2025年教科新版高一數學下冊階段測試試卷

…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年教科新版高一數學下冊階段測試試卷595考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共9題，共18分)1、不等式的解集是（）A.B.C.D.2、【題文】已知且則函數與的圖象可能是（）

ABCD3、【題文】已知直線若圓上恰好存在兩個點它們到直線的距離為則稱該圓為“理想型”圓．則下列圓中是“理想型”圓的是（▲）A.B.C.D.4、已知函數f（x）=則f（﹣1）的值是（）A.-2B.-1C.0D.15、已知a=b=c=log2則（）A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.c＞b＞aD.b＞a＞c6、=()A.B.C.D.17、函數y=（x）的象與函數y=（）圖象關于直xy=0對稱，則y=f（x）反函是（）A.y=g（x）B.y=g（-x）C.y=-g（x）D.y=-g（-x）8、已知均為銳角，則cos2β=（）A.B.-1C.0D.19、已知點M（-1，6），N（3，2），則線段MN的垂直平分線方程為（）A.x-y-4=0B.x-y+3=0C.x+y-5=0D.x+4y-17=0評卷人得分二、填空題(共5題，共10分)10、定義在R上的奇函數y=f（x），已知y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）有3個零點，則函數y=f（x）在R上的零點個數為____．11、在等比數列{an}中，a1=1，an=-512，Sn=-341，則q=____．12、【題文】已知函數若關于的方程有三個不同的實根，則實數的取值范圍是____．13、對于任意x，[x]表示不超過x的最大整數，如[1.1]=1，[﹣2.1]=﹣3．定義R上的函數f（x）=[2x]+[4x]+[8x]，若A={y|y=f（x），0≤x≤1}，則A中所有元素的和為____．14、已知鈻?ABC

中，AB=6隆脧A=30鈭?隆脧B=120鈭?

則鈻?ABC

的面積為______．評卷人得分三、證明題(共7題，共14分)15、初中我們學過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據如圖，設計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．16、求證：（1）周長為21的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋．

（2）桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長是2l，不管線圈形狀如何，都可以被個半徑為的圓紙片所覆蓋．17、如圖，已知：D、E分別為△ABC的AB、AC邊上的點，DE∥BC，BE與CD交于點O，直線AO與BC邊交于M，與DE交于N，求證：BM=MC．18、如圖；過圓O外一點D作圓O的割線DBA，DE與圓O切于點E，交AO的延長線于F，AF交圓O于C，且AD⊥DE．

（1）求證：E為的中點；

（2）若CF=3，DE?EF=，求EF的長．19、如圖；已知AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求證：

（1）AD=AE

（2）PC?CE=PA?BE．20、初中我們學過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據如圖，設計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．21、已知D是銳角△ABC外接圓劣弧的中點；弦AD與邊BC相交于點E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．評卷人得分四、計算題(共2題，共16分)22、已知x、y均為實數，且滿足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，則x4+x3y+x2y2+xy3+y4=____．23、如圖，兩個等圓圓O1，O2外切，O1A、O1B分別與圓O2切于點A、B．設∠AO1B=α，若A（sinα，0），B（cosα，0）為拋物線y=x2+bx+c與x軸的兩個交點，則b=____，c=____．評卷人得分五、解答題(共2題，共4分)24、【題文】(本小題滿分6分)

如圖，在邊長為的菱形中，面分別是和的中點.

（1）求證：面

（2）求證：平面⊥平面

（3）求與平面所成的角的正切值.25、【題文】（本小題滿分15分）（文）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD//BC，BAD=PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M；N分別為PC、PB的中點.

（Ⅰ）求證：PB⊥DM；

（Ⅱ）求CD與平面ADMN所成角的余弦參考答案一、選擇題(共9題，共18分)1、B【分析】試題分析：故選B.考點：解含參量不等式.【解析】【答案】B2、B【分析】【解析】

試題分析：則函數與互為反函數。

故函數與的圖象關于對稱；所以選B．

考點：函數圖像．【解析】【答案】B3、D【分析】【解析】本題主要考查點到直線的距離公式根據公式解得四個選項中的圓到的距離分別為四個圓的半徑分別為1,4,1,4.所以與四個圓的關系為相離、相交、相離、相交。所以它們到直線距離為的點個數分別為0、4、0、2.所以選D?！窘馕觥俊敬鸢浮緿4、D【分析】【解答】解：∵函數f（x）=

