高考練習(xí)：隨機事件的概率

1.事件的分類

必然在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的必然事

確定事件件

事件不可能在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的不可

事件能事件

隨機在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,叫做相對于條件S的隨機

事件事件

2.概率與頻率

(1)在相同的條件S下重復(fù)幾次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱〃次試

驗中事件4出現(xiàn)的次數(shù)以為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例啟4)=半

為事件A出現(xiàn)的頻率.

(2)對于給定的隨機事件A,由于事件A發(fā)生的頻率4A)隨著試驗次數(shù)的增

加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以用頻率啟(A)來估計概率P(A).

3.事件的關(guān)系與運算

定義符號表示

包含如果事件A發(fā)生，則事件3一定發(fā)生,這時稱事件8

關(guān)系包含事件4或稱事件A包含于事件B)(或

相等

若334且A38,那么稱事件4與事件8相等A=B

關(guān)系

并事件若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,則

(和事件)稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)（或A+B）

交事件若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,則4n8

(積事件)稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)（或AB）

互斥

若AC8為不可能事件,那么稱事件A與事件8互斥AA8=0

事件

對立若A08為不可能事件,AU8為必然事件,那么稱事AG8=0

事件件A與事件B互為對立事件且AU8=0

常用結(jié)論

概率的幾個基本性質(zhì)

(1)概率的取值范圍：OWP(A)<1.

(2)必然事件的概率：P(A)=1.

(3)不可能事件的概率：?(A)=0.

(4)概率的加法公式

如果事件事與事件8互斥，則P(AU3)=P(A)+P(B).

(5)對立事件的概率

若事件A與事件B互為對立事件，則AUB為必然事件.P(AUB)=1,P(A)

=1—P(8).

清易錯

一、思考辨析

判斷正誤(正確的打“,錯誤的打“X”)

(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.()

(2)隨機事件和隨機試驗是一回事.()

(3)在大量重復(fù)試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值.()

(4)兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生.()

(5)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件.()

⑹兩互斥事件的概率和為1.()

答案：⑴X(2)X⑶J(4)X(5)V(6)X

二、易錯糾偏

常見誤區(qū)I(1)混淆對立事件和互斥事件的概念而判斷錯誤；

(2)頻率與概率的關(guān)系理解不清致借.

1.袋中裝有3個白球，4個黑球，從中任取3個球，則

①恰有1個白球和全是白球；

②至少有1個白球和全是黑球；

③至少有1個白球和至少有2個白球；

④至少有1個白球和至少有1個黑球.

在上述事件中，是互斥事件但不是對立事件的為.

答案：①

2.李老師在某大學(xué)連續(xù)3年主講經(jīng)濟學(xué)院的高等數(shù)學(xué)，下表是李老師這門

課3年來的考試成績分布:

成績?nèi)藬?shù)

90分以上42

80?89分172

70?79分240

60~69分86

50?59分52

50分以下8

經(jīng)濟學(xué)院一年級的學(xué)生王小明下學(xué)期將選修李老師的高等數(shù)學(xué)課，用已有的

信息估計他得以下分?jǐn)?shù)的概率:

(1)90分以上的概率:

(2)不及格(60分及以上為及格)的概率:

4252+8

解析：(1石麗=007;⑵600=0.1.

答案：(1)0.07(2)0.1

3.從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事件4=｛抽到一等品｝,事件B=｛抽

到二等品｝,事件C=｛抽到三等品｝,且P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則

事件“抽到的不是一等品”的概率為.

解析：因為“抽到的不是一等品”的對立事件是“抽到的是一等品"，且P(A)

=0.65,所以“抽到的不是一等品”的概率為尸=1-P(A)=1-0.65=0.35.

答案：0.35

考點探究題型突破

考點n

隨機事件的關(guān)系(師生共研)

所從1,2,3,…，7這7個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中：

①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；

②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；

③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；

④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù).

上述事件中，是對立事件的是()

A.①B.②④

C.③D.①③

【解析】③中“至少有一個是奇數(shù)”即“兩個奇數(shù)或一奇一偶”，而從

1-7中任取兩個數(shù)，根據(jù)取到數(shù)的奇偶性可認(rèn)為共有三個事件：“兩個都是奇

數(shù)”“一奇一偶”“兩個都是偶數(shù)”，故“至少有一個是奇教”與“兩個都是偶

數(shù)”是對立事件，易知其余都不是對立事件.

