9類導(dǎo)數(shù)新定義壓軸（原卷版）

2 2 8 9 11 15 17 191、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新定義問題主要分兩類：一是概念新定義型，主要是以函數(shù)新概念為背景，通?？疾榭忌鷮?duì)函數(shù)新概念的理解，涉及函數(shù)的三要素的理解；二是性質(zhì)新定義型，主要是以函數(shù)新性質(zhì)為背景，重點(diǎn)考查考生靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的能力，涉及函數(shù)的各種相關(guān)性質(zhì)的拓展延伸.2、設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)為平面上兩點(diǎn)，則定義x2-x1+y2-y1為“折線距離”“直角距離”或“曼哈頓距離”，記作d(P,Q)=x2-x1+y2-y1.結(jié)論1：設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)為直線l:Ax+By+C=0外一定點(diǎn)，Q為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，則結(jié)論2：設(shè)點(diǎn)P為直線Ax+By+C1=0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線Ax+By+C2=0上的動(dòng)點(diǎn)，則①圓C與曲線Γ有公共點(diǎn)A，且圓心在曲線Γ凹的一側(cè)；②圓C與曲線Γ在點(diǎn)A處有相同的切線；③曲線Γ的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)A處的導(dǎo)數(shù)（即曲線Γ的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓C在點(diǎn)A處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓(x-a)2+(y-b)2=r2在點(diǎn)A(x0,y0)處的二階導(dǎo)數(shù)等于；則稱圓C為曲線Γ在A點(diǎn)處的曲率圓，其半徑r稱為曲率半徑.(1)求拋物線y=x2在原點(diǎn)的曲率圓的方程；(2)求曲線y=的曲率半徑的最小值；(3)若曲線y=ex在(x1,exx2,exx1≠x2)處有相同的曲率半徑，求證：x1+x2<-ln2.【典例1-2】有一種速度叫“中國速度”，“中國速度”正在刷新世界對(duì)中國高鐵的認(rèn)知．由于地形等原因，在修建高鐵、公路、橋隧等基建中，我們常用曲線的曲率（Curvature）來刻畫路線彎曲度．如圖所示的光滑曲線C上的曲線段AB，設(shè)其弧長(zhǎng)為Δs，曲線C在A，B兩點(diǎn)處的切線分別為lA,lB，記lA,lB的夾角為C:y=f(x)在其上一點(diǎn)A(x,y)處的曲率其中f,(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f,,(x)為f,(x)的導(dǎo)函數(shù)）若f=sin(2)記圓x2+y2=2025上圓心角為的圓弧的平均曲率為a.①求a的值；②設(shè)函數(shù)g(x)=ln(x+45a)-xex-1，若方程g(x)=m(m>0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2，證明：x2-x1，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828….【變式1-1】定義：若h,(x)是h(x)的導(dǎo)數(shù)，h,,(x)是h,(x)的導(dǎo)數(shù)，則曲線y=h(x)在點(diǎn)(x,h(x))處的曲率(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)設(shè)方程f(x)=g,(x)在區(qū)間內(nèi)的根為x1,x2,…,xn，…比較xn+1與xn+2π的大小，并證明.閉幕.會(huì)展展出了國產(chǎn)全球首架電動(dòng)垂直起降載人飛碟.觀察它的外觀造型，我們會(huì)被其優(yōu)美的曲線折服.現(xiàn)代產(chǎn)品外觀特別講究線條感，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線C:y=f(x)上的曲線段AB，其弧長(zhǎng)為Δs，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段AB運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線lA也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線lB，記這兩條切線之間的夾角為Δθ（它等于lB的傾斜角與lA的傾斜角之差）.顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段AB的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即Δs越小，K就越能精確刻畫曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義若極限存在）為曲線C在點(diǎn)A處的曲率.（其中y,，y,分別表示y=f(x)在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）(1)已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，則在該拋物線上點(diǎn)(3,y)處的曲率是多少？