重難點32 分式方程及其應(yīng)用

重難點32分式方程及其應(yīng)用第156天增根定義是密鑰1.增根是一個數(shù)學(xué)用語,其定義為在方程變形時,有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根.對于分式方程.(1)若該分式方程有增根,則增根為________.(2)在(1)的條件下,求出的值.解:(1)3或-3;(2)將方程等號兩邊同乘,得,當(dāng)時,;當(dāng)時,.故的值為或6.第157天方程無解易失解2.若關(guān)于的方程無解,求的值.解:核心是要了解方程無解的情況下,可以得出哪些信息,無解可是分兩種哦!由題意可知該方程的最簡公分母為去分母,整理得:,關(guān)于的方程無解,或,解得或,將代人,解得,將代人,解得,綜上所述,的值為或.第158天工程預(yù)算早謀劃3.某市為改善交通現(xiàn)狀,市政府決定修建地鐵,甲、乙兩工程隊承包地鐵1號線的某段修建工作,從投標(biāo)書中得知:甲隊單獨完成這項工程所需天數(shù)是乙隊單獨完成這項工程所需天數(shù)的3倍;若由甲隊先做20天,剩下的工程再由甲、乙兩隊合作10天完成.(1)甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天?(2)已知甲隊每天的施工費用為15.6萬元,乙隊每天的施工費用為18.4萬元,工程預(yù)算的施工費用為500萬元,為縮短工期,擬安排甲、乙兩隊同時開工合作完成這項工程，那么工程預(yù)算的施工費用是否夠用?若不夠用,需增加多少萬元?解:地鐵修建既要準(zhǔn)時完成,又要保證質(zhì)量,小鹿看了看,你們可以的,根據(jù)題目信息,你們就可以列出關(guān)于申、乙兩隊所盉天數(shù)的分式方程.(1)設(shè)乙隊單獨完成這項工程需天,則甲隊單獨完成這項工程需天,依題意,得,解得,經(jīng)檢驗,是原分式方程的根且符合題意.答:乙隊單獨完成這項工程需20天,甲隊單獨完成這項工程需60天;(2)設(shè)甲、乙兩隊合作完成這項工程需要天,則有,解得.需要的施工費用為萬元,工程預(yù)算的施工費用不夠用,需增加10萬元.數(shù)學(xué)家簡介朱世杰(1249年~1314年),元代數(shù)學(xué)家,字漢卿,號松庭.著有《算學(xué)啟蒙》3卷、《四元玉鑒》3卷.《算學(xué)啟蒙》是當(dāng)時一部較有影響的啟蒙數(shù)學(xué)書,曾流傳到日本和朝鮮.現(xiàn)存的《算學(xué)啟蒙》就是根據(jù)1660年朝鮮刻本于1839年翻刻的.他在數(shù)學(xué)上的重大成就有:高次方程組(最多可包括4個未知數(shù))的作法,高階等差級數(shù)求和、招差法等.第159天平地電梯的奧妙4.如圖(1)是某機(jī)場的平地電梯,電梯的長度為120米,如圖(2)所示,若兩人不乘電梯在地面勻速行走,小米每分鐘的路程是大米的倍,且分鐘后,小米比大米多行走30米.(1)求兩人在地面上每分鐘各行走多少米?(2)若兩人在平地電梯上行走,電梯向前行駛,兩人保持原來在地面上勻速行走的速度也同時在電梯上行走,當(dāng)小米到達(dá)處時,大米還剩米.(1)求平地電梯每分鐘行駛多少米?(2)當(dāng)小米到達(dá)處時,發(fā)現(xiàn)有一袋行李忘在處,此時的時間為7點55分,小米馬上從地面返回處,拿了行李后立即乘平地電梯同時行走)去處,問小米能否在8點前和大米匯合,并說明理由.解:根據(jù)題意,設(shè)大米每分鐘行走米,則小米每分鐘行走米,依題意得.,解得米.答:大米每分鐘行走40米,小米每分鐘行走60米;(2)(1)設(shè)平地電梯每分鐘行駛米,依題意得,解得,經(jīng)檢驗,是原分式方程的根且符合題意.答:平地電梯每分鐘行駛30米;(2)不能,理由如下(分鐘)，(分鐘,分鐘,設(shè)小米經(jīng)過分鐘可以追上大米,依題意得,解得,小米不能在8點前和大米匯合.第160天神奇的輸液過程5.輸液時間與輸液速率問題:靜脈輸液是用來給病人注射液體和藥品的.在醫(yī)院里,靜脈輸液是護(hù)士護(hù)理中最重要的一項工作,護(hù)士需要依據(jù)輸液速率,即每分鐘輸人多少滴液體,來計算輸完點滴注射液的時間(單位:分鐘).他們使用的公式是:,其中,是點滴注射液的容積,以毫升(mL)為單位,是點滴系數(shù),即每毫升(mL)液體的滴數(shù).(1)一瓶點滴注射液的容積為360毫升,點滴系數(shù)是每毫升25滴,如果輸完這瓶點滴注射液需要180分鐘,那么護(hù)士給病人注射的輸液速率為每分鐘多少滴?(2)如果遇到的病人年齡比較大時,護(hù)士會把輸液速率縮小為原來的,則在和保持不變的條件下，輸完這瓶點滴注射液的時間將會發(fā)生怎樣的變化?