以費(fèi)馬點(diǎn)為新定義的解三角形（解析版）

11．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題.該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小."意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)VABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120O時(shí)，使得上AOB=上BOC=上COA=120o的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)VABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120O時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知a,b,c分別是VABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，點(diǎn)P為VABC的費(fèi)馬點(diǎn)，(1)求A；(3)若PB+PC=tPA，求實(shí)數(shù)t的最小值.【答案】(1) 求解即可；（2）利用等面積法列方程，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算公式即可求解；（3）設(shè)PB=mPA，PC=nPA，PA=p，推出m+n=t，利用余弦定理以及勾股定理即可推出mn=m+n+2，再結(jié)合基本不等式即可求得答案.即sin2C=sin2Acos2B—sin2Bcos2A，所以由正弦定理可得a2=b2+c2，所以A=.（2）由（1）可得A=π,所以VABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C都小于120O，2試卷第2頁(yè)，共23頁(yè)–––––––→–––––––→ ,,2=p22=p2BC2p22p2+n2p22mnp2cos120O=m2+n2+mnp2， 所以t的最小值為2+23. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第（2）問(wèn)的關(guān)鍵是利用等面積法得到xy+xz+yz=43，再根據(jù)向量數(shù)量積的定義求解；第（3）問(wèn)的關(guān)鍵是設(shè)PB=mPA，PC=nPA，PA=p，推出m+n=t，結(jié)合費(fèi)馬點(diǎn)的定義，利用余弦定理推出mn=m+n+2，然后利用基本不等式求解.22．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)VABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120O時(shí)，使得上AOB=上BOC=上COA=120o的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)VABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120O時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：(1)若VABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，求該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)O到各頂點(diǎn)的距離之和；(2)VABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且a=bsinA，點(diǎn)P為VABC的費(fèi)馬點(diǎn).求的最小值. 【答案】(1)4·3 【分析】（1）過(guò)O作OD丄AC于D，結(jié)合題意即可求解；（2i）根據(jù)正弦定理求得B，由三角形面積公式及向量數(shù)量積即可求解ii）設(shè)理得出m+n+2=mn，根據(jù)基本不等式求解范圍即可.【詳解】（1）因?yàn)閂ABC為等邊三角形，三個(gè)內(nèi)角均小于120O，故費(fèi)馬點(diǎn)O在三角形內(nèi)，滿所以該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)O到各頂點(diǎn)的距離之和為OB+OC+OA=4.試卷第4頁(yè)，共23頁(yè)（2i）因?yàn)閍=bsinA，由正弦定理，且sinA≠0，所以△ABC的三個(gè)角都小于120O，設(shè)設(shè)PBPB)x2，m22當(dāng)且僅當(dāng)m=n，即m=n=1+3時(shí)，等號(hào)成立.2PA.PCPB2 33．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120O時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且(1)求A；(3)設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，PB+PC=tPA，求實(shí)數(shù)t的最小值.【答案】(1)A= 2π32π3結(jié)合費(fèi)馬點(diǎn)含義，利用余弦定理推出m+n+2=mn，然后利用基本不等式即可求解.由正弦定理可得a2=b2+c2，故△ABC直角三角形，即A=.由所以三角形ABC的三個(gè)角都小于120O，則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：------PBPB試卷第6頁(yè)，共23頁(yè))x2，iBC2=m2x2+n2x2—2mnx2cos22 故實(shí)數(shù)t的最小值為2+23.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題首先要理解費(fèi)馬點(diǎn)的含義，第二問(wèn)的關(guān)鍵是利用面積法得到xy+yz+xz=解答第三問(wèn)的關(guān)鍵在于設(shè)PB,PA,PC,PA,PA利用余弦定理推出m+n+2=mn，然后利用基本不等式即可求解.44．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知a，b，c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊①求B；(2)若cos2C+2sin(A+B)sin(A-B)=1，設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，PB+PC=tPA，求實(shí)數(shù)t的最小值.