(3)若動(dòng)點(diǎn)A的切線沿曲線f(x)=2x2-8運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B(xn,f(xn))處的切線，點(diǎn)B的切線與x軸的交點(diǎn)為(xn+1,0)*nn-2，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，證明Tn<3.(x2,y2)，那么稱d(A,B)=x1-x2+y1-y2為A，B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離.(1)已知點(diǎn)N1，N2分別在直線x-2y=0，2x-y=0上，點(diǎn)M(0,2)與點(diǎn)N1，N2的曼哈頓距離分別為d(M,N1)，d(M,N2)，求d(M,N1)和d(M,N2)的最小值；(2)已知點(diǎn)N是直線x+k2y+2k+1=0(k>0)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M(0,2)與點(diǎn)N的曼哈頓距離d(M,N)的最小值記為f(k)，求f(k)的最大值；f(m,n)，求f(m,n)的最小值.張距離，它由n個(gè)絕對(duì)值之和組成，其中n為正整數(shù).如：M(2,6)=2x-1+2x-2+2x-3+2x-4+2x-5+2x-6夫斯基提出來的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段AB是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用B(x2,y2)，則d(A,B)=x(1)①點(diǎn)A(3,5)，B(2,-1)，求d(②求圓心在原點(diǎn)，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程.)，直線2x-y+2=0，求B點(diǎn)到直線的“曼哈頓距離”最小值；的平均值即d，求d最大值，并列舉最值成立時(shí)的一組坐標(biāo).(1)求函數(shù)y=cosh(2x)+sinh(x)的最小值；(2)若函數(shù)f(x)=log9cosh(2x)-asinh(x)在R上的最小值為-1，求正實(shí)數(shù)a的值；(3)求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)k，關(guān)于x的方程=kx+總有實(shí)根.線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程y=，其中c為參數(shù).當(dāng)c=1時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)coshx=類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù)sinhx=它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).(1)類比正弦函數(shù)的二倍角公式，請(qǐng)寫出雙曲正弦函數(shù)的一個(gè)正確的結(jié)論:sinh2x=.（只寫出即可，不要求證明試比較cosh(sinx)與sinh(cosx)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【變式3-1】（2024·上海寶山·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦：sinh雙曲余弦函數(shù)：cosh是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（2）寫出雙曲正弦與兩角和的正弦公式類似的展開式：sinh(x+y)=，并證明；（3）無窮數(shù)列{an}，a1=a，an+1=2a-1，是否存在實(shí)數(shù)a，使得a2021=若存在，求出a的值，若不存在，說明理由.【典例4-1】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）定義：函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f,(x)，我們稱函數(shù)f,(x)的導(dǎo)函數(shù)（2）已知定義在R上的函數(shù)g(x)滿足：對(duì)任意R，g,,(x)>0恒成立.P為曲線y=g(x)上的任意一點(diǎn).求證：除點(diǎn)P外，曲線y=g(x)上每一點(diǎn)都在點(diǎn)P處切線的上方；（3）試給出一個(gè)實(shí)數(shù)a的值，使得曲線y=p(x)與曲線y=q(x)有且僅有一條公切線，并證明你的結(jié)論.【典例4-2】記f,(x)=(f,(x)),，f,(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．若對(duì)x∈D，f,,(x)>0，則稱函數(shù)y=f(x)為D上的“凸函數(shù)”．已知函數(shù)=ex-x3-ax2-1，a∈R.（1）若函數(shù)f(x)為R上的凸函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)y=f(x)-x在(1,+∞)上有極值，求a的取值范圍.,【變式4-1】設(shè)g,(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若g,(x)是定義域?yàn)镈的增函數(shù)，則稱g(x)為D上的“凹函數(shù)”已知函數(shù)f(x)=xex+ax2+a為R上的凹函數(shù).,(1)求a的取值范圍；證明：fx2+x+上具有性質(zhì)M.①y=f(x)在D上的導(dǎo)數(shù)f,(x)存在；②y=f,(x)在D上的導(dǎo)數(shù)f,,(x)存在，且f,,(x)>0（其中f,,(x)=f,(x),）恒成立.(1)判斷函數(shù)y=lg在區(qū)間(0,+∞)上是否具有性質(zhì)M？并說明理由.