第1章《一元二次方程》復(fù)習(xí)卷及答案

初三數(shù)學(xué)《一元二次方程》復(fù)習(xí)卷一．選擇題（共10小題）1．已知關(guān)于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的最大整數(shù)值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣12．已知a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a3+8β+6的值為（）A．﹣1 B．2 C．22 D．303．已知實(shí)數(shù)a，b同時(shí)滿足a2+b2﹣11=0，a2﹣5b﹣5=0，則b的值是（）A．1 B．1，﹣6 C．﹣1 D．﹣64．已知關(guān)于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（）A．k≥﹣ B．k＞﹣ C．k≥﹣且k≠0 D．k＜﹣5．設(shè)M=2a2﹣5a+1，N=3a2﹣7，其中a為實(shí)數(shù)，則M與N的大小關(guān)系是（）A．M＞N B．M≥N C．M≤N D．不能確定6．若a，b，c為三角形ABC的三邊，且a，b，c滿足（a﹣b）（a﹣c）=0，則△ABC為（）A．直角三角形 B．鈍角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形或等邊三角形7．關(guān)于未知數(shù)x的方程ax2+4x﹣1=0只有正實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為（）A．﹣4≤a≤0 B．﹣4≤a＜0 C．﹣4＜a≤0 D．﹣4＜a＜08．設(shè)x2﹣px+q=0的兩實(shí)根為α，β，而以α2，β2為根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，則數(shù)對(duì)（p，q）的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．09．若a?b≠1，且有2a2+5a+1=0，b2+5b+2=0，則2+的值為（）A． B． C． D．10．有兩個(gè)一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a?c≠0，a≠c．下列四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A．如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．如果方程M的兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同C．如果5是方程M的一個(gè)根，那么是方程N(yùn)的一個(gè)根D．如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必是x=1二．填空題（共10小題）11．若關(guān)于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1=0是一元二次方程，則m=______．12．已知x=6﹣y，z2=9﹣xy，z≠3﹣y，則x+2y﹣z=______．13．一個(gè)長(zhǎng)方形，若將其一邊增長(zhǎng)5厘米，另一邊長(zhǎng)擴(kuò)大1倍，其面積就等于原長(zhǎng)方形面積的3倍；若將其一邊減少10厘米，就成為一個(gè)正方形，此長(zhǎng)方形的面積為_(kāi)_____厘米2．14．已知m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的兩個(gè)解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，則a的值為_(kāi)_____．15．當(dāng)k取值為_(kāi)_____時(shí)，關(guān)于x的方程x2+kx﹣1=0與x2+x+（k﹣2）=0只有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根．16．如果方程x2﹣2x+m=0的兩實(shí)根為a，b，且a，b，1可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．17．關(guān)于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是______．18．若實(shí)數(shù)a，b滿足a2+a﹣1=0，b2+b﹣1=0，則=______．19．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“☆”，其規(guī)則為：a☆b=a2﹣b2，則方程（4☆3）☆x=13的解為x=______．20．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD為BC邊上的高．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D方向以cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)△ABP的面積為S1，矩形PDFE的面積為S2，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜8），則t=______秒時(shí)，S1=2S2．