胡不歸-阿氏圓問題-5.31

胡不歸-阿氏圓問題問題概述問題概述已知定點(diǎn)A、B，要求找一點(diǎn)P，使aPA+PB值最小(a為大于0且不為1的常數(shù))；點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)型稱為“胡不歸”問題，點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)型稱為“阿氏圓”問題.方法原理方法原理1.兩點(diǎn)之間，線段最短；2.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；3.垂線段最短；解題思路解題思路構(gòu)造出新的線段，使其等于aPA；構(gòu)造方法：1.作∠α，使sinα=a；一般a=、和時(shí)，作相應(yīng)30°、45°和60°角，構(gòu)造出特殊直角三角形；2.構(gòu)造三角形與已知三角形相似，借助相似比將aPA轉(zhuǎn)化；注意：一般系數(shù)a滿足0＜a＜1時(shí)直接構(gòu)造；a＞1時(shí)需要先提取系數(shù)，如PA+2PB=2（PA+PB），PA+PB=（PA+PB）.一．胡不歸問題1.構(gòu)造含特殊角的直角三角形，將“aPA”轉(zhuǎn)化已知：如圖，A為直線l上一點(diǎn)，B為直線外一點(diǎn)；要求：在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB最小.【分析】利用sin30°=構(gòu)造出PH=PA，當(dāng)B、P和H共線時(shí)，PH+PB取得最小值BH，又當(dāng)BH⊥AH時(shí)，BH取得最小值【解答】過點(diǎn)A作射線AM，使∠A=30°（B、M位于l異側(cè)），過點(diǎn)B作BH⊥AM于H，交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求，此時(shí)PA+PB最小，最小值即為線段BH的長(zhǎng).【小結(jié)】1.構(gòu)造方法可總結(jié)為：一作角，二作垂線；2.系數(shù)a為、時(shí)，作45°和60°角.典型例題1-1（1）如圖1，直線y=x-3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為_________時(shí)，PA+PB取得最小值，最小值為__________；（2）如圖2，直線y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為________時(shí)，2PA+2PB取得最小值，最小值為_________.圖1圖2【分析】（1）根據(jù)模型構(gòu)造出PA找出P點(diǎn)，借助含30°角的直角三角形解出OP長(zhǎng)和BH長(zhǎng)，從而求出P點(diǎn)坐標(biāo)和PA+PB的最小值；（2）2PA+2PB=2（PA+PB），與（1）類似的方法求解.【解答】（1）如圖，過點(diǎn)A作射線AC，與y軸正半軸交于點(diǎn)使∠OAC=30°，過點(diǎn)B作BH⊥AC于H，交x軸于P，則PH=PA，此時(shí)12PA+PB取得最小值，即為BH長(zhǎng)；已知∠OBP=30°，∴OP==,則P（，0）又OC==，∴BC=3+，∴BH=BC=，即12PA+PB的最小值為；（2）如圖，過點(diǎn)B作射線BC，與x軸的正半軸交于點(diǎn)C，使∠OBC=45°，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)2PA+2PB取得最小值，∵∠BCO=45°，∴AH=22AC=2∴2PA+2PB=2AH=42，時(shí)，2PA+2PB取得最小值4.【小結(jié)】1.作角時(shí)，以定點(diǎn)、定邊向“異側(cè)”作射線；2.（2）中提取系數(shù)2之后，答案的最小值不要忘記乘2.典型例題1-2如圖，P為正方形ABCD對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，AB＝2，則AP＋BP＋CP的最小值為（）A．＋B．＋C．4D．3【分析】由于AP=CP，AP＋BP＋CP=2AP+BP=2（PA+PB），從而轉(zhuǎn)化為胡不歸模型，結(jié)合特殊直角三角形和等面積法可解出該最小值.【解答】∵正方形ABCD為軸對(duì)稱圖形，∴AP=PC，∴AP+BP+CP=2AP+BP=2（PA+PB），∴即求PA+PB的最小值，連接AE，作∠DBE=30°，交AC于E，過A作AF⊥BE，垂足為F，在Rt△PBF中，∵∠PBF=30°，∴PF=PB，∴PA+PB的最小值即為AF長(zhǎng)，易得∠PAO=30°，∴OP==，AP=2OP=，BP=OB-OP=-，∴PF=BP=-，∴AP+PF=，AP+BP+CP的最小值為＋，故選B.【小結(jié)】1.求解AF也可放到△ABE中，用等面積法計(jì)算；2.點(diǎn)P為△ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”，感興趣的讀者可查閱相關(guān)資料.變式訓(xùn)練1-1如圖，一條筆直的公路l穿過草原，公路邊有一消防站A，距離公路5千米的地方有一居民點(diǎn)B，A、B的直線距離是13千米.一天，居民點(diǎn)B著火，消防員受命欲前往救火，若消防車在公路上的最快速度是80千米/小時(shí)，而在草地上的最快速度是40千米/小時(shí)，則消防車在出發(fā)后最快經(jīng)小時(shí)可到達(dá)居民點(diǎn)B.(消防車可從公路的任意位置進(jìn)入草地行駛)變式訓(xùn)練1-2如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，BC＝6，∠ABC＝150°，則線段AP＋BP＋PD的最小值為___________2.