(2)設(shè)a、b均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)=2x3+ax2+在x=1處取得極值，是否存在實(shí)數(shù)c，使得y=g(x)在區(qū)間[c,+∞)上具有性質(zhì)M？若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.合A中的任意一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)，按照某種確定的關(guān)系f，在B中都有唯一確定的數(shù)z和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)二元函數(shù)，記作z=f(x,y),(x,y)∈A，其中A稱為二元函數(shù)f的定義域.f=2,x1x2+y1y2=1，求f在D上沿u方向單調(diào)遞增.已知f(x,y)=ex+y+ex-y,x∈R,y∈R.請(qǐng)問f在{(x,y)∣x,y∈R}上沿向量(1,1)方向單調(diào)遞增嗎？為什么？(3)設(shè)二元函數(shù)f的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：0,y0)∈D，使得f(x0,y0)=M.那么，我們稱M是二元函數(shù)f的最小值.求f(x,y)=y+sin2x+cos2x,的最大值.f(x,y)在約束條件g(x,y)的可能極值點(diǎn)，首先構(gòu)造出一個(gè)拉格朗日輔助函數(shù)L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)，其中λ為拉格朗日系數(shù)．分別對(duì)L(x,y,λ)中的x,y,λ部分求導(dǎo)，并使之為0，得到三個(gè)方程組，如下：(x,y)g(x,y)的可能極值點(diǎn)．x,y的值代入到f(x,y)中即為極值.補(bǔ)充說明：【例】求函數(shù)f(x,y)=x2+xy+y2關(guān)于變量x的導(dǎo)數(shù)．即：將變量y當(dāng)做常數(shù)，即：fx(x,y)=2x+y，下標(biāo)加上x，代表對(duì)自變量x進(jìn)行求導(dǎo)．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的Lx,Ly,Lλ表示分別對(duì)x,y,λ進(jìn)行求導(dǎo).(1)求函數(shù)f(x,y)=x2y2+2xy+xy2關(guān)于變量y的導(dǎo)數(shù)并求當(dāng)x=1處的導(dǎo)數(shù)值.(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足g(x,y)=4x2+y2+xy-1=0，求f(x,y)=2x+y的最大值.(3)①若x,y,z為實(shí)數(shù)，且x+y+z=1，證明：x2+y2+z2≥②設(shè)a>b>c>0，求2a2+-10ac+25c2的最小值.【變式5-1】（2024·全國·模擬預(yù)變量z按照一定的規(guī)律f，總有唯一確定的x，y與之對(duì)應(yīng)，則稱變量z為變量x，y的二元函數(shù)，記作z=f(x,y)．已知二元函數(shù)=2x+y若xy>0，求f的最小值.(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式f(x,a)+f(x,2a)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【典例6-1】若兩個(gè)函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在x=x0處有相同的切線，則稱這兩個(gè)函數(shù)相切，切點(diǎn)為x0,f(x0)).(1)判斷函數(shù)y=sinx與y=x是否相切；兩個(gè)公共點(diǎn)；【典例6-2】對(duì)給定的在定義域內(nèi)連續(xù)且存在導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)f(x)，若對(duì)在f(x)定義域內(nèi)的給定常數(shù)a，存在數(shù)列{an}滿足a1在f(x)的定義域內(nèi)且a1>a，且對(duì)n≥2,n∈N*,y=f(x)在區(qū)間(a,an-1)的圖象上有且僅有在x=an一個(gè)點(diǎn)處的切線平行于(a,f(a))和(an-1,f(an-1))的連線，則稱數(shù)列{an}為函數(shù)f(x)的“a關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”.(1)若函數(shù)f(x)=x2，證明：a∈R,f(x)都存在“a關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”；公式；(3)若函數(shù)h(x)=mx3+6sinx，數(shù)列{【變式6-1】（2024·廣西·二模）定義：若函數(shù)f(x)圖象上恰好存在相異的兩點(diǎn)P,在P和Q處的切線重合，則稱P,Q為曲線y=f(x)的“雙重切點(diǎn)”，直線PQ為曲線y=f(x)的“雙重切直線y=x-是否為曲線x2-2x+2lnx的“雙重切線”，請(qǐng)說明理由；(3)已知函數(shù)h(x)=cosx，直線PQ為曲線y=h(x)的“雙重切線”，記直線PQ的斜率域上近似求解方程的方法．比如，我們可以先猜想某個(gè)方程f(x)=0的其中一個(gè)根r在x=x0的附近，如圖所示，然后在點(diǎn)(x0,f(x0))處作f(x)的切線，切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是x1，用x1代替x0重復(fù)上面的過程得到x2；一直繼續(xù)下去，得到x0，x1，x2，……，xn．從圖形上我們可以看到x1較x0接近r，x2較x1接近r，等等．