三．解答題（共10小題）21．已知實(shí)數(shù)a、b（a≠b）分別滿足a2+2a=2，b2+2b=2．求的值．22．某電熱器經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后，利潤(rùn)由20元降到5元，已知降價(jià)前該產(chǎn)品的利潤(rùn)率是25%，解答下列問(wèn)題：（1）求這種電熱器的進(jìn)價(jià)；（2）求經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的售價(jià)；（3）求每次降價(jià)的平均降價(jià)率？（精確到1%）23．已知關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB，BC的長(zhǎng)是方程kx2﹣4x+2=0的兩根，求BC的長(zhǎng)．24．如圖，利用一面墻（墻EF最長(zhǎng)可利用28米），圍成一個(gè)矩形花園ABCD．與墻平行的一邊BC上要預(yù)留2米寬的入口（如圖中MN所示，不用砌墻）．用砌60米長(zhǎng)的墻的材料，當(dāng)矩形的長(zhǎng)BC為多少米時(shí)，矩形花園的面積為300平方米；能否圍成480平方米的矩形花園，為什么？25．善于思考的小明在解方程組時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法：解：將方程②變形：4x+10y+y=5，即2（2x+5y）+y=5③把方程①帶入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1把y=﹣1代入①得x=4，∴方程組的解為．請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：（1）模仿小明的“整體代換”法解方程組；（2）已知x，y滿足方程組①求x2+9y2的值；②求x+3y的值．[參考公式（a+b）2=a2+2ab+b2]．26．今年小芳家添置了新電器．已知今年5月份的用電量是240千瓦時(shí)．（1）若今年6月份用電量增長(zhǎng)率是7月份用電量增長(zhǎng)率的1.5倍，設(shè)今年7月份用電量增長(zhǎng)率為x，補(bǔ)全下列表格內(nèi)容（用含x代數(shù)式表示）月份6月份7月份月增長(zhǎng)率x用電量（單位：千瓦時(shí)）（2）在（1）的條件下，預(yù)計(jì)今年7月份的用電量將達(dá)到480千瓦時(shí)，求今年7月份用電量增長(zhǎng)率x的值．（精確到1%）（3）若今年6月份用電量增長(zhǎng)率是7月份用電量增長(zhǎng)率的n倍，6月份用電量為360千瓦時(shí)，預(yù)計(jì)今年7月份的用電量將不低于500千瓦時(shí)．則n的最大值為_(kāi)_____．（直接寫(xiě)出答案）27．關(guān)于x的方程x2+2x+2，其中p是實(shí)數(shù)．（1）若方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求P的范圍；（2）若p＞0，問(wèn)p為何值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？并求出這兩個(gè)根．28．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1=0；（1）求證：不論m任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩根為x1、x2且滿足，求m的值．29．如圖，張大叔從市場(chǎng)上買(mǎi)回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個(gè)容積為15m3的無(wú)蓋長(zhǎng)方體箱子，且此長(zhǎng)方體箱子的底面長(zhǎng)比寬多2米，現(xiàn)已知購(gòu)買(mǎi)這種鐵皮每平方米需20元錢(qián)，問(wèn)張大叔購(gòu)回這張矩形鐵皮共花了多少元錢(qián)？30．已知關(guān)于x的一元二次方程，（1）求證：不論k取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)x1、x2是方程的兩個(gè)根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．參考答案一．選擇題（共10小題）1．已知關(guān)于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的最大整數(shù)值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】若一元二次方程有兩不等實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=b2﹣4ac＞0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍．還要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=4+4（1﹣k）＞0，且1﹣k≠0，解得k＜2，且k≠1，則k的最大整數(shù)值是0．故選C．專業(yè)學(xué)習(xí)資料平臺(tái)網(wǎng)資源【點(diǎn)評(píng)】總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．2．已知a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a3+8β+6的值為（）A．﹣1 B．2 C．22 D．30【分析】根據(jù)求根公式x=求的α、β的值，然后將其代入所求，并求值．【解答】解：方程x2﹣2x﹣4=0解是x=，即x=1±，∵a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴①當(dāng)α=1+，β=1﹣時(shí)，a3+8β+6，=（1+）3+8（1﹣）+6，=16+8+8﹣8+6，=30；②當(dāng)α=1﹣，β=1+時(shí)，a3+8β+6，=（1﹣）3+8（1+）+6，=16﹣8+8+8+6，=30．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的解．解答本題時(shí)，采用了“公式法”．3．已知實(shí)數(shù)a，b同時(shí)滿足a2+b2﹣11=0，a2﹣5b﹣5=0，則b的值是（）A．1 B．1，﹣6 C．﹣1 D．﹣6【分析】?jī)墒较鄿p先消去a，得到關(guān)于b的方程，再解方程，最后檢驗(yàn)解．【解答】解：∵a2+b2﹣11=0，①a2﹣5b﹣5=0，②∴①﹣②得b2+5b﹣6=0，（b+6）（b﹣1）=0，∴b1=﹣6，b2=1．當(dāng)b=﹣6時(shí)，a2=﹣25，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，不合題意，舍去．∴b=1．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了運(yùn)用消元法解方程組和運(yùn)用因式分解法解一元二次方程的思路，注意根據(jù)題意取舍字母的取值．4．已知關(guān)于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（）A．k≥﹣ B．k＞﹣ C．k≥﹣且k≠0 D．k＜﹣【分析】由于k的取值不確定，故應(yīng)分k=0（此時(shí)方程化簡(jiǎn)為一元一次方程）和k≠0（此時(shí)方程為二元一次方程）兩種情況進(jìn)行解答．【解答】解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，x﹣1=0，解得：x=1；（2）當(dāng)k≠0時(shí)，此方程是一元二次方程，∵關(guān)于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）=0有實(shí)根，∴△=（2k+1）2﹣4k×（k﹣1）≥0，解得k≥﹣，由（1）和（2）得，k的取值范圍是k≥﹣．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是根的判別式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．同時(shí)解答此題時(shí)要注意分k=0和k≠0兩種情況進(jìn)行討論．5．設(shè)M=2a2﹣5a+1，N=3a2﹣7，其中a為實(shí)數(shù)，則M與N的大小關(guān)系是（）A．M＞N B．M≥N C．M≤N D．不能確定【分析】把M與N代入M﹣N中計(jì)算，判斷差的正負(fù)即可得到結(jié)果．【解答】解：M﹣N=2a2﹣5a+1﹣（3a2﹣7）=﹣a2﹣5a+8=﹣（a+）2+．∵a的取值范圍不確定，∴無(wú)法判定M﹣N的符號(hào)，即無(wú)法判定M與N的大?。蔬x：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．6．若a，b，c為三角形ABC的三邊，且a，b，c滿足（a﹣b）（a﹣c）=0，則△ABC為（）A．直角三角形 B．鈍角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形或等邊三角形【分析】由已知可得a﹣b=0或a﹣c=0，從而有a=b或a=c．根據(jù)邊長(zhǎng)判斷三角形形狀．【解答】解：∵（a﹣b）（a﹣c）=0，∴a﹣b=0或a﹣c=0，∴a=b或a=c．∵a，b，c為△ABC的三邊，∴△ABC為等腰三角形或等邊三角形．故選D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的判定方法，注意a=b或a=c包含三種情況：a=b；a=c；a=b=c．7．關(guān)于未知數(shù)x的方程ax2+4x﹣1=0只有正實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為（）A．﹣4≤a≤0 B．﹣4≤a＜0 C．﹣4＜a≤0 D．﹣4＜a＜0【分析】當(dāng)a=0時(shí)，方程是一元一次方程，方程的根可以求出，即可作出判斷；當(dāng)a≠0時(shí)，方程是一元二次方程，只有正實(shí)數(shù)根，則應(yīng)滿足：△≥0，x1+x2＞0，x1?x2＞0，建立關(guān)于a的不等式，求得a的取值范圍即可．