構(gòu)造相似三角形，借助相似比將“aPA”轉(zhuǎn)化典型例題2-1如圖，△ABC在直角坐標(biāo)系中，AB=AC，A（0，），C（1，0），D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為線段AD、DC，點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)速度是在CD上的3倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為_______【分析】設(shè)CD上速度為v，AD上速度為3v，則全程時(shí)間t==，當(dāng)AD+CD最小時(shí)，總時(shí)間最少；分析條件知CO=AC，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，構(gòu)造△ADH和△ACO相似，則DH=AD，又CD=BD，則需DH+BD最小，此時(shí)B、D、H共線且BH⊥AC，借助相似易得點(diǎn)D坐標(biāo).【解答】如圖，作DH⊥AC于點(diǎn)H，交AO于D，此時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，易證△BOD∽△AOC，則=，∴OD=OC=，∴D（0，）【小結(jié)】1.首先表示出時(shí)間和各段路程的關(guān)系；2.找出圖中含有兩邊之比等于系數(shù)a的三角形；3.構(gòu)造相似三角形求解.變式訓(xùn)練2-1如圖，拋物線y=﹣x2+x+3與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q．（1）求直線BD的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l交BD于點(diǎn)M，當(dāng)△DQB面積最大時(shí)，在x軸上找一點(diǎn)E，使QE+EB的值最小，求E的坐標(biāo)和最小值．二．阿氏圓問題一般構(gòu)造“子母”型相似三角形，借助相似比將“aPA”轉(zhuǎn)化典型例題3-1如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D為直角邊AC上一點(diǎn)，且CD=2，將CD繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜90°），D'為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接AD'和BD'，則AD'+BD'的最小值是________.【分析】D'在以C為圓心，半徑為2的圓弧上運(yùn)動(dòng)，△CD'B中，CD'=BC，據(jù)此在CB上截取CF=CD'=1，構(gòu)造△CFD'∽△CD'B，將BD'轉(zhuǎn)化為D'F，即求AD'+D'F的最小值，A、D'、F共線時(shí)其值最小，由勾股定理易求該值.【解答】在線段CB上截取CF=CD'=1，∴，又∵∠FCD'=∠D'CB，∴△CFD'∽△CD'B，∴,即D'F=BD'，要使AD'+BD'最小，則需AD'+D'F最小，此時(shí)A、D'、F三點(diǎn)共線，AD'+D'F的最小值即為AF長(zhǎng)，在Rt△ACF中，AF===，即AD'+BD'的最小值是.變式訓(xùn)練3-1如圖1，拋物線y=ax2﹣6ax+6（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（8，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜8），過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．（1）分別求出直線AB和拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）設(shè)△PMN的面積為S1，△AEN的面積為S2，若S1：S2=36：25，求m的值．（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B．①在x軸上找一點(diǎn)Q，使△OQE′∽△OE′A，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．②求BE′+AE′的最小值.變式訓(xùn)練3-2在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0），B（4，0），C（0，4），D（3，2），P是△AOC外部的第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠CPA﹦135°，則2PD﹢PB的最小值是．中考真題中考真題1.如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，AB=8cm，∠A=30°，點(diǎn)D是弦AC上的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C沿CA以2cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，再沿DO以1cm/s的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的時(shí)間為t，則t的最小值是s．2.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（0，-）、C（2，0），其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D。求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；P為y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，的最小值為_____，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為_____M（s，t）為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)N有個(gè)；3.