解:(1),,解得,經(jīng)檢驗,是原分式方程的根且符合題意,.答:護(hù)士給病人注射的輸液速率為每分鐘50滴;(2)設(shè)輸液速率每分鐘為滴,輸完點滴注射液的時間為分鐘,則,當(dāng)輸液速率縮小為每分鐘滴時,輸完點滴注射液的時間延長到分鐘,則.答:在和保持不變的條件下,縮小為原來的時,輸完這瓶點滴注射液的時間是原來的2倍.綜合強(qiáng)化練321.若關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)數(shù),則的取值范圍是()A.B.C.且D.且D【解析】原分式方程的解為非負(fù)數(shù),且且,解得且.2.(“希望杯”邀請賽試題)已知關(guān)于的分式方程有解,則字母的取值范圍是()A.或B.C.D.且D【解析】,去分母整理得原分式方程有解,且,解得且.3.若關(guān)于的分式方程的解為正數(shù),且關(guān)于的一元一次不等式組有解,則符合條件的所有整數(shù)的和為()A.1B.2C.3D.4【解析】解關(guān)于的分式方程得分式方程的解為正數(shù)且且,即且.解關(guān)于的不等式組得不等式組有解,,即.滿足且的所有整數(shù)解為.4.(“希望杯"邀請賽試題)已知關(guān)于的方程無解,求的值.解:方程無解是求值的關(guān)鍵.將分式方程去分母,整理得:,小鹿來了,想我了沒,還是那句話,無解一定分兩種情況，關(guān)于的方程無解，或,解得或,把代人中,得,把代人中,得,綜上所述,的值為或-2.5.1罐咖啡甲、乙兩人一起喝10天喝完,甲單獨喝則需12天喝完,1包茶葉甲、乙兩人一起喝12天喝完,乙單獨喝則需20天喝完,假如甲在有茶葉的情況下絕不喝咖啡,而乙在有咖啡的情況下絕不喝茶葉,問兩人一起喝完1包茶葉和1罐咖啡需要多少天?解:首先我們要知道甲、乙兩個小可愛單獨喝茶葉的時間,再去體會一起喝茶的快樂.設(shè)甲單獨喝完一包茶葉的時間為天,乙單獨喝完一罐咖啡的時間為天,根據(jù)題意列方程得,解得.,解得.因此30天后甲喝完茶葉,而乙只喝完咖啡的一半,故剩下的咖啡變成兩人一起喝,由題意可知,他們兩人還能喝(天).兩人用天才全部喝完.答:兩人一起喝完1包茶葉和1罐咖啡需要35天.6.某學(xué)校校門口有一個長為的長條形長方形電子顯示屏,學(xué)校的有關(guān)活動都會在“電子顯示屏”播出,由于各次活動的名稱不同,字?jǐn)?shù)也就不等,為了制作及顯示時方便美觀,負(fù)責(zé)播出的老師對有關(guān)數(shù)據(jù)作出了如下規(guī)定:若字?jǐn)?shù)在8個以下,邊空:字寬:字距;若字?jǐn)?shù)在8個以上(含8個),邊空:字寬:字距,如圖所示：(1)某次活動的字?jǐn)?shù)為9個,求字距是多少?(2)如果某次活動的字?jǐn)?shù)為,問字?jǐn)?shù)是多少個?解:(1)字?jǐn)?shù)在8個以上,邊空:字寬:字距,總長,總共9個字,可知總長度被分成了2個邊空,9個字寬,8個字距,則字距為.答:字距為.(2)設(shè)字?jǐn)?shù)為個,(1)字?jǐn)?shù)在8個以下,則,解得(不合題意,舍去)；(2)字?jǐn)?shù)在8個以上含8個,則,解得.經(jīng)檢驗,是原分式方程的解且符合題意.答:字?jǐn)?shù)是18個.7.某商場在一樓至二樓間安裝一自動扶梯,以均勻的速度向上行駛,一男孩與一女孩同時從自動扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛).如果將男孩與女孩都作為勻速運(yùn)動考慮,且男孩每分鐘走動的級數(shù)是女孩的兩倍,已知男孩走了27級到達(dá)扶梯頂部,而女孩走了18級到達(dá)頂部(設(shè)男孩、女孩每次只跨1級臺階).(1)扶梯露在外面的部分有多少級?(2)如果扶梯附近有一從二樓下到一樓的樓梯道,臺階的級數(shù)與扶梯的級數(shù)相等,兩人各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯,到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間的距離),則男孩第一次追上女孩時走了多少級臺階?解:小可愛們,有沒有上扶梯的時侯向上走的經(jīng)歷,有吧,我們一起來研究一下速度吧!根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程組.設(shè)女孩速度為級/分,電梯速度為級/分,樓梯露在外面的部分有級,則男孩速度為級/分.由題意得解得.答:扶梯露