【解答】解：當(dāng)a=0時(shí)，方程是一元一次方程，方程是4x﹣1=0，解得x=，是正根；當(dāng)a≠0時(shí)，方程是一元二次方程．∵a=a，b=4，c=﹣1，∴△=16+4a≥0，x1+x2=﹣＞0，x1?x2=﹣＞0解得：﹣4≤a＜0．總之：﹣4≤a≤0．故選：A【點(diǎn)評(píng)】注意本題分a=0與a≠0兩種情況討論是解決本題的關(guān)鍵．并且利用了一元二次方程若只有正實(shí)數(shù)根的條件，則應(yīng)有△≥0，兩根之積大于0，兩根之和大于0求解．8．設(shè)x2﹣px+q=0的兩實(shí)根為α，β，而以α2，β2為根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，則數(shù)對(duì)（p，q）的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．0【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系把α，β之間的關(guān)系找出來(lái)，利用α，β之間的關(guān)系，解關(guān)于p，q的方程，然后再代入原方程檢驗(yàn)即可．【解答】解：根據(jù)題意得，α+β=p①，αβ=q②；α2+β2=p③，α2β2=q④．由②④可得α2β2﹣αβ=0，解之得αβ=1或0由①③可得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=p2﹣2q=p，即p2﹣p﹣2q=0，當(dāng)q=0時(shí)，p2﹣p=0，解之得，p=0或p=1，即，，把它們代入原方程的△中可知符合題意．當(dāng)q=1時(shí)，p2﹣p﹣2=0，解之得，p=﹣1或2，即，，把它們代入原方程的△中可知不合題意舍去，所以數(shù)對(duì)（p，q）的個(gè)數(shù)是3對(duì)．故本題選B．【點(diǎn)評(píng)】將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=﹣，x1?x2=．9．若a?b≠1，且有2a2+5a+1=0，b2+5b+2=0，則2+的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件“若a?b≠1，且有2a2+5a+1=0，b2+5b+2=0”知，、b可以看成是關(guān)于x的一元二次方程x2+5x+2=0的兩根；然后根據(jù)韋達(dá)定理求得x1?x2=2，即?b=2，∴a=；再將其代入所求的代數(shù)式求值即可．【解答】解：∵2a2+5a+1=0，∴+5×+2=0；又∵b2+5b+2=0，∴、b可以看成是關(guān)于x的一元二次方程x2+5x+2=0的兩根；∴由韋達(dá)定理，得x1?x2=2，即?b=2，∴a=；∴2+=2+=．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、二次根式的化簡(jiǎn)求值．解答此題時(shí)，不要忽視了條件a?b≠1．若在方程2a2+5a+1=0的兩邊同時(shí)乘以2時(shí)，那么2a、b可以看成是關(guān)于x的一元二次方程x2+5x+2=0的兩根，則a?b=1．10．有兩個(gè)一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a?c≠0，a≠c．下列四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A．如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．如果方程M的兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同C．如果5是方程M的一個(gè)根，那么是方程N(yùn)的一個(gè)根D．如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必是x=1【分析】利用根的判別式判斷A；利用根與系數(shù)的關(guān)系判斷B；利用一元二次方程的解的定義判斷C與D．【解答】解：A、如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)論正確，不符合題意；B、如果方程M的兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a與c符號(hào)相同，＞0，所以方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同，結(jié)論正確，不符合題意；C、如果5是方程M的一個(gè)根，那么25a+5b+c=0，兩邊同時(shí)除以25，得c+b+a=0，所以是方程N(yùn)的一個(gè)根，結(jié)論正確，不符合題意；D、如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解的定義．二．填空題（共10小題）11．若關(guān)于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1=0是一元二次方程，則m=2．