【答案】C

惻管薪用

判斷互斥、對立事件的2種方法

(1)定義法

判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互

斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一

定是互斥事件.

(2)集合法

①由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥；

②事件A的對立事件不所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的

結(jié)果組成的集合的補集.

限蹤訓(xùn)練

1.設(shè)條件甲：”事件A與事件5是對立事件”，條件乙：“概率滿足尸(A)

+尸(3)=1"，則甲是乙的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選A.若事件A與事件8是對立事件，則AUB為必然事件，再由概

率的加法公式得P(A)+P(B)=1.設(shè)擲一枚硬幣3次，事件A:“至少出現(xiàn)一次

71

正面”，事件8:“3次都出現(xiàn)正面”，則尸(4)=d，P(8)=$,滿足P(4)+P(8)

oo

=1,但A,8不是對立事件.

2.一袋中裝有5個大小形狀完全相同的小球，其中紅球3個，白球2個，

從中任取2個小球，若事件“2個小球全是紅球”的概率為需，則概率為焉的事

件是()

A.恰有一個紅球B.兩個小球都是白球

C.至多有一個紅球D.至少有一個紅球

737

解析：選C.因為m=1一而，所以概率為正的事件是“2個小球全是紅球”

的對立事件，應(yīng)為：“一個紅球一個白球”與“兩個都是白球”的和事件，即為

“至多有一個紅球”.

考點2

隨機事件的頻率與概率(師生共研)

由某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元,

售價每瓶6元，未售出的酸％降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根

據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：C)有關(guān).如果最高氣溫不

低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量為300瓶；

如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了

前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表.

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為丫(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一

天的進(jìn)貨量為450瓶時，寫出y的所有可能值，并估計y大于零的概率.

【解】(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于

25,由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為236=06,所以這種酸奶

一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.

(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，

若最高氣溫不低于25,則7=6X450-4X450=900:

若最高氣溫位于區(qū)間［20,25),則Y=6X300+2(450—300)—4X450=300;

若最高氣溫低于20,則7=6X200+2(450-200)-4X450=-100.

所以，丫的所有可能值為900,300,-100.

y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20,由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20

的頻率為36+2^~7+4=Q8,因此丫大于零的概率的估計值為08

(1)頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一

個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率作

為隨機事件概率的估計值.

⑵利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗，事件發(fā)生

的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率.

跟蹤訓(xùn)練;電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表.

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評率0.40.20.150.250.20.1

好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四

類電影的概率；

(2)隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；

(3)電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的

好評率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電

影的好評率增加0.1,哪類電影的好評率減少0.1,使得獲得好評的電影總部數(shù)與

樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？(只需寫出結(jié)論)

解：(1)由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510

=2000,

第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200X0.25=50.

故所求概率為瑞^=0.025.

(2)由題意知，樣本中獲得好評的電影部數(shù)是

140X0.4+50X0.2+300X0.15+200X0.25+800X0.2+510X0.1=56+10

+45+50+160+51=372.

372

故所求概率估計為1—拈=0.814.

⑶增加第五類電影的好評率，減少第二類電影的好評率.

考點3

互斥事件、對立事件的概率(師生共研)

圓引某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得，1000張

獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.記1張獎券

中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為4B,C,求：

(1)1張獎券中獎的概率；

(2)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.

【解】(1)設(shè)“1張獎券中獎“為事件"，則M=AU3UC,依題意，P(A)

=1000'000="100,P(0=l000=而,因為='BfC兩兩互斥'

1+10+5061

所以P(M)=P(AU8U0=P(A)+P(3)+P(C)=1000=1000,

故1張獎券中獎的概率為了麗.

(2)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N,則事件N與“1張獎

券中特等獎或中一等獎”為對立事件，

所以P"1-P(AU砂=1一島5+忐/=翳?

故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為9瑞89江

畫陶陶用

求復(fù)雜互斥事件的概率的兩種方法

(1)直接法

府FI」根據(jù)題意將所求事件分解為一些彼此互斥的'

1.丁步月事件的和

利用有關(guān)概率計算公式分別計算這些彼此互,

巴十廠|斥的事件的概率

【第1步H運用互斥事件的概率加法公式計算所求概率:

(2)間接法(正難則反，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解簡單)

判斷事件4的概率計算是否適合用間接法、而

［第一步)-判斷的標(biāo)準(zhǔn)是正向思考時分類較多，而其對

一L立面的分類較少，此時應(yīng)用間接法

「第二?利用互斥事件或相互獨立事件的概率計算公

巴亍巴［式計算事件4的對立事件彳的概率

［第2步H運用公式PM)=1-p(彳)求解:

跟蹤訓(xùn)練

1.某人去開會，他乘火車、輪船、汽車、飛機去的概率分別為03,0.2,

0.1,0.4.則他乘火車或乘飛機去的概率為.