如圖，在△ACE中，CA=CE，CAE=30°，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上。（1）試說明CE是⊙O的切線。（2）若△ACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB;（3）設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD，當(dāng)CD+OD的最小值為6時(shí)，求⊙O的AB的長(zhǎng)。4.如圖，拋物線y=（x+2）（x﹣4）（k為常數(shù)，且k＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線y=﹣x+b與拋物線的另一交點(diǎn)為D．（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣5，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？5.如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B（4，0）、C（0，3），點(diǎn)A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，AM⊥BC于點(diǎn)M交y軸于點(diǎn)N，滿足4CN=5ON．已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）連接AC，點(diǎn)D在線段BC上方的拋物線上，連接DC、DB，若△BCD和△ABC面積滿足S△BCD=35S△ABC（3）如圖2，E為OB中點(diǎn)，設(shè)F為線段BC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接EF．一動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)，沿線段EF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿著線段FC以每秒536.已知拋物線，與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D。（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為。（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。（3）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接BE，一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E，再沿線段ED以每秒個(gè)單位運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，問當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為多少時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最少？7.如圖1，拋物線y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜4），過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為C1，△AEN的周長(zhǎng)為C2，若＝，求m的値；（3）如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α＜90°)，連接E′A、E′B，求E′A＋EQ\F(2,3)E′B的最小值．圖1圖2圖1圖2胡不歸--阿氏圓問題變式訓(xùn)練1-112+5380.提示：求180180PA+140PB=140變式訓(xùn)練1-262.提示：PA+PB+PD=PA+2PB=2(12變式訓(xùn)練2-1解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-x2+x+3=0，解得x1=6，x2=﹣1，∴A（﹣1，0）、B（6，0），當(dāng)x=0時(shí)，y=3，則C（0，3）．∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)D為（0，﹣3）．設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，將D（0，﹣3）和B（6，0）分別代入得，解得：k=，b=﹣3，∴直線BD的解析式為y=x﹣3．（2）設(shè)P（m，0），則Q（m，-m2+m+3）M（m，m﹣3）．△QBD的面積=QM?QB=×6（-m2+m+3﹣m+3）=﹣（m﹣2）2+24，∴當(dāng)m=2時(shí)，△QBD的面積有最大值，此時(shí)Q（2，6）．如圖1所示：過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F．在Rt△OBD中，OB=6，OD=3，則BD=3，∴tan∠EBF=tan∠OBD=．∴EF=BE．∴QE+EB=QE+EF．∴當(dāng)點(diǎn)Q、E、F在一條直線上時(shí)，QE+EB有最小值．過點(diǎn)Q作QF′⊥BC，垂足為F′，QF′交OB與點(diǎn)E′．設(shè)QF′的解析式為y=﹣2x+b，將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入得：﹣4+b=6，解得b=10，∴QF′的解析式為y=﹣2x+10．與y=x﹣3聯(lián)立解得F（，-），當(dāng)y=0時(shí)，x=5，∴點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（5，0）．即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，0）時(shí)QE+EB有最小值．最小值=QF=．