顯然，它們會(huì)越來越逼近r．于是，求r近似解的過程轉(zhuǎn)化為求xn，若設(shè)精度為ε，則把首次滿足xn-xn-1<ε的xn稱為r的近似解．(1)當(dāng)a=1時(shí)，試用牛頓迭代法求方程f(x)=0滿足精度ε=0.5的近似解（取x0=-1，且結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后第二位(2)若f(x)-x3+x2lnx≥0，求a的取值范圍．【典例7-1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）極值的廣義定義如下：如果一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)的的開區(qū)間）內(nèi)處處都有確定的值，而以該點(diǎn)處的值為最大（小這函數(shù)在該點(diǎn)處的值就是一個(gè)極大（?。┲?對(duì)于函數(shù)y=f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0+Δx，當(dāng)Δx>0，是一個(gè)確定的值，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處右可導(dǎo)；當(dāng)Δx<0，是一個(gè)確定的值，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處左可導(dǎo).當(dāng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處既右可導(dǎo)也左可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)值相等，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo).(1)請(qǐng)舉出一個(gè)例子，說明該函數(shù)在某點(diǎn)處不可導(dǎo)，但是該點(diǎn)是該函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)已知函數(shù)f(x)=x2eax+1-x3sinx-ex2.(ⅰ)求函數(shù)g(x)=eax+1-xsinx-e在x=0處的切線方程；(ⅱ)若x=0為f(x)的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍.f(x1)=f(x2)，且f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))處的切線斜率相同，則稱f(x)為“切合函數(shù)”(1)證明：f(x)=x3-2x為“切合函數(shù)”；(2)若g(x)=xlnx-x2+ax為“切合函數(shù)”，并設(shè)滿足條件的兩個(gè)數(shù)為x1,x2.2n-1恒成立，則稱函數(shù)y=f(x),x∈D是“絕對(duì)差有界函數(shù)”x1-x2f(x1)-fx1-x2恒成立，求證：函數(shù)y=f(x),x∈[a,b]為“絕對(duì)差有界函數(shù)”數(shù)y=f(x)滿足以下①②兩個(gè)性質(zhì)中的任意一個(gè)時(shí)，則稱區(qū)間I是y=f(x)的一個(gè)“美好區(qū)間”.性質(zhì)①：對(duì)于任意x∈I，都有f(x0)∈I；性質(zhì)②：對(duì)于任意x∈I，都有f(x0)∈I.說明理由；已知fx3-x2-3x+12且m>0，若區(qū)間[0,m]是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)“美好區(qū)間”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且對(duì)于任意a<b，都有f(a)-f(b)>b-a．求證：函數(shù)y=f(x)存在“美好區(qū)間”，且存在x0∈R，使得x0不屬于函數(shù)y=f(x)的任意一個(gè)“美好區(qū)間”.x0∈R，滿足f(x0)=g(x0)且f,(x0)=g,(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”.（1）證明：函數(shù)f(x)=x與g(x)=x2+2x-2（2）若函數(shù)f(x)=ax2-1與g(x)=lnx存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值.【典例8-2】對(duì)于函數(shù)f（x若存在實(shí)數(shù)x0滿足f(x0)=x0，則稱x0為函數(shù)f（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)（ii）若存在x0既是f（x）的極值點(diǎn)，又是f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，求b的值：(2)若f（x）有兩個(gè)相異的極值點(diǎn)x1，x2，試問：是否存在a，b使得x1，x2均為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)？證明你的結(jié)論.【變式8-1】記y=f,(x)，y=g,(x)分別為函數(shù)y=f(x)，y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)．若存在x0∈R，滿足f(x0)=g(x0)且f,(x0)=g,(x0)，則稱x0為函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的一個(gè)“好點(diǎn)”.