解析：設(shè)此人乘火車、輪船、汽車、飛機去開會分別用事件A,B,C,D

表示，則事件A,B,C,O是互斥事件，P(AUD)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7,

所以他乘火車或乘飛機去的概率為0.7.

答案：0.7

2.經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口排隊的人數(shù)相應(yīng)的概率如下.

排隊人數(shù)012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排隊等候的概率;

⑵至少3人排隊等候的概率.

解：記“無人排隊等候”為事件A,“1人排隊等候”為事件8,“2人排隊

等候”為事件C,“3人排隊等候”為事件O,“4人排隊等候”為事件E,“5人

及5人以上排隊等候”為事件尸，則事件A,B,C,D,E,尸彼此互斥.

(1)記“至多2人排隊等候”為事件G,則G=A+8+C,所以P(G)=P(A+

B+0=P(A)+P(B)+P(0=O.l+0.16+0.3=0.56.

(2)方法一：記“至少3人排隊等候“為事件//,則H=D+E+F,所以P(H)

=尸(。+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

方法二：記“至少3人排隊等候"為事件”，則其對立事件為事件G,所以

P(H)=1-P(G)=O.44.

每一

?知能提升?分層演練P

[A級基礎(chǔ)練]

1.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，事

件“至少有一名女生”與事件“全是男生”()

A.是互斥事件，不是對立事件

B.是對立事件，不是互斥事件

C.既是互斥事件，也是對立事件

D.既不是互斥事件也不是對立事件

解析：選C.“至少有一名女生”包括“一男一女”和“兩名女生”兩種情

況，這兩種情況再加上“全是男生”構(gòu)成全集，且不能同時發(fā)生，故“至少有一

名女生，，與“全是男生”既是互斥事件，也是對立事件.

2.把語文、數(shù)學(xué)、英語三本學(xué)習(xí)書隨機地分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人

一本，則事件4“甲分得語文書”，事件以“乙分得數(shù)學(xué)書”，事件C“丙

分得英語書”，則下列說法正確的是()

A.A與3是不可能事件

B.A+B+C是必然事件

C.A與8不是互斥事件

D.8與C既是互斥事件也是對立事件

解析：選C.“A,B,C”都是隨機事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故A,

B兩項錯誤；“4,B”可能同時發(fā)生，故與“5”不互斥,C項正確；與"

既不互斥，也不對立，D項錯誤.故選C.

3.若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)

金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為()

A.0.3B.0.4

C.0.6D.0.7

解析：選B.設(shè)“只用現(xiàn)金支付”為事件A,“既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支

付”為事件5,“不用現(xiàn)金支付”為事件C,則P(Q=1A)-P(B)=1-0.45

-0.15=0.4,故選B.

4.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試瞼，事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點”，

事件3表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”，若不表示8的對立事件，則一次試驗中，

事件AU7發(fā)生的概率為()

A.gB.；

C,3D,6

解析：選C.拋擲一枚微子的試驗有6種可能結(jié)果.

八”…21n42

依題意產(chǎn)(4)=5=§,P(8)=4=Q,

—21

所以P(B)=l-P(B)=l-§=§.

因為萬表示“出現(xiàn)5點或6點”的事件，

因此事件A與否互斥，

——112

從而P(AUB)=P(A)+P[8)=1+1=§.

5.設(shè)A與3是互斥事件，4,3的對立事件分別記為W,B,則下列說法

正確的是()

A.4與B互斥B.4與8互斥

C.P(A+B)=P(A)+P(8)D.P(彳+豆)=1

解析：選C.根據(jù)互斥事件的定義可知，A與萬，彳與否都有可能同時發(fā)生，

所以A與不互斥，了與耳互斥是不正確的；P(A+8)=P(A)+P(8)正確；了與否既

不一定互斥，也不一定對立，所以D錯誤.