變式訓(xùn)練3-1解：（1）把點(diǎn)A（8，0）代入拋物線y=ax2﹣6ax+6，得64a﹣48a+6=0，∴a=﹣，∴y=﹣x2+x+6與y軸交點(diǎn)，令x=0，得y=6，∴B（0，6）．設(shè)AB為y=kx+b，將A（8，0），B（0，6）代入得，∴，解得：，∴直線AB的解析式為y=﹣x+6，（2）∵E（m，0），∴N（m，﹣m+6），P（m，﹣m2+m+6）．∵PE∥OB，∴△ANE∽△ABO，∴，∴，解得：AN=，∵PM⊥AB，∴∠PMN=∠NEA=90°．又∵∠PNM=∠ANE，∴△NMP∽△NEA．∵，∴，∴PM=AN==12﹣m．又∵PM=﹣m2+m+6﹣6+m=﹣m2+3m，∴12﹣m=﹣m2+3m，整理得：m2﹣12m+32=0，解得：m=4或m=8．∵0＜m＜8∴m=4.（3）①在（2）的條件下，m=4，∴E（4，0），設(shè)Q（d，0）．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OE′=OE=4，若△OQE′∽△OE′A．則．∵0°＜α＜90°，∴d＞0，∴，解得：d=2，∴Q（2，0）.②由①可知，當(dāng)Q為（2，0）時(shí)，△OQE′∽△OE′A，且相似比為，∴AE′=QE′，∴BE′+AE′=BE′+QE′，∴當(dāng)E′旋轉(zhuǎn)到BQ所在直線上時(shí)，BE′+QE′最小，即為BQ長(zhǎng)度，∵B（0，6），Q（2，0），∴BQ=，∴BE′+AE′的最小值為2．變式訓(xùn)練3-24.提示：2PD﹢PB=2（PD+PB），即求PD+PB的最小值；如圖，由∠CPA﹦135°知，點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的劣弧AC上運(yùn)動(dòng)，取OA的中點(diǎn)M，易知△OMP∽△OPB，則PM=PB，則PD+PB=PD+PM，當(dāng)點(diǎn)P為DM與弧AC的交點(diǎn)時(shí)，PD+PM取得最小值，即為DM長(zhǎng)，由兩點(diǎn)之間距離公式易得DM=2.中考真題1.2.解：當(dāng)DO⊥AB時(shí)，2OD+CD有最小值，即t有最小值，∵AB為⊙O的直徑，∴∠C=90°，∵∠A=30°，AB=8cm，∴AC=4cm，在Rt△AOD中，AD=2OD，∴t=，即t的最小值是2s．2.解：（1）由題意,解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣x﹣，∴頂點(diǎn)（，﹣）（2）如圖1中，連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此時(shí)PB+PD最小．理由：∵OA=1，OB=，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°∴PH=12PB，∴12PB+PD=PH+PD=DH，∴此時(shí)12PB+PD最短（垂線段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，∴sin60°=，∴DH=，∴PB+PD的最小值為；（3）以A為圓心AB為半徑畫弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，以B為圓心AB為半徑畫弧與對(duì)稱軸也有兩個(gè)交點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與對(duì)稱軸有一個(gè)交點(diǎn)，所以滿足條件的點(diǎn)M有5個(gè)，即滿足條件的點(diǎn)N也有5個(gè)，故答案為5．3.（1）連接OC，如圖1，∵CA=CE，∠CAE=30°∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切線；（2）過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，連接OC，如圖2，由題可得CH=h．在Rt△OHC中，CH=OC?sin∠COH，∴h=OC?sin60°=32∴OC=2h3=233(3)作OF平分∠AOC，交⊙O于F，連接AF、CF、DF，如圖3，則∠AOF=∠COF=12∠AOC=1∴由對(duì)稱性得DF=DO．過點(diǎn)D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴DH=DC?sin∠DCH=DC?sin30°=12∴12DH+FD（即12此時(shí)FH=OF?sin∠FOH=32則OF=43，AB=2OF=83．∴當(dāng)12CD+OD的最小值為6時(shí)，⊙O的直徑AB的長(zhǎng)為834.解：（1）拋物線y=（x+2）（x﹣4），令y=0，解得x=﹣2或x=4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直線y=﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)B（4，0），∴﹣×4+b=0，解得b=，∴直線BD解析式為：y=﹣x+．當(dāng)x=﹣5時(shí)，y=3，∴D（﹣5，3）．∵點(diǎn)D（﹣5，3）在拋物線y=（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，∴k=．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=（x+2）（x﹣4），即y=x2﹣x﹣．（2）由拋物線解析式，令x=0，得y=﹣k，∴C（0，﹣k），OC=k．因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．因此若兩個(gè)三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，則有∠BAC=∠PAB如答圖2﹣1所示．設(shè)P（x，y），過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，則ON=x，PN=y．