∴f（﹣1）=f（2）=log22=1．

故選：D．

【分析】利用分段函數的性質即可得出．5、A【分析】【解答】解：a==＞1，b=∈（0，1），c=log2＜0；

∴a＞b＞c．

故選：A．

【分析】分別判斷a，b，c的取值范圍即可得到結論．6、A【分析】【解答】=故選A。

【分析】簡單題，應用k·360°+的誘導公式?！昂瘮得蛔儯柨聪笙蕖?。7、D【分析】解：Px；y）為y=f（x）反函數圖象的任意一；

P關于yx的對稱′（y；x一點在y=f（x）圖象上；

∴P′（y；x關于線+y=0對稱P″（-x，-）在y=g（x圖象；

∵函數y=（x）的圖象數y=g（x）的圖象于直線x+y對稱；

必y=g（-x）即y=-g（-x）

選：D

設Px；y）y=fx）的反函數圖象上的任意一點，P關于yx對稱點P，x）一在x）的圖象上，P′x）關直線x+y=0的對稱P″（-x，-y）在=g（）圖象上，代入解式變形可得．

本考查反函數的性質和對稱，檔題．【解析】【答案】D8、C【分析】解：∵均為銳角；

∴cosα==

∴sinαcosβ-cosαsinβ=cosβ-sinβ=-整理可得：cosβ-2sinβ=-

∴兩邊平方，整理可得：10sin2β-4sinβ-1=0；

∴解得：sinβ=或-（舍去）；

∴cos2β=1-2sin2β=1-2×（）2=0．

故選：C．

由已知利用同角三角函數基本關系式可求cosα的值，利用兩角差的正弦函數公式化簡可得cosβ-2sinβ=-

兩邊平方，整理可得：10sin2β-4sinβ-1=0；從而解得sinβ，利用二倍角的余弦函數公式即可計算得解．

本題主要考查了同角三角函數基本關系式，兩角差的正弦函數公式，二倍角的余弦函數公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．【解析】【答案】C9、B【分析】解：由中點坐標公式可得M；N的中點為（1，4）；

可得直線MN的斜率為k===-1；

由垂直關系可得其垂直平分線的斜率為k′=1；

故可得所求直線的方程為：y-4=1×（x-1）；

化為一般式可得x-y+3=0

故選B．

由中點坐標公式和斜率公式可得MN的中點和直線斜率；由垂直關系可得垂直平分線的斜率，由點斜式可得直線方程，化為一般式即可．

本題考查直線的一般式方程和直線的垂直關系，屬基礎題．【解析】【答案】B二、填空題(共5題，共10分)10、略

【分析】

定義在R上的奇函數y=f（x）；圖象關于原點對稱，在區(qū)間（0，+∞）有3個零點，故在區(qū)間（-∞，0）上也有3個零點；

再由奇函數的定義可得f（0）=0；則函數y=f（x）在R上的零點個數為7；

故答案為7．

【解析】【答案】定義在R上的奇函數y=f（x）；圖象關于原點對稱，在區(qū)間（0，+∞）有3個零點，故在區(qū)間（-∞，0）上也有3個零點，再由奇函數的定義可得f（0）=0，由此得到。

函數y=f（x）在R上的零點個數．

11、略

【分析】

由已知，顯然q≠1，否則a1=an，由等比數列通項公式、求和公式得即將①代入②得解得q=-2

故答案為：-2

【解析】【答案】首先判斷出q≠1，否則a1=an，再利用等比數列通項公式、求和公式表示出an，Sn；解方程組即可。

12、略

【分析】【解析】

試題分析：畫出原函數的圖像如下圖，要使有三個不同的實根，則需要故實數的取值范圍為

考點：1.分段函數的應用；2.函數與方程的應用.【解析】【答案】13、58【分析】【解答】解：當時；y=0+0+0=0；

當時；y=0+0+1=1；

當時；y=0+1+2=3；

當y=0+1+3=4；

當時；y=1+2+4=7；

當時；y=1+2+5=8；

當時；y=1+3+6=10；

當時；y=1+3+7=11；

當x=1時；y=2+4+8=12．

所以A中所有元素的和為：1+3+4+7+8+10+11+14=58．

故答案為：58．

【分析】利用分類討論思想求出A中所有的元素，由此能求出A中所有元素的和．14、略

【分析】解：隆脽鈻?ABC

中，隆脧A=30鈭?隆脧B=120鈭?

隆脿隆脧C=180鈭?鈭?30鈭?鈭?120鈭?=30鈭?