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．【解答】解：因?yàn)槭顷P(guān)于x的一元二次方程，這個(gè)方程一定有一個(gè)二次項(xiàng)，則（m+2）x|m|一定是此二次項(xiàng)．所以得到，解得m=2．【點(diǎn)評(píng)】要特別注意二次項(xiàng)系數(shù)a≠0這一條件，本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是忽視m+2≠0這一條件．12．已知x=6﹣y，z2=9﹣xy，z≠3﹣y，則x+2y﹣z=9．【分析】先將x=6﹣y代入z2=9﹣xy=（y﹣3）2，解得：z=y﹣3或z=3﹣y，再根據(jù)z≠3﹣y，得到z=y﹣3，代入原式x+2y﹣z=6﹣y+2y﹣y+3=9．【解答】解：∵x=6﹣y∴z2=9﹣xy=9﹣（6﹣y）y=9﹣（6y﹣y2）=y2﹣6y+9=（y﹣3）2∴z=y﹣3或z=3﹣y∵z≠3﹣y∴z=y﹣3∴x+2y﹣z=6﹣y+2y﹣y+3=9故答案為9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的解法，解題的關(guān)鍵是代入后正確的變形為完全平方的形式．13．一個(gè)長(zhǎng)方形，若將其一邊增長(zhǎng)5厘米，另一邊長(zhǎng)擴(kuò)大1倍，其面積就等于原長(zhǎng)方形面積的3倍；若將其一邊減少10厘米，就成為一個(gè)正方形，此長(zhǎng)方形的面積為200厘米2．【分析】等量關(guān)系為：新長(zhǎng)方形的面積=原長(zhǎng)方形面積×3，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)原長(zhǎng)方形的寬為x厘米，則長(zhǎng)為（x+10）厘米；①寬加5（x+5）×2（x+10）=3×x（x+10），解得x1=﹣10（不合題意，舍去），x2=10，∴原長(zhǎng)方形的面積為10×20=200；②長(zhǎng)加52x×（x+10+5）=3×x（x+10），解得x1=0（不合題意，舍去）故答案為200．【點(diǎn)評(píng)】考查一元二次方程的應(yīng)用；分情況探討是長(zhǎng)增加5cm或?qū)捲黾?cm是解決本題的易錯(cuò)點(diǎn)．14．已知m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的兩個(gè)解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，則a的值為﹣4．【分析】由m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的兩個(gè)解，得出m+n=3，mn=a，整理（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，整體代入求得a的數(shù)值即可．【解答】解：∵m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的兩個(gè)解，∴m+n=3，mn=a，∵（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，∴mn﹣（m+n）+1=﹣6即a﹣3+1=﹣6解得a=﹣4．故答案為：﹣4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=．15．當(dāng)k取值為0時(shí)，關(guān)于x的方程x2+kx﹣1=0與x2+x+（k﹣2）=0只有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根．【分析】?jī)蓚€(gè)方程有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則設(shè)相同的實(shí)數(shù)根為a，代入到兩方程進(jìn)行解答，可求出k的值．求出k值后要驗(yàn)證兩方程是否是只有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根．【解答】解：設(shè)相同實(shí)根是a則a2+ka﹣1=0，a2+a+k﹣2=0相減得（k﹣1）a﹣1﹣k+2=0，即（k﹣1）a=k﹣1若k=1，則兩個(gè)方程都是x2+x﹣1=0，有兩個(gè)相同的根，不合題意所以k不等于1．所以a==1即相同實(shí)根是x=1，代入方程12+k×1﹣1=0，k=0，符合k為非負(fù)數(shù)，所以k=0．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】考查了一元二次方程的解，此題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一個(gè)是要設(shè)出兩個(gè)方程的相同實(shí)數(shù)根，代入運(yùn)算．另外一根為驗(yàn)證所求得的k值是否符合題意．為易錯(cuò)題．16．如果方程x2﹣2x+m=0的兩實(shí)根為a，b，且a，b，1可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是＜m≤1．【分析】若一元二次方程有兩根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍．