函數(shù)，結(jié)論：函數(shù)f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，故小前提是：函數(shù)f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)是奇函數(shù)，故選C．2．關(guān)于演繹推理的說法正確的是(C)A．演繹推理是由一般到一般的推理B．只要大前提正確，由演繹推理得到的結(jié)果必正確C．演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的狀況下，得到的結(jié)論肯定正確D．演繹推理不能用于命題的證明[解析]演繹推理是由一般到特別的推理，是一種必定性的推理，故A不正確；演繹推理得到的結(jié)論不肯定是正確的，還要取決于小前提是否真實，故B不正確；演繹推理的一般模式是”三段論”形式，即大前提、小前提和結(jié)論，在大前提、小前提和推理形式都正確的狀況下，得到的結(jié)論肯定正確，故C正確；演繹推理可以用于命題的證明，故D不正確．綜上，C是正確的．故選C．3．某學(xué)校甲、乙、丙、丁四人競選學(xué)生會主席職位，在競選結(jié)果出來前，甲、乙、丙、丁四人對競選結(jié)果做了如下預(yù)料：甲說：丙或丁競選勝利乙說：甲和丁均未競選上丙說：丁競選勝利丁說：丙競選勝利．若這四人中有且只有2人說的話正確，則勝利競選學(xué)生會主席職位的是(D)A．甲 B．乙C．丙 D．丁[解析]若甲被選上，甲、乙、丙、丁錯誤，乙正確，不滿意條件．若乙被選上，甲、丙、丁錯誤，乙正確，不滿意條件．若丙被選上，甲、乙、丁正確，丙錯誤，不滿意條件．若丁被選上，甲、丙正確，乙、丁錯誤，滿意條件．故選D．4．正切函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝tan(x2＋2)是正切函數(shù)，因此f(x)＝tan(x2＋2)是奇函數(shù)，以上推理(C)A．結(jié)論正確 B．大前提不正確C．小前提不正確 D．以上均不正確[解析]大前提：正切函數(shù)是奇函數(shù)，正確；小前提：f(x)＝tan(x2＋2)是正切函數(shù)，因為該函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，故錯誤；結(jié)論：f(x)＝tan(x2＋2)是奇函數(shù)，該函數(shù)為偶函數(shù)，故錯誤；結(jié)合三段論可得小前提不正確．5．在證明f(x)＝2x＋1為增函數(shù)的過程中，有下列四個命題：①增函數(shù)的定義是大前提；②增函數(shù)的定義是小前提；③函數(shù)f(x)＝2x＋1滿意增函數(shù)的定義是大前提；④函數(shù)f(x)＝2x＋1滿意增函數(shù)的定義是小前提．其中正確的命題是(A)A．①④ B．②④C．①③ D．②③[解析]依據(jù)三段論特點，過程應(yīng)為：大前提是增函數(shù)的定義；小前提是f(x)＝2x＋1滿意增函數(shù)的定義；結(jié)論是f(x)＝2x＋1為增函數(shù)，故①④正確．6．《論語·子路》篇中說：“名不正，則言不順；言不順，則事不成；事不成，則禮樂不興；禮樂不興，則刑罰不中；刑罰不中，則民無所措手足；所以，名不正，則民無所措手足．”上述推理用的是(C)A．類比推理 B．歸納推理C．演繹推理 D．一次三段論[解析]這是一個復(fù)合三段論，從“名不正”推出“民無所措手足”，連續(xù)運用五次三段論，屬演繹推理形式．二、填空題7．(2024·江陰市期中)三段論推理“①矩形是平行四邊形；②正方形是矩形；③正方形是平行四邊形”中的小前提是__②__.(填寫序號)[解析]推理：“①矩形是平行四邊形，②正方形是矩形，③正方形是平行四邊形．”中大前提：矩形是平行四邊形；小前提：正方形是矩形；結(jié)論：所以正方形是平行四邊形．故小前提是：②正方形是矩形．故答案為②.8.1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,33)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)……照此規(guī)律，第五個不等式為__1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6)__.[解析]照此規(guī)律，第n個式子為1＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,n＋12)＜eq\f(2n＋1,n＋1)，第五個為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6).三、解答題9．將下列演繹推理寫成三段論的形式．(1)菱形的對角線相互平分．(2)奇數(shù)不能被2整除，75是奇數(shù)，所以75不能被2整除．[解析](1)平行四邊形的對角線相互平分大前提菱形是平行四邊形小前提菱形的對角線相互平分結(jié)論(2)一切奇數(shù)都不能被2整除大前提75是奇數(shù)小前提75不能被2整除結(jié)論10．設(shè)m為實數(shù)，利用三段論證明：方程x2－2mx＋m－1＝0有兩個相異實根．[解析]因為假如一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判別式Δ＝b2－4a那么方程有兩個相異實根．(大前提)Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m－1)所以方程x2－2mx＋m－1＝0有兩個相異實根．(結(jié)論)B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題)下面是一段“三段論”推理過程：若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則在(a，b)內(nèi)，f′(x)>0恒成立．