(1)判斷函數(shù)f(x)=x與g(x)=x2-x+1是否存在“好點(diǎn)”，若存在，求出“好點(diǎn)”；若不存在，請(qǐng)說明珵由；(2)若函數(shù)f(x)=ax3-1與g(x)=lnx存在“好點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值；【變式8-2】給出定義：設(shè)f,(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f,,(x)是函數(shù)f,(x)的導(dǎo)函數(shù)，若方程f,,(x)=0有實(shí)數(shù)解x=x0，則稱(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)y=f(x)圖象的對(duì)稱中心.(1)若函數(shù)f(x)=x3+3x2-9x-1，求函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心；<x2)，求證：0<x1<<x2.【變式8-3】（2024·河南·三模）設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f,(x),f,(x)的導(dǎo)函數(shù)為f,,(x),f,,(x)的導(dǎo)函數(shù)為f,(x).若f,,(x0)=0，且f,(x0)≠0，則(x0,f(x0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn).(1)判斷曲線y=x6是否有拐點(diǎn)，并說明理由；(2)已知函數(shù)=ax5-5x3，若為曲線y=f(x)的一個(gè)拐點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.【典例9-1】定義：函數(shù)m(x)，n(x)的定義域的交集為D，A≤D，若對(duì)任意的x0∈A，都存在x1,x2∈D，使得x1，x0，x2成等比數(shù)列，m(x1)，n(x0)，m(x2)成等差數(shù)列，那么我們稱m(x)，n(x)為一對(duì)“K函(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；求證：f【典例9-2】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）如果h(x)是定義在區(qū)間D上的函數(shù)，且同時(shí)滿足：①h,(x)h(x)>0；②h,(x)與h(x)的單調(diào)性相同，則稱函數(shù)h(x)在區(qū)間D上是“鏈?zhǔn)胶瘮?shù)”.已知函數(shù)=ex--x-1，（1）判斷函數(shù)f(x)與g(x)在(0,+∞)上是否是“鏈?zhǔn)胶瘮?shù)”，并說明理由；xf(s+t)>f(s)+f(t)恒成立，則稱函數(shù)y=f(x)為“Σ增函數(shù)”.(1)求證：函數(shù)y=sinx不是“Σ增函數(shù)”；(2)若函數(shù)y=2x-1-x-a是“Σ增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)g(x)=exln(1+x)，若曲線y=g(x)在x=x0處的切線方程為(1)若f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)定義：若f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且f(x)+g(x)在其定義域內(nèi)也單調(diào)遞增，則稱g(x)為f(x)的“協(xié)同增函數(shù)”.已知函數(shù)g(x)=4x3-18ax2+12(2-a)x，若g(x)是f(x)的“協(xié)同增函數(shù)”，求a的取值范圍.|f(x)-l0(x)|，則稱l0(x)為函數(shù)f(x)在x∈[a,b]上“最接近”直線．已知函數(shù)222024·高三·浙江寧波·期末）在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C：y=f(x)上的曲線段，其弧長(zhǎng)為Δs，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段AB運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線lA也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線lB，記這兩條切線之間的夾角為Δθ（它等于lB的傾斜角與lA的傾斜角之差顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即Δs越小，K就越能精確刻畫曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義若極限存在）為曲線C在點(diǎn)A處的曲率其中yy分別表示y=f(x)在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）(1)求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；(2)求橢圓+y2=1在處的曲率；為曲線y=f(x)的“柯西曲率”．已知在曲線f(x)=xlnx-2x上存在兩點(diǎn)x23Px1,f(x1))和Q(x2,f(x2))，且P，Q處的“柯西曲率”相同，求+x23的取值范圍.線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若f,(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，(2)求余弦曲線h(x)=cosx(x∈R)曲率K2的最大值；4．