再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和三角形中三邊的關(guān)系來(lái)再確定m的取值范圍，最后綜合所有情況得出結(jié)論．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0的兩實(shí)根為a，b，∴有△=4﹣4m≥0，解得：m≤1，由根與系數(shù)的關(guān)系知：a+b=2，a?b=m，若a，b，1可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，則必有a+b＞1與|a﹣b|＜1同時(shí)成立，故只需（a﹣b）2＜1即可，化簡(jiǎn)得：（a+b）2﹣4ab＜1，把a(bǔ)+b=2，a?b=m代入得：4﹣4m＜1，解得：m＞，∴＜m≤1，故本題答案為：＜m≤1．【點(diǎn)評(píng)】主要考查一元二次方程的根的判別式與根的關(guān)系和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、三角形中三邊的關(guān)系．17．關(guān)于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是．【分析】由關(guān)于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1=0有實(shí)數(shù)根，分兩種情況：①m=0時(shí)，為一元一次方程，必有實(shí)數(shù)根；②m≠0時(shí)，為一元二次方程，由判別式△≥0，可得[﹣2（3m﹣1）]2﹣4×m×（9m﹣1）≥0，解此不等式即可求得答案．【解答】解：分兩種情況：①m=0時(shí)，原方程即為2x﹣1=0，為一元一次方程，必有實(shí)數(shù)根；②m≠0時(shí)，原方程為一元二次方程．∵a=m，b=﹣2（3m﹣1），c=9m﹣1，∴△=b2﹣4ac=[﹣2（3m﹣1）]2﹣4×m×（9m﹣1）=﹣20m+4，∵關(guān)于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1=0有實(shí)數(shù)根，∴△=﹣20m+4≥0，解得：m≤，即m≤且m≠0．綜上可知m≤．故答案為：m≤．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元一次方程與一元二次方程根的判別式的知識(shí)．此題難度中等，注意分情況討論．18．若實(shí)數(shù)a，b滿足a2+a﹣1=0，b2+b﹣1=0，則=2或﹣3．【分析】由于a，b滿足a2+a﹣1=0，b2+b﹣1=0，因此可以把a(bǔ)、b看作方程x2+x﹣1=0的兩個(gè)根，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系可以得到a+b=﹣1，ab=﹣1，再把所求代數(shù)式通分即可求解．【解答】解：若a≠b，∵實(shí)數(shù)a，b滿足a2+a﹣1=0，b2+b﹣1=0，∴a、b看作方程x2+x﹣1=0的兩個(gè)根，∴a+b=﹣1，ab=﹣1，則====﹣3．若a=b，則原式=2．故答案為：2或﹣3【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，首先把已知等式轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問(wèn)題，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解決問(wèn)題．19．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“☆”，其規(guī)則為：a☆b=a2﹣b2，則方程（4☆3）☆x=13的解為x=±6．【分析】按照題中給出的規(guī)則運(yùn)算．其規(guī)則為：a☆b=a2﹣b2．【解答】解：其規(guī)則為：a☆b=a2﹣b2，則方程（4☆3）☆x=13解的步驟為：（42﹣32）☆x=13，7☆x=13，49﹣x2=13，x2=36，∴x=±6．【點(diǎn)評(píng)】此題是典型的新定義題型，解題的關(guān)鍵是要根據(jù)所給的規(guī)則把數(shù)或字母代入相應(yīng)的位置，進(jìn)行計(jì)算．該題中用到了直接開(kāi)平方法解方程，所以要熟悉直接開(kāi)平方法．20．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD為BC邊上的高．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D方向以cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)△ABP的面積為S1，矩形PDFE的面積為S2，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜8），則t=6秒時(shí)，S1=2S2．【分析】利用三角形的面積公式以及矩形的面積公式，表示出S1和S2，然后根據(jù)S1=2S2，即可列方程求解．