【答案】(1)①;②-3 【分析】（1）①利用兩角和的正弦公式得到·cosBsinC=sinCsinB，即可求出tanB，從而得解；②利用余弦定理求出ac，利用等面積法求出|PA,再根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算可得；（2）利用二倍角公式、誘導(dǎo)公式及和差角公式求出A=，設(shè)m+n+2=mn，再利用基本不等式計(jì)算可得.(ππ)即cosA=2cosB|(sinCcos6-cosCsin6(ππ)即cosA=·cosBsinC-cosBcosC，又cosA=cosπ-(C+B)=-cos(C+B)=-cosCcosB+sinCsinB， 所以·3cosBsinC=sinCsinB， 又C∈(0,π)，所以sinC>0，所以3試卷第8頁(yè)，共23頁(yè)②由三角形內(nèi)角和性質(zhì)可知，△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120。，結(jié)合題設(shè)易知P點(diǎn)一定在△ABC的內(nèi)部.由余弦定理可得a2+c2-b2=2accosB，即a2+c2-b2=ac，又b2-(a-c)2=6，即a2+c2-b2=2ac-6，所以2ac-6=ac，解得ac=6.(PA.PB+PB.PC+PA.PC)cos=-3.所以1-2sin2C+2sinCsin(A-B)=1，所以sin2C-sinCsin(A-B)=0，則sin(A+B)-sin(A-B)=0，即sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB+cosAsinB=0，所以cosAsinB=0，則由PB+PCPA由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2-2mx2cos 故實(shí)數(shù)t的最小值為2+23.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是理解并應(yīng)用費(fèi)馬點(diǎn)的定義，第三問(wèn)關(guān)鍵是設(shè)PB=mPA，PC=nPA，PA=x，從而推導(dǎo)出m+n=t、m+n+2=mn，再次不等式求出次不等式求出t的取值范圍.5．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).①求角B；試卷第10頁(yè)，共23頁(yè)②-. 【分析】（1）①利用兩角和的正弦公式得到sinBsinC=sinCcosB，即可求出tanB，從而得解；②利用余弦定理求出ac，利用等面積法求出|再根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算可得；（2）利用二倍角公式及正弦定理得到a2=b2+c2，則A=設(shè)m+n+2=mn，再利用基本不等式計(jì)算可得.①因?yàn)?sinBsin=2sinB =sinBsinC+3sinBcosC，又2sinBsin|(C+3,=3sinA， 又2sinBsin|(C+3,=3sinA，所以sinBsinC+3sinBcosC=3sinBcosC+3cosBsinC，即sinBsinC=·sinCcosB．因?yàn)閟inC≠0，所以tanB=因?yàn)?，所以B=.②由三角形內(nèi)角和性質(zhì)可知，△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120。，結(jié)合題設(shè)易知P點(diǎn)一定在△ABC的內(nèi)部.由余弦定理可得a2+c2-b2=2accosB，即a2+c2-b2=ac，又a2+c2-b2=3，解得ac=3.（2）由已知△ABC中cos2B+cos2C-c即1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1，故sin2A=sin2B+sin2C，由正弦定理可得a2=b2+c2，故△ABC直角三角形，即A=，由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2-2mx2)x22)x22)x222)x2故由試卷第12頁(yè)，共23頁(yè) 故實(shí)數(shù)t的最小值為2+23.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是理解并應(yīng)用費(fèi)馬點(diǎn)的定義，第三問(wèn)關(guān)鍵是設(shè)PB=mPA，PC=nPA，PA=x，從而推導(dǎo)出m+n=t、m+n+2=次不等式求出次不等式求出t的取值范圍.6．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，(1)若csinC-asinA=(c-b)sinB，①求A；(2)若cos2B+cos2C-cos2A=1，設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，PB+PC=tPA，求實(shí)數(shù)t的最小值.②1 【分析】（1）①利用正弦定理角化邊，然后利用余弦定理來(lái)求解；②利用等面積法列方程，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案；推出m+n=t，利用余弦定理以及勾股定理即可推出m+n+2=mn，再結(jié)合基本不等式即可求得答案.所以設(shè)PAPBPC試卷第14頁(yè)，共23頁(yè)當(dāng)cosA=0時(shí)，A=，△ABC為直角三角形，得sinBsinC=0，在三角形中不可能成立，所以△ABC為A=的直角三角形，)x2，22222π2222222π222，2， 故實(shí)數(shù)t的最小值為2+23.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題首先要理解費(fèi)馬點(diǎn)的含義，從而結(jié)合（1）的結(jié)論可解答第費(fèi)馬點(diǎn)含義，利用余弦定理推出m+n+2=mn，然后利用基本不等式即可求解.7．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題，該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了費(fèi)馬點(diǎn)：當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b=acosc.(1)(1)求A；(3)設(shè)點(diǎn)P在三角形內(nèi)，到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和的最小值為L(zhǎng)，若L=tPA，求實(shí)數(shù)t的最小值.