已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f,(x)，若f,(x)≤1對(duì)任意x∈R恒成立，則稱函數(shù)f(x)為“線性控制函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)f(x)=sinx和g(x)=ex是否為“線性控制函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)f(x)為“線性控制函數(shù)”，且f(x)在R上嚴(yán)格增，設(shè)A、B為函數(shù)f(x)圖像上互異的兩點(diǎn)，設(shè)直線AB的斜率為k，判斷命題“0<k≤1”的真假，并說明理由；(3)若函數(shù)f(x)為“線性控制函數(shù)”，且f(x)是以T(T>0)為周期的周期函數(shù)，證明：對(duì)任意x1,x2都有f(x1)-f(x2)≤T.f(x1)-f(x2)≤(x1+1)k-(x2+1)k，則稱函數(shù)y=f(x)為L(zhǎng)(k)函數(shù).(0,1)上僅存在一個(gè)極值點(diǎn)，分別記f(x)max、f(x)min為函數(shù)y=f(x)的最大、小值，求f(x)max-f(x)min的取值范圍；g(x)-g(y)≤M，記M的最小值為M(a)，求a的取值范圍及M(a)關(guān)于a的表達(dá)式.62024·上海奉賢·二模）設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是R，它使得f(x+m)=-f,(x)對(duì)一切x恒成立，那么稱函數(shù)y=f(x)具有性質(zhì)P(m).(1)求證：函數(shù)y=ex不具有性質(zhì)P(m)；(2)判別函數(shù)y=sinx是否具有性質(zhì)P(m)．若具有求出m的取值集合；若不具有請(qǐng)說明理由.(2)設(shè)定義在I上的函數(shù)y=h(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為y=l(x)，對(duì)任意x≠x0，若所有“好點(diǎn)”的橫坐標(biāo)（結(jié)果用k表示）.8．對(duì)于定義在D上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f,(x)．若存在k∈D，使得f,(k)=f(k)，且x=k是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則稱函數(shù)f(x)為“極致k函數(shù)”.①若f(x)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：函數(shù)f(x)不是“極致0函數(shù)”.9．曲線的曲率定義如下：若f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f"(x)是f'(x)的導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x,f(x))處的曲率已知函數(shù)f(x)=excosx，g(x)=acosx+x(a<0)，曲線點(diǎn)(0,g(0))處的曲率為4（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（3）設(shè)方程f(x)=g,(x)在區(qū)間內(nèi)的根從小到大依次為x1,x2,…,xn,…，求證：xn+1-xn>2π.102024·湖南永州·三模）曲線的曲率定義如下：若f’(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，令φ(x)=f’(x)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x,f(x))處的曲率已知函數(shù)且f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的曲率.2112024·江蘇淮安·三模）定義可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在x處的彈性函數(shù)為，其中f’為f的導(dǎo)函數(shù)．在區(qū)間D上，若函數(shù)f(x)的彈性函數(shù)值大于1，則稱f(x)在區(qū)間D上具有彈性，相應(yīng)的區(qū)間D也稱作f(x)的彈性區(qū)間.（1）若r(x)=ex-x+1，求r(x)的彈性函數(shù)及彈性函數(shù)的零點(diǎn)；（2）對(duì)于函數(shù)f(x)=(x-1)ex+lnx-tx（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）f(x)的彈性區(qū)間D；(ⅱ)若f(x)>1在（i）中的區(qū)間D上恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.（1）求函數(shù)f(x)的圖象在x=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線方程；（2）若對(duì)任意的x∈D，均有m(x)≤n(x)，則稱m(x)為n(x)在區(qū)間D上的下界函數(shù)，n(x)為m(x)在區(qū)間D上的上界函數(shù).,求證：g為f在上的上界函數(shù)；為f在上的下界函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.132024·高三·全國·課后作業(yè)）設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(1，+∞)上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x).如果存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)h(x)，其中h(x)對(duì)任意的x∈(1，+∞)都有h(x)>0，使得f'(x)=h(x)(x2-ax+1)，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a).(1)設(shè)函數(shù)=lnx+，其中b為實(shí)數(shù).