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD為BC邊上的高，∴AD=BD=CD=8cm，又∵AP=t，則S1=AP?BD=×8×t=8t，PD=8﹣t，∵PE∥BC，∴△APE∽△ADC，∴，∴PE=AP=t，∴S2=PD?PE=（8﹣t）?t，∵S1=2S2，∴8t=2（8﹣t）?t，解得：t=6．故答案是：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，正確表示出S1和S2是關(guān)鍵．三．解答題（共10小題）21．已知實(shí)數(shù)a、b（a≠b）分別滿足a2+2a=2，b2+2b=2．求的值．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a+b=﹣2，ab=﹣2，再把變成，然后把前面的關(guān)系式代入即可求出代數(shù)式的值．【解答】解：∵實(shí)數(shù)a、b（a≠b）分別滿足a2+2a=2，b2+2b=2，∴實(shí)數(shù)a、b是方程x2+2x﹣2=0的兩根．由根與系數(shù)的關(guān)系可知a+b=﹣2，ab=﹣2．∴==1．【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是不要直接求根，而是要利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入求值．22．某電熱器經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后，利潤(rùn)由20元降到5元，已知降價(jià)前該產(chǎn)品的利潤(rùn)率是25%，解答下列問(wèn)題：（1）求這種電熱器的進(jìn)價(jià)；（2）求經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的售價(jià)；（3）求每次降價(jià)的平均降價(jià)率？（精確到1%）【分析】（1）進(jìn)價(jià)=利潤(rùn)÷利潤(rùn)率，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可；（2）售價(jià)=進(jìn)價(jià)+利潤(rùn)，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可；（3）關(guān)系式為：原售價(jià)×（1﹣降低的百分比）2=后來(lái)的售價(jià)，把相關(guān)數(shù)值代入求得合適的解即可．【解答】解：（1）進(jìn)價(jià)為：20÷25%=80元；（2）經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的售價(jià)為80+5=85元；（3）設(shè)平均降價(jià)率為x．100×（1﹣x）2=85，∵1﹣x＞0，∴1﹣x=，解得x≈8%．答：降價(jià)的百分比為8%．【點(diǎn)評(píng)】考查一元二次方程的應(yīng)用；掌握進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)，利潤(rùn)率之間的關(guān)系式是解決本題的突破點(diǎn)；注意求降低率時(shí)應(yīng)根據(jù)售價(jià)來(lái)求．23．已知關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB，BC的長(zhǎng)是方程kx2﹣4x+2=0的兩根，求BC的長(zhǎng)．【分析】（1）若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于k的不等式，即可求出k的取值范圍．（2）由于AB=2是方程kx2﹣4x+2=0，所以可以確定k的值，進(jìn)而再解方程求出BC的值．【解答】解：（1）∵方程有實(shí)數(shù)根，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×k×2=16﹣8k≥0，解得：k≤2，又因?yàn)閗是二次項(xiàng)系數(shù)，所以k≠0，所以k的取值范圍是k≤2且k≠0．（2）由于AB=2是方程kx2﹣4x+2=0，所以把x=2代入方程，可得k=，所以原方程是：3x2﹣8x+4=0，解得：x1=2，x2=，所以BC的值是．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是忽視根的判別式應(yīng)用的前提條件：二次項(xiàng)系數(shù)k≠0．24．如圖，利用一面墻（墻EF最長(zhǎng)可利用28米），圍成一個(gè)矩形花園ABCD．與墻平行的一邊BC上要預(yù)留2米寬的入口（如圖中MN所示，不用砌墻）．用砌60米長(zhǎng)的墻的材料，當(dāng)矩形的長(zhǎng)BC為多少米時(shí)，矩形花園的面積為300平方米；能否圍成480平方米的矩形花園，為什么？【分析】根據(jù)可以砌60m長(zhǎng)的墻的材料，即總長(zhǎng)度是60m，BC=xm，則AB=（60﹣x+2）m，再根據(jù)矩形的面積公式列方程，解一元二次方程即可．【解答】解：設(shè)矩形花園BC的長(zhǎng)為x米，則其寬為（60﹣x+2）米，依題意列方程得：（60﹣x+2）x=300，x2﹣62x+600=0，解這個(gè)方程得：x1=12，x2=50，∵28＜50，∴x2=50（不合題意，舍去），∴x=12．