隆脿隆脧A=隆脧C?BC=AB=6

由面積正弦定理公式；得。

S鈻?ABC=12BC?ABsinB=12隆脕6隆脕6sin120鈭?=93

即鈻?ABC

的面積為93

．

故答案為：93

先根據三角形內角和，得到隆脧C=180鈭?鈭?隆脧A鈭?隆脧B=30鈭?

從而隆脧A=隆脧C

所以BC=AB=6

最后用正弦定理關于面積的公式，可得鈻?ABC

的面積為12BC?ABsinB=93

得到正確答案．

本題以求三角形的面積為例，著重考查了正弦定理、三角形面積公式和三角形內角和等知識點，屬于基礎題．【解析】93

三、證明題(共7題，共14分)15、略

【分析】【分析】（1）過點C作CE⊥AB于點E；根據正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉化為三角形函數，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點C作CE⊥AB于點E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．16、略

【分析】【分析】（1）關鍵在于圓心位置；考慮到平行四邊形是中心對稱圖形，可讓覆蓋圓圓心與平行四邊形對角線交點疊合．

（2）“曲“化“直“．對比（1），應取均分線圈的二點連線段中點作為覆蓋圓圓心．【解析】【解答】

證明：（1）如圖1；設ABCD的周長為2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P為周界上任意一點，不妨設在AB上；

則∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周長為2l的平行四邊形ABCD可被以O為圓心；半徑為的圓所覆蓋；命題得證．

（2）如圖2，在線圈上分別取點R，Q，使R、Q將線圈分成等長兩段，每段各長l．又設RQ中點為G，M為線圈上任意一點，連MR、MQ，則GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G為圓心，長為半徑的圓紙片可以覆蓋住整個線圈．17、略

【分析】【分析】延長AM，過點B作CD的平行線與AM的延長線交于點F，再連接CF．根據平行線分線段成比例的性質和逆定理可得CF∥BE，根據平行四邊形的判定和性質即可得證．【解析】【解答】證明：延長AM；過點B作CD的平行線與AM的延長線交于點F，再連接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

從而四邊形OBFC為平行四邊形；

所以BM=MC．18、略

【分析】【分析】要證E為中點，可證∠EAD=∠OEA，利用輔助線OE可以證明，求EF的長需要借助相似，得出比例式，之間的關系可以求出．【解析】【解答】（1）證明：連接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圓O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

?OE∥AD

=＞E為的中點．

（2）解：連CE；則∠AEC=90°，設圓O的半徑為x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圓O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE?EF=AD?CF

DE?EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC?FA=3x（3+2）=15

∴EF=19、略

【分析】【分析】（1）連AC；BC；OC，如圖，根據切線的性質得到OC⊥PD，而AD⊥PC，則OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，則∠DAC=∠CAO，根據三角形相似的判定易證得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到結論；

（2）根據三角形相似的判定易證Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到結論．【解析】【解答】證明：（1）連AC、BC，OC，如圖，

∵PC是⊙O的切線；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB為⊙O的直徑；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC?CE=PA?BE．20、略

【分析】【分析】（1）過點C作CE⊥AB于點E；根據正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉化為三角形函數，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點C作CE⊥AB于點E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．21、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根據角平分線性質推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根據等腰三角形性質求出AF=CF，根據三角函數的定義求出即可；

（3）BF過圓心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根據銳角三角函數的定義求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F為AC中點；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF過圓心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．四、計算題(共2題，共16分)22、略

【分析】【分析】本題須先根據題意求出x2+y2和x2y2的值，再求出x4+y4的值，最后代入原式即可求出結果．【解析】【解答】解：x2y+xy2=xy（x+y）=66；

設xy=m；x+y=n；

由xy+x+y=17；得到m+n=17，由xy（x+y）=66，得到mn=66；

∴m=6；n=11或m=11，n=6（舍去）；

∴xy=m=6；x+y=n=11；

x2+y2=112-2×6=109，x2y2=36

x4+y4=1092-36×2=11809

x4+x3y+x2y2+xy3+y4

=11809+6×109+36

=12499．

故答案為：1249923、略

【分析】【分析】連接O1O2，O2A，O2B，根據切線的性質得到直角三角形，再由直角三角形中邊的關系得到角的度數，確定A，B兩點的坐標，用待定系數法可以求出b，c的值．【解析】【解答】解：如圖：

連接O1O2，O2A，O2B；

∵O1A，O1B是⊙O2的切線，∴O1A⊥O2A，O1B⊥O2B；

又因為兩圓是等圓，所以O1O2=2O2A，得∠AO1O2=30°

∴∠AO1B