2019-2020學年江蘇省徐州市古邳中學高一數學下學期期中試題

PAGE江蘇省徐州市古邳中學2019-2020學年高一數學下學期期中試題一、選擇題（每小題5分，合計50分）1．若直線過點(,－3)和點(,－4),則該直線的方程為（）A．y＝x－4B.y＝x＋4C.y＝x－6D.y＝x＋22.不等式的解集為（）A.B.C.D.3．如果A(3,1)、B(－2,k)、C(8,11)在同一直線上，那么k的值是（）A.－6B.－7C.－8D.－94．下列四個命題中錯誤的是()A．若直線，b互相平行，則直線，b確定一個平面B．若四點不共面，則這四點中任意三點都不共線C．若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線D．兩條異面直線不可能垂直于同一個平面5.在△ABC中，＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情況是（）A．無解 B．一解 C． 二解 D．不能確定6．設m，n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個命題：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∥γ))?β∥γ；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,m∥α))?m⊥β；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m∥β))?α⊥β；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,n?α))?m∥α.其中正確的命題是()A．①④ B．②③C．①③ D．②④7.在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形8．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中點，則異面直線C1E與BC所成的角的余弦值是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(10),10)C.eq\f(\r(10),5)D.eq\f(2\r(2),3)9．已知b>>0且＋b=1，則有（）A．B．C．D．2＋b2＞b＞＞eq\f(1,2)＞2b10．三棱柱的側棱垂直于底面，且，，若該三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A．B．C．D．二、填空題（每小題5分，合計30分）.11．不等式的解集為___▲____.12．若圓錐的母線長是5，高是4，則該圓錐的體積是__▲____.13．過點，在軸上和軸上的截距分別是且滿足的直線方程為___▲____.14.若鈍角三角形三邊長分別是，則三角形的周長為__▲___.15．已知直線:,則恒過定點___▲____.16.在中，若，則的最小值為_▲_.三、解答題（10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分）17．(5分+5分)在直三棱柱中,,為棱上任一點.(1)求證：直線∥平面；(2)求證：平面⊥平面.18.(4分+8分)在銳角中，已知.(1)求的值；(2)若，，求的值.19.(6分+6分)如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且AD=DB，點C為圓O上一點，且BC=AC．點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD=DB．（1）求證：PA⊥CD；（2）求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．20．(4分+8分)直線過點且斜率為＞，將直線繞點按逆時針方向旋轉45°得直線，若直線和分別與軸交于，兩點．（1）用表示直線的斜率；（2）當為何值時，的面積最??？并求出面積最小時直線的方程．21．(4分+8分)如圖，公園里有一湖泊，其邊界由兩條線段AB，AC和以BC為直徑的半圓弧eq\o(BC,\s\up4(⌒))組成，其中AC為2百米，AC⊥BC，∠A為eq\f(π,3)．若在半圓弧eq\o(BC,\s\up4(⌒))，線段AC，線段AB上各建一個觀賞亭D，E，F(xiàn)，再修兩條棧道DE，DF，使DE∥AB，DF∥AC.記∠CBD＝θ（eq\s\do1(\f(π,3))≤θ＜eq\s\do1(\f(π,2))）．（1）試用θ表示BD的長；（2）試確定點E的位置，使兩條棧道長度之和最大.22.(6分+6分)已知函數,（1）若存在，使得不等式有解，求實數的取值范圍；（2）若函數滿足，若對任意且，不等式恒成立，求實數m的最大值．高一數學期中試卷答案2019.4一選擇題:ACDCBCDABC二、填空題:11.12.13.或；14.915.16.三、解答題:17.(1)證明:由直三棱柱,得………………2分………5分(2)因為三棱柱為直三棱柱,所以,又,而,,且,所以……………8分又,所以平面⊥平面…………………10分18.解：（1）因為銳角△ABC中，，所以又A＋B＋C＝，所以.……….4分（2），，即，……….6分將，，代入余弦定理：得：，……….11分即.………..12分19.解析：（1）連接OC，由AD=BD知，點D為AO的中點，又∵AB為圓的直徑，∴AC⊥BC，∵AC=BC，∴∠CAB=60°，∴△ACO為等邊三角形，∴CD⊥AO．……….2分∵點P在圓O所在平面上的正投影為點D，∴PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，∴PD⊥CD，PD∩AO=D，∴CD⊥平面PAB，PA?平面PAB，∴PA⊥CD．……….6分（2）過點D作DE⊥PB，垂足為E，連接CE，由（1）知CD⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，∴PB⊥平面CDE，又CE?平面CDE，∴CE⊥PB，∴∠DEC為二面角C﹣PB﹣A的平面角．……….9分設AB=4,則由（1）可知CD=，PD=BD=3，∴PB=3，則DE==，∴在Rt△CDE中，tan∠DEC==，∴cos∠DEC=，即二面角C﹣PB﹣A的余弦值為．……….12分20.解：(1)設直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為，………4分(2)直線的方程為，直線的方程為令，得，∴……….6分∵，∴≥………9分由得舍去，∴當時，的面積最小，最小值為，此時直線的方程是．………12分21.解：（1）連結DC．在△ABC中，AC為2百米，AC⊥BC，∠A為eq\f(π,3)，所以∠CBA＝eq\f(π,6)，AB＝4，BC＝2eq\r(3)．因為BC為直徑，所以∠BDC＝eq\f(π,2)，所以BD＝BCcosθ＝2eq\r(3)cosθ．……….4分（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋eq\f(π,6)，∠BFD＝eq\f(π,3)，BD＝2eq\r(3)cosθ，所以eq\f(DF,sin(θ＋eq\f(π,6)))＝eq\f(BF,sin(eq\f(π,2)－θ))＝eq\f(BD,sin∠BFD)，所以DF＝4cosθsin(eq\f(π,6)＋θ)，且BF＝4coseq\s\up4(2)θ，所以DE＝AF=4－4coseq\s\up4(2)θ，……….6分所以DE＋DF＝4－4coseq\s\up4(2)θ＋4cosθsin(eq\f(π,6)＋θ)=eq\r(3)sin2θ－cos2θ＋3＝2sin(2θ－eq\f(π,6))＋3．………8分因為eq\f(π,3)≤θ＜eq\f(π,2)，所以eq\f(π,2)≤2θ－eq\f(π,6)＜eq\f(5π,6)，所以當2θ－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即θ＝eq\f(π,3)時，DE＋DF有最大值5，此時E與C重合．………11分答