【分析】（1）由b=acosC結(jié)合兩角和與差的正弦公式以及A、B∈0,π即可得解.S△CPA+S△BPC=S△ABC結(jié)合正弦定理形式的面積公式以及bc=23得xy+xZ+yZ=4，接PB=mPA,PC=nPA,PA=x,m>0,n>0,x>0，則由PB+PC+PA=tPA得m+n+1=t，接著分別由△BPC、△CPA和△BPA結(jié)合余弦定理和a2=b2+c進(jìn)而結(jié)合基本不等式即可建立關(guān)于t的不等式，從而求解關(guān)于t的不等式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)閎=acosC，所以由正弦定理有sinB=sin[π?(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC，所以cosAsinC=0，又因?yàn)锳、B∈0,π,（2）由（1）A=，所以△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°,設(shè)PA=x,PB=y,PC=z，若bC=23則由S△BPA+S△CPA+S△BPC=S△ABC得PB?PAsin∠APB+PC?PAsin∠CPA+PB?整理得xy+xz+yz=4，=PAPBcos∠APB+PBPCcos∠BPC+PCPAcos∠CPA=xycos120°+yzcos120°+xzcos120°則PB+PC+PA=tPA，故m+n+1=t，在△BPC、△CPA和△BPA中由余弦定理分別得a2=m2x2+n2x2?2mx·nxcos120°=(m2+n2+mn)x2，b2=x2+n2x2?2x·nxcos120°=(n2+n+1)x2，C2=m2x2+x2?2mx·xcos120°=(m2+m+1)x2，又a2=b2+c2，所以(m2+n2+mn)x2=(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2，試卷第16頁(yè)，共23頁(yè) 綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍是3+23,+∞,故實(shí)數(shù)t的最小值為3+23.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求實(shí)數(shù)t的最小值關(guān)鍵點(diǎn)1是利用PB+PC+PA=tPA得m+n+1=t；關(guān)鍵點(diǎn)2是分別由△BPA、△CPA、△BPC結(jié)合余弦定理和a2=b2+c2得m+n+2=mn，進(jìn)而由兩式m+n+1=t和m+n+2=mn結(jié)合基本不式.88．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題.該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)VABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120O時(shí)，使得上AOB=上BOC=上COA=120o的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)VABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120O時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知a，b，c分別是VABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，點(diǎn)D在AC上， ①求B；最小值. 【分析】（1）①由正弦定理，角化邊，化簡(jiǎn)后結(jié)合余弦定理，即可求解；②首先根據(jù)點(diǎn)D的位置確定向量關(guān)系，再根據(jù)向量數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為三角形邊長(zhǎng)的關(guān)系，再試卷第18頁(yè)，共23頁(yè)結(jié)合基本不等式確定ac的最大值，由費(fèi)馬點(diǎn)，結(jié)合三角形面積公式確定PA.PB+PB.PC+PA.PC最后代入數(shù)量積公式，即可求解;（2）首先由三角恒等變換可知，再設(shè)PB=mPA，PC=nPA，PA=x，(m>0,n>0,x>0)，得到t=m+n，根據(jù)費(fèi)馬定理，結(jié)合三個(gè)余弦定理表示AB2，AC2和BC2,由勾股定理確定等量關(guān)系，再結(jié)合基本不等式，即可求解.①因?yàn)橛烧叶ɡ砜傻没?jiǎn)得ac=a2+c2b2，因?yàn)閏osB=又B∈(0,π)，所以B=.22，21--24--2所以ac≤9，當(dāng)ac=9時(shí)，△ABC面積最大.由三角形內(nèi)角和性質(zhì)可知，△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120O，結(jié)合題設(shè)易知P點(diǎn)一定在△ABC的內(nèi)部.即12sin2B+12sin2C1+2sin2A=1，故sin2A=sin2B+sin2C，由正弦定理可得a2=b2+c2，故VABC直角三角形，即A=，2x2+n2x22mnx2cos=(m222 故實(shí)數(shù)t的最小值為2+23.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)費(fèi)馬點(diǎn)的理解，尤其是當(dāng)VABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120O9．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題.該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)VABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120O時(shí)，使得上AOB=上BOC=上COA=120o的點(diǎn)O即為試卷第20頁(yè)，共23頁(yè)費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且1+cos2C=cos2A+cos2B,M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).(1)求角C；(3)設(shè)MB+MA=tMC，求實(shí)數(shù)t的最小值.【答案】(1)90O 【分析】（1）利用二倍角公式及正弦定理將角化邊，即可得解； 的最大值，即可得解；再利用基本不等式計(jì)算可得.2A+12sin2B，即sin2A+sin2B=sin2C，:△ABC的三個(gè)角都小于120O，」點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，由S△AB