（60﹣x+2）x=480，x2﹣62x+960=0，解這個(gè)方程得：x1=32，x2=30，∵28＜30＜32，∴x1=32，x2=30（不合題意，舍去），答：當(dāng)矩形的長(zhǎng)BC為12米時(shí)，矩形花園的面積為300平方米；不能圍成480平方米的矩形花園．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系求解，注意圍墻EF最長(zhǎng)可利用28m，舍掉不符合題意的數(shù)據(jù)．25．善于思考的小明在解方程組時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法：解：將方程②變形：4x+10y+y=5，即2（2x+5y）+y=5③把方程①帶入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1把y=﹣1代入①得x=4，∴方程組的解為．請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：（1）模仿小明的“整體代換”法解方程組；（2）已知x，y滿足方程組①求x2+9y2的值；②求x+3y的值．[參考公式（a+b）2=a2+2ab+b2]．【分析】分析：（1）把②變形為6x﹣3y+y=6，整體代入，先求出y；【解答】解：（1）由②得：6x﹣3y+y=6，3（2x﹣y）+y=6③，把①代入③得：3×1+y=6，解得：y=3，把y=3代入①得：2x﹣3=1，解得：x=2，所以原方程組的解為；（2）①①×2+②，得7x2+63y2=126，等式的兩邊都除以7，得x2+9y2=18．②．①×3﹣②×2，得﹣7xy=﹣21，∴xy=3，6xy=18∵x2+9y2=18，∴x2+6xy+9y2=18+18，∴（x+3y）2=36，∴x+3y=±6．【點(diǎn)評(píng)】點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程組的“整體代入”的解法．整體代入法，就是變形組中的一個(gè)方程，使該方程左邊變形為另一個(gè)方程的左邊的倍數(shù)加一個(gè)未知數(shù)的形式，整體代入，求出一個(gè)未知數(shù)，再代入求出另一個(gè)未知數(shù)．26．今年小芳家添置了新電器．已知今年5月份的用電量是240千瓦時(shí)．（1）若今年6月份用電量增長(zhǎng)率是7月份用電量增長(zhǎng)率的1.5倍，設(shè)今年7月份用電量增長(zhǎng)率為x，補(bǔ)全下列表格內(nèi)容（用含x代數(shù)式表示）月份6月份7月份月增長(zhǎng)率x用電量（單位：千瓦時(shí)）（2）在（1）的條件下，預(yù)計(jì)今年7月份的用電量將達(dá)到480千瓦時(shí)，求今年7月份用電量增長(zhǎng)率x的值．（精確到1%）（3）若今年6月份用電量增長(zhǎng)率是7月份用電量增長(zhǎng)率的n倍，6月份用電量為360千瓦時(shí)，預(yù)計(jì)今年7月份的用電量將不低于500千瓦時(shí)．則n的最大值為．（直接寫(xiě)出答案）【分析】（1）根據(jù)5月份的用電量和今年6月份用電量增長(zhǎng)率是7月份用電量增長(zhǎng)率的1.5倍分別表示出6月和7月的用電量即可；（2）根據(jù)7月份的用電量將達(dá)到480千瓦時(shí)列出方程求解即可；（3）根據(jù)今年7月份的用電量將不低于500千瓦時(shí)列出不等式求得n的最大值即可．【解答】解：（1）月份6月份7月份增長(zhǎng)率1.5xx用電量（單位：千瓦時(shí)）240（1+1.5x）240（1+x）（1+1.5x）（2）480=240（1+x）（1+1.5x），解得或x=﹣2（不合題意舍去），∴（3）設(shè)6月的增長(zhǎng)率為x，列方程為240（1+x）=360，解得x=0.5，則7月的增長(zhǎng)率為，列不等式360（1+）≥500，解得：n≤．∴n的最大值為，∴n的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是弄清如何用增長(zhǎng)率表示出6、7月份的用電量．27．關(guān)于x的方程x2+2x+2，其中p是實(shí)數(shù)．（1）若方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求P的范圍；（2）若p＞0，問(wèn)p為何值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？并求出這兩個(gè)根．【分析】（1）換元，令=y，把中根號(hào)下的數(shù)看成整體，再求p的范圍；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，判別式=0，求出p，再求得兩實(shí)根．【解答】解：（1）令=y，①則原方程變?yōu)閥2+2y﹣（p2+2p）=0．（3分）∵△=4+4（p2+2p）=4（p2+2p+1）=4（p+1）2≥0，即y1=p，y2=﹣2﹣p．（6分）若原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，只須解這個(gè)不等式組，得﹣2＜p＜0．（9分）（2）∵p＞0，把y1=p代入①，得=p②而y2=﹣