tan∠BAC=tan∠PAB，即：=，∴y=x+k，∴P（x，x+k），代入拋物線解析式得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2（與點(diǎn)A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴=，即=，k=；②若△ABC∽△PAB，則有∠ABC=∠PAB，如答圖2﹣2所示．設(shè)P（x，y），過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，則ON=x，PN=y．tan∠ABC=tan∠PAB，，∴y=x+．∴P（x，x+），代入拋物線解析式y(tǒng)=（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+，整理得：x2﹣4x﹣12=0，解得：x=6或x=﹣2（與點(diǎn)A重合，舍去），∴P（6，2k）．∵△ABC∽△PAB，ABAP=CBAB，解得k=±，∵k＞0，∴k=，綜上，k=或k=．（3）方法一：如圖3，D（﹣5，3）過點(diǎn)D作DN⊥x軸于點(diǎn)N，則DN=3，ON=5，BN=4+5=9，∴tan∠DBA==，∴∠DBA=30°．過點(diǎn)D作DK∥x軸，則∠KDF=∠DBA=30°．過點(diǎn)F作FG⊥DK于點(diǎn)G，則FG=DF．由題意，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑為折線AF+DF，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=AF+DF，∴t=AF+FG，即運(yùn)動(dòng)的時(shí)間值等于折線AF+FG的長(zhǎng)度值．由垂線段最短可知，折線AF+FG的長(zhǎng)度的最小值為DK與x軸之間的垂線段．過點(diǎn)A作AH⊥DK于點(diǎn)H，則t最小=AH，AH與直線BD的交點(diǎn)，即為所求之F點(diǎn)．∵A點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣2，直線BD解析式為：y=﹣x+，∴y=﹣×（﹣2）+=2，∴F（﹣2，2）．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣2，2）時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少，方法二：作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直線BD于點(diǎn)F，∵∠DBA=30°，∴∠BDH=30°，∴FH=DF×sin30°=FD2，∴當(dāng)且僅當(dāng)AH⊥DK時(shí)，AF+FH最小，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)為：t==AF+FH，∵lBD：y=﹣x+，∴FX=AX=﹣2，∴F（﹣2，）．5.解：（1）∵C（0，3），∴OC=3，∵4CN=5ON，∴ON=43，∵∠OAN=∠NCM，∴△AON∽△COB，∴OAOC=ONOB，即OA3=434，解得OA=1，∴A（﹣1，0）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣4），把C（0，3）代入得a?1?（﹣4）=3，解得a=﹣34，∴拋物線解析式為y=﹣34（x+1）（x﹣4）=﹣（2）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，把C（0，3），B（4，0）代入得，解得，∴直線BC的解析式為y=﹣34x+3，作PQ∥y軸交BC于Q，如圖1，設(shè)P（x，﹣34x2+94x+3），則Q（x，﹣34x+3），DQ=﹣34x2+94x+3﹣（﹣34x+3）=﹣34x2+3x，∴S△BCD=S△CDQ+S△BDQ=12×4×（﹣34x2+3x）=﹣32x2+6x，∵S△BCD=35S△ABC，∴﹣32x2+6x=35×12×（4+1）×（3）點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用的最少時(shí)間為3秒，此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，32）．提示：即使得EF+35CF最小，過點(diǎn)C作CG∥AB，過點(diǎn)E作EH⊥CG于H，交BC于點(diǎn)F，此時(shí)△CFH∽△BCO，F(xiàn)H=6.解：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1），∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）、點(diǎn)B兩的坐標(biāo)為（1，0），∵直線y=﹣3x+b經(jīng)過點(diǎn)A，∴b=﹣33，∴y=﹣3x﹣33，當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣53，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣53），∵點(diǎn)D在拋物線上，∴a（2+3）（2﹣1）=﹣53，解得，a=﹣3，則拋物線的解析式為y=﹣3（x+3）（x﹣1）=﹣3x2﹣23x+33；（2）∵A的坐標(biāo)為（﹣3，0），C（0，33）∴直線AC的解析式為：y=3x+33，①∵△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，∴CP⊥AC，∴設(shè)直線CP的解析式為：y=﹣33x+m，把C（0，33）代入得m=33，∴直線CP的解析式為：y=﹣33x+33，解得或（不合題意，舍去），∴P（﹣53，3239）；②∵△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，∴AP⊥AC，∴設(shè)直線CP的解析式為：y=﹣33x+n，把A（﹣3，0）代入得n=﹣3，∴直線AP的解析式為：y=