2024秋高中數(shù)學第二章隨機變量及其分布2.4正態(tài)分布達標練習含解析新人教A版選修2-3

PAGE4-其次章隨機變量及其分布2.4正態(tài)分布A級基礎鞏固一、選擇題1．已知隨機變量X聽從正態(tài)分布N(a，4)，且P(X>1)＝0.5，則實數(shù)a的值為()A．1B．2C．3D．4解析：隨機變量X聽從正態(tài)分布N(a，4)，所以曲線關于x＝a對稱，且P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知μ＝a＝1.答案：A2．已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，則P(0＜ξ＜2)＝()A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2解析：由P(ξ＜4)＝0.8，知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝0.2，故P(0＜ξ＜2)＝0.3，故選C.答案：C3．已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)聽從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3，6)內的概率為()[附：若隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%解析：由正態(tài)分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.6826，P(－6＜ξ＜6)＝0.9544，故P(3＜ξ＜6)＝eq\f(P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）,2)＝eq\f(0.9544－0.6826,2)＝0.1359＝13.59%.答案：B4．已知隨機變量X聽從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(X≤4)＝0.84，則P(0≤X≤2)＝()A．0.64 B．0.16 C．0.32 D．0.34解析：因為隨機變量X聽從正態(tài)分布N(2，σ2)，μ＝2，所以對稱軸是x＝2，P(X≤4)＝0.84，所以P(X>4)＝P(X<0)＝0.16，所以P(0≤X≤2)＝0.5－0.16＝0.34.答案：D5．設兩個正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2解析：μ反映的是正態(tài)分布的平均水平，x＝μ是正態(tài)密度曲線的對稱軸，由圖可知μ1<μ2;σ反映的正態(tài)分布的離散程度，σ越大，越分散，曲線越“矮胖”，σ越小，越集中，曲線越“瘦高”，由圖可知σ1<σ2.答案：A二、填空題6．已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布，且落在區(qū)間(0.2，＋∞)上的概率為0.5，那么相應的正態(tài)曲線f(x)在x＝________時，達到最高點．解析：由正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱且其落在區(qū)間(0.2，＋∞)上的概率為0.5，得μ＝0.2.答案：0.27．某地區(qū)成年男性的身高X(cm)近似聽從N(175，36)，則該地區(qū)成年男性的身高不在(157，193)內的人數(shù)約占________．解析：因為X～N(175，36)，所以μ＝175，σ＝6.所以P(175－3×6<X<175＋3×6)＝P(157<X<193)＝99.7%.所以該地區(qū)成年男性的身高不在(157，193)內的人數(shù)約占1－99.7%＝0.3%.答案：0.3%8．若隨機變量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，則P(ξ≥11)＝________．解析：由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正態(tài)曲線以x＝10為對稱軸知，P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4，即P(10≤ξ≤11)＝0.2，又P(ξ≥10)＝0.5，所以P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.答案：0.3三、解答題9．已知隨機變量X～N(μ，σ2)，且其正態(tài)曲線在(－∞，80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上為減函數(shù)，且P(72<X≤88)＝0.6826.(1)求參數(shù)μ，σ的值；(2)求P(64<X≤80)．解：(1)由于正態(tài)曲線在(－∞，80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上是減函數(shù)，所以正態(tài)曲線關于直線x＝80對稱，即參數(shù)μ＝80.又P(72<x≤88)＝0.6826.結合P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，可知σ＝8.(2)因為P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝P(64<X≤96)＝0.9544.又因為P(X≤64)＝P(X>96)，所以P(X≤64)＝eq\f(1,2)(1－0.9544)＝eq\f(1,2)×0.0456＝0.0228.由μ＝80，知P(X≤80)＝0.5，所以P(64<X≤80)＝P(X≤80)－P(X≤64)＝0.5－0.0228＝0.4772.10.已知某地農(nóng)夫工年均收入ξ(單位：元)聽從正態(tài)分布，其密度函數(shù)圖象如圖所示．(1)寫出此地農(nóng)夫工年均收入的概率密度曲線函數(shù)式；(2)求此地農(nóng)夫工年均收入在8000～8500元的人數(shù)百分比．解：設農(nóng)夫工年均收入ξ～N(μ，σ2)，結合圖象可知μ＝8000，σ＝500.(1)此地農(nóng)夫工年均收入的概率密度曲線函數(shù)式P(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)＝eq\f(1,500\r(2π))e－eq\f(（x－8000）2,2×5002)，x∈(－∞，＋∞)．(2)因為P(7500<ξ≤8500)＝P(8000－500<ξ≤8000＋500)＝0.6826.所以P(8000<ξ≤8500)＝eq\f(1,2)P(7500<ξ≤8500)＝0.3413，即農(nóng)夫工年均收入在8000～8500元的人數(shù)占總體的34.13%.B級實力提升1．正態(tài)分布N(1，9)在區(qū)間(2，3)和(－1，0)上取值的概率分別為m，n，則()A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．不確定解析：正態(tài)分布N(1，9)的曲線關于x＝1對稱，區(qū)間(2，3)與(－1，0)到對稱軸距離相等，故m＝n.答案：C2．據(jù)抽樣統(tǒng)計，在某市的公務員考試中，考生的綜合評分X聽從正態(tài)分布N(60，102)，考生共10000人，若一考生的綜合評分為80分，則該考生的綜合成果在全部考生中的名次是第________名．解析：依題意，P(60－20＜X≤60＋20)＝0.9544，P(X＞80)＝eq\f(1,2)(1－0.9544)＝0.0228，故成果高于80分的考生人數(shù)為10000×0.0228＝228(人)．所以該生的綜合成果在全部考生中的名次是第229名．答案：2293．一投資者要在兩個投資方案中選擇一個，這兩個方案的利潤ξ(萬元)分別聽從正態(tài)分布N(8，32)和N(3，22)，投資者要求“利潤超過5萬元”的概率盡量大，那么他應選擇哪個方案？解：由題意知，只需求出兩個方案中“利潤超過5萬元”的概率哪個大，大的即為最佳選擇方案．對于第一套方案ξ～N(8，32)，則μ＝8，σ＝3.于是P(8－3<ξ≤8＋3)＝P(5<ξ≤11)≈0.6826.所以P(ξ≤5)＝eq\f(1,2)[1－P(5<ξ≤11)]≈eq\f(1,2)(1－0.6826)＝0.1587.所以P