因為f(x)＝x3在(－1,1)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，所以在(－1,1)內(nèi)，f′(x)＝3x2>0恒成立，以上推理中，下列說法錯誤的是(BCD)A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．結(jié)論正確 D．推理形式錯誤[解析]∵對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，若f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，則f′(x)≥0對x∈(a，b)恒成立．∴大前提錯誤，故選BCD．2．(多選題)下面幾種推理過程不是演繹推理的是(BCD)A．因為∠A和∠B是兩條平行直線被第三條直線所截得的同旁內(nèi)角，所以∠A＋∠B＝180°B．我國地質(zhì)學(xué)家李四光發(fā)覺中國松遼地區(qū)和中亞細(xì)亞的地質(zhì)結(jié)構(gòu)類似，而中亞細(xì)亞有豐富的石油，由此，他推斷松遼平原也隱藏著豐富的石油C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出結(jié)論：一個偶數(shù)(大于4)可以寫成兩個素數(shù)的和D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，通過計算a2，a3，a4，a5的值歸納出{an}的通項公式[解析]選項A中“兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補”是大前提，是真命題，該推理為三段論推理，選項B為類比推理，選項C、D都是歸納推理．故選BCD．二、填空題3．關(guān)于函數(shù)f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0)，有下列命題：①其圖象關(guān)于y軸對稱；②當(dāng)x>0時，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x<0時，f(x)是減函數(shù)；③f(x)的最小值是lg2；④當(dāng)－1<x<0或x>1時，f(x)是增函數(shù)；⑤f(x)無最大值，也無最小值．其中全部正確結(jié)論的序號是__①③④__.[解析]明顯f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱．當(dāng)x>0時，f(x)＝lgeq\f(x2＋1,x)＝lg(x＋eq\f(1,x))．設(shè)g(x)＝x＋eq\f(1,x)，可知其在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)．f(x)min＝f(1)＝lg2.∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)在(－1,0)上是增函數(shù)．4．某次高二英語聽力考試中有5道選擇題，每題1分，每道題在A，B，C三個選項中只有一個是正確的．下表是甲、乙、丙三名同學(xué)每道題填涂的答案和這5道題的得分：12345得分甲CCBBA4乙CAABC3丙ACCBC2則甲同學(xué)答錯的題目的題號是__5__；此題正確的選項是__A__.[解析]由甲得4分，則正確4個，乙得3分，正確答案為3個，若甲第1題答錯，則其他均答對，會導(dǎo)致乙235題錯，這樣乙就沒有3分，故不行能；若甲第2題答錯，則其他均答對，會導(dǎo)致丙1235題錯，這樣丙就沒有2分，故不行能；若甲第3題答錯，則其他均答對，會導(dǎo)致乙25題錯，3題對，丙135題錯，故符合題意；若甲第4題答錯，則其他均答對，會導(dǎo)致丙1234題錯，這樣丙就沒有2分，故不行能；若甲第5題答錯，則其他均答對，會導(dǎo)致乙12題錯，5題對，丙1235題錯，這樣丙就沒有2分，故不行能．三、解答題5．設(shè)f(x)＝eq\f(ax＋a－x,2)，g(x)＝eq\f(ax－a－x,2)，(其中a＞0，且a≠1)(1)請將g(5)用f(3)g(2)，g(3)f(2)來表示；(2)假如(1)中獲得了一個結(jié)論，請你推想能否將其推廣．[解析](1)由題意得：g(5)＝eq\f(a5－a－5,2)又f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝eq\f(a3＋a－3,2)·eq\f(a2－a－2,2)＋eq\f(a3－a－3,2)·eq\f(a2－a－2,2)＝eq\f(a5－a－5,2)∴g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)推想：g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)證明：因為f(x)＝eq\f(ax＋a－x,2)，g(x)＝eq\f(ax－a－x,2)所以g(x＋y)＝eq\f(ax＋y－a－x＋y,2)，g(y)＝eq\f(ay－a－y,2)，f(y)＝eq\f(ay＋a－y,2)所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝eq\f(ax＋a－x,2)·eq\f(ay－a－y,2)＋eq\f(ax－x－x,2)·eq\f(ay＋a－y,2)＝eq\f(ax＋y－a－x＋y,2)＝g(x＋y)可知g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)可以推廣．6．用三段論證明并指出每一步推理的大小前提．如