①求證：函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a).②求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2)，給定x1，x2∈(1，+∞)，x1<x2.設(shè)m為實(shí)數(shù)，(1-m)x2,β=(1-m)x2+mx2，且α>1,β>1.若g(α)-g(β)<g(x1)-g(x2),求實(shí)數(shù)m的取值范圍x（2）設(shè)y=t(x)可求導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)函數(shù)t'(x)仍可求導(dǎo)數(shù)，則t'(x)再次求導(dǎo)所得函數(shù)稱為原函數(shù)y=t(x)的二階函數(shù)，記為t''(x)，利用二階導(dǎo)函數(shù)可以判斷一個(gè)函數(shù)的凹凸性．一個(gè)二階可導(dǎo)的函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是凸函數(shù)的充要條件是這個(gè)函數(shù)在(a,b)的二階導(dǎo)函數(shù)非負(fù).若不是凸函數(shù)，求a的取值范圍.15．已知函數(shù)f(x)=x2-(a+2)x+alnx，其中實(shí)數(shù)a>0.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h(x)在點(diǎn)P(x0,h(x0))處的切線的方程為y=g(x)，0在D內(nèi)恒成立，則稱P為y=h(x)的“類對(duì)稱點(diǎn)”當(dāng)a=4時(shí)，試問y=f(x)是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”？若存在，請(qǐng)至少求出一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.16．曲率是曲線的重要性質(zhì)，表征了曲線的“彎曲程度”，曲線曲率解釋為曲線某點(diǎn)切線方向?qū)￠L(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)f,為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f,,(x)為f,(x)的導(dǎo)函數(shù)，已知f=x2lnx-(1)a=0時(shí)，求f(x)在極值點(diǎn)處的曲率；(2)a>0時(shí)，f,(x)是否存在極值點(diǎn)，如存在，求出其極值點(diǎn)處的曲率； x12xe17．用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇，衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若f,(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f,,(x)是f,(x)的導(dǎo)函數(shù)，(2)求余弦曲線h(x)=cosx(x∈R)曲率K2的最大(3)余弦曲線h(x)=cosx(x∈R)，若g(x)=exh(x)+xh,(x)，判斷g(x)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)出證明過程.18．對(duì)于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)．定義：①f(x)的導(dǎo)數(shù)為f,(x)，f,(x)的導(dǎo)數(shù)為f,,(x)，若方程f,,(x)=0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”；②設(shè)x0為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y=f(x)對(duì)于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，都有f(x0+x)+f(x0-x)=2f(x0)恒成立，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(x0,f(x0))對(duì)稱.(1)已知f(x)=x3-3x2+2x+2，求函數(shù)f(x)的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo)；(2)檢驗(yàn)（1）中的函數(shù)f(x)的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)”A對(duì)稱.19．一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上成n個(gè)小區(qū)間．每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為Δx(Δx=xi-xi-1)．在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)ξi(i=1,2,…,n)作和數(shù)S，那么稱該常數(shù)S為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記為S=dx．當(dāng)f≥0時(shí)，定積分 的幾何意義表示由曲線y=f(x)，兩條直線x=a,x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積．如下圖如果函數(shù)f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F,，那么dx=F求(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1),g(x)=x.f,(x)(x≥0).①若f(x)≥mg(