6.中國乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽，甲

奪得冠軍的概率為右乙奪得冠軍的概率為"，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠

軍的概率為.

解析：由于事件“中國隊奪得女子乒乓球單打電軍”包括事件“甲奪得乳

軍”和“乙奪得冠軍”，但這兩個事件不可能同時發(fā)生，即彼此互斥，所以可按

互斥事件概率的加法公式進(jìn)行計算，即中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概■率為

3l=j9

7+4=28-

19

答案:28

7.某城市2019年的空氣質(zhì)量狀況如表所示，

污染指數(shù)73060100110130140

11\_721

概率P

而63301530

其中污染指數(shù)TW50時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50<T^100時，空氣質(zhì)量為良；

100<7(150時，空氣質(zhì)量為輕微污染.則該城市2019年空汽質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的

概率為.

1113

解析：由題意可知2019年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為〃=m+5+§=亍

答案：|3

8.口袋內(nèi)裝有一些除顏色不同之外其他均相同的紅球、白球和黑球，從中

摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28.若紅球有21個,

則黑球有.個.

解析：由題意知，摸出黑球的概率為1一0.42—0.28=0.3.設(shè)黑球有〃個，則

0.420.3口_

故”=15.

答案：15

9.某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點（指縱、橫直線

的交叉點以及二角形的頂點）處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)

驗，一株該種作物的年收獲量丫（單位：kg）與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)

Y51484542

頻數(shù)4

⑵在所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率.

解：⑴所種作物的總株數(shù)為1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株數(shù)為

1的作物有2株，“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，“相近”作物株數(shù)為3的

作物有6株，“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株，列表如下,

Y51484542

頻數(shù)2463

51X2+48X4+45X6+42X3690

所種作物的平均年收獲量為=46.

1515

24

（2）由⑴知,p（y=5i）=記，p（y=48）=/.

故在所種作物中隨機選取一株，它的年收獲量至少為48kg的概率為

242

P（Y248）=尸（Y=51）+P（y=48）=記+記=寧

10.某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量H單位：萬千瓦時）

與該河上游在六月份的降雨量x（單位：亳米）有關(guān).據(jù)統(tǒng)計，當(dāng)x=70時，r=

460；X每增加10,y增加5.已知近20年X的值為140,H0,160,70,200,

160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,

160.

(1)完成頻率分布表；

近20年六月份降雨量頻率分布表

降雨量70110140160200220

111

頻率

20510

（2）假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將

頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過

530萬千瓦時的概率.

解：（1）在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個,

為200毫米的有3個.故近20年六月份降雨量頻率分布表為

降雨量7011014016020()220

131731

頻率

202052020W

v

（2）由已知可得y^+425,

故P（“發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時”）

=P（y<490或E>530）=Pi：X<130或X>210）

=P（X=70）+P（X=110）+P（X=220）

1323

=m+指+布=布,故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490萬千瓦時

3

或超過530萬千瓦時的概率為正.

[B級綜合練]

11.某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中

每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下，

賠付金額(元)01000200030004000

車輛數(shù)500130100150120

(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；

(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車

輛中，車主是新司機的占20%,估計在己投保車輛中，新司機獲賠金額為4000

元的概率.

解：(1)設(shè)人表示事件“賠付金額為3000元”，2表子事件“賠付金額為4

000元”，以頻率估計概率得P(A)=/熟=0.15,P(8)==意=0.12.

1vUv1UvU

由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是賠付金額為

3000元和4000元，所以其概率為P(A)+P(8)=0.15+0.12=0.27.

(2)設(shè)。表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”，白已知，樣本車輛中

車主為新司機的有0.1XI000=100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主

為新司機的有0.2X120=24(輛)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000

24

元的頻率為而=0.24,由頻生估計概率得P(Q=0.24.

12.某超市為了了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收

集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示，

一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上

顧客數(shù)(人)X3025y10

結(jié)算時間

11.522.53

(分鐘/人)

已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.

(1)確定x,y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；

(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)

解：(1)由已知得25+y+10=55,

工+30=45,所以x=15,y=20.

該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，

所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為一個容量為100的簡單隨機

樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為

1X15+1.5X30+2X25+2.5X20+3X10、人

----------------麗---------------=1.9(分鐘).

(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”,Ai,A2分

別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2.5分鐘”“該顧客一次購物的結(jié)算

時間為3分鐘”，將頻率視為^率，得

201101