2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專題15利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)問題

專題15利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)問題【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)一：單調(diào)性基礎(chǔ)問題1、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題=1\*GB3①若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；=2\*GB3②若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減．知識(shí)點(diǎn)二：討論單調(diào)區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；（2）變號(hào)保留定號(hào)去(變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分)；（3）求根做圖得結(jié)論(如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論)；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)(若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù))；（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)(若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn))；（6）一階復(fù)雜求二階(找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo))；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間(通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段)；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間)；（2）變號(hào)保留定號(hào)去(變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分)；（3）恒正恒負(fù)先討論(變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù))；然后再求有效根；（4）根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；【方法技巧與總結(jié)】1、求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；（3）把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間；（4）確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)的符號(hào)判斷函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.注①使的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí)，在這個(gè)區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的.例如，在上，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù).②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立.因?yàn)?，即或，?dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在這個(gè)區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立.這說明在一個(gè)區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；單調(diào)遞減.【典例例題】例1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，即的定義域?yàn)?；，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：A．例2．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．為增函數(shù) B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．的最大值為2e D．的圖象關(guān)于對(duì)稱【答案】D【解析】A：，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；B：由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在R上沒有零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；C：由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的最小值為，故C錯(cuò)誤；D：，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確.故選：D例3．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】的定義域?yàn)?，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，在上恒成立，即在上恒成立．令，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B例4．（2024·高三·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．或 B． C．或 D．【答案】C【解析】，，令得：，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，又函數(shù)在上連續(xù)，或，或.故選：C．例5．（2024·江西上饒·一模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的導(dǎo)函數(shù)為 B．在上單調(diào)遞減C．的最小值為 D．的圖象在處的切線方程為【答案】C【解析】A：，因此本選項(xiàng)不正確；B：由上可知：，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此本選項(xiàng)不正確；C：由上可知：，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，因此本選項(xiàng)正確；D：由上可知，因?yàn)?，所以的圖象在處的切線方程為，因此本選項(xiàng)不正確，故選：C例6．（2024·高三·河北·期末）設(shè)函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，在上恒成立，記，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，所以只需，解得，故選：A．例7．（2024·高二·廣西河池·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由.①當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，不合題意；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)為，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，必有，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B.例8．（2024·高三·甘肅蘭州·期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，則函數(shù)的定義域是，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由，得，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A．例9．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中，討論的單調(diào)性.【解析】函數(shù)，定義域是，，時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；時(shí)，或時(shí)，，時(shí)，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；時(shí)，或時(shí)，，時(shí)，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是.綜上所述：時(shí)，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；時(shí)，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；時(shí)，的增區(qū)間是，無減區(qū)間；時(shí)，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是.例10．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，由可得，由可得或，故?dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為.例11．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中R.討論的單調(diào)性；【解析】依題意，的定義域?yàn)?，由，得，①?dāng)時(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·高三·山西晉城·開學(xué)考試）若在處有極值，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，，解得，故，當(dāng)時(shí)，，單減；當(dāng)時(shí)，，單增，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：A2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D3．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)f（x）＝2x＋x－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】解析：f′（x）＝2xln2＋1＞0，所以f（x）在R上單調(diào)遞增，f（0）＝－1，f（1）＝1，故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故選B.4．（2024·高二·河南·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】的定義域?yàn)椋?，由，可得，故的單調(diào)遞減區(qū)間為．故選：C．5．（2024·陜西榆林·一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在上恒成立，即，所以，則的取值范圍是.故選：B.6．（2024·高三·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立．因?yàn)?，所以，所以，所?故選：C．7．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立．令，,則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以．故選：C．8．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于函數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．是奇函數(shù) B．是周期函數(shù)C．是的唯一零點(diǎn) D．在上單調(diào)遞增【答案】B【解析】對(duì)于A中，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，所以A正確；對(duì)于B中，由函數(shù)，可得，則為單調(diào)遞增函數(shù)，所以不存在實(shí)數(shù)，使得，所以函數(shù)一定不時(shí)周期函數(shù)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，得到為單調(diào)遞增函數(shù)，又由，所以函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，所以C正確；對(duì)于D中，由，得到為上單調(diào)遞增函數(shù)，所以D正確.故選：B.9．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則函數(shù)（

）A．在區(qū)間，內(nèi)均有一個(gè)零點(diǎn)B．在區(qū)間，內(nèi)均無零點(diǎn)C．在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)D．在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象連續(xù)不斷，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.又所以函數(shù)有唯一的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).故選：D10．（2024·高三·遼寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則“在區(qū)間上單調(diào)遞增”的一個(gè)充分不必要條件為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在區(qū)間上單調(diào)遞增等價(jià)于在區(qū)間上大于等于恒成立，即在上恒成立，即，故是的充分不必要條件，故D正確.故選：D.11．（2024·高三·北京通州·期中）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A,,所以在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由于，所以在上單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，故在上單調(diào)遞減，C正確，對(duì)于D，的圖象如下所示：故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤，

故選：C二、多選題12．（2024·高三·安徽六安·期末）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，定義域?yàn)?，且，故為偶函?shù)，且時(shí)，單調(diào)遞增，故A正確；B選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，故不是偶函?shù)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，時(shí)，單調(diào)遞減，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，故是偶函數(shù)，且時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故D項(xiàng)正確.故選：AD13．（2024·山西晉城·一模）若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值恒大于0，則該函數(shù)在上純粹遞增，若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值恒小于0，則該函數(shù)在上純粹遞減，則（

）A．函數(shù)在上純粹遞增B．函數(shù)在上純粹遞增C．函數(shù)在上純粹遞減D．函數(shù)在上純粹遞減【答案】BC【解析】若，則，因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤．若，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以B正確．若，則，所以C正確．若，則在上不恒成立，所以D錯(cuò)誤．故選：BC14．（2024·高三·江西宜春·期中）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，是增函數(shù)，A不對(duì)；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，是奇函數(shù)，并且在上單調(diào)遞減，B對(duì)；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，是奇函?shù)，并且在上單調(diào)遞減，C對(duì)；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，是奇函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，即，解得，所以遞減區(qū)間是.D不對(duì)．故選：BC三、填空題15．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】由條件知f′(x)＝＋2ax＋(2a＋1)≤0，x∈(1，＋∞)恒成立．所以2a(x＋1)＋＋1≤0在x∈(1，＋∞)上恒成立，所以2a≤－，所以a≤－.16．（2024·江西上饒·一模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為．【答案】【解析】因?yàn)椋裕驗(yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即時(shí)，恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以，故答案為：.17．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【解析】存在，使得可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則，所以，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.18．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）下列四個(gè)函數(shù)：①；②，；③；④．其中，能使恒成立的函數(shù)是．【答案】①③【解析】法1：(圖象法)分別畫出各個(gè)函數(shù)的大致圖象．①函數(shù)圖象如下圖所示：由圖象可知該函數(shù)是凹函數(shù)，符合題意；②，，圖象如下圖所示：

由圖象可知，該函數(shù)是先凸后凹，不符合題意；③；函數(shù)圖象如下圖所示：

由圖象可知，該函數(shù)是凹函數(shù)，符合題意；④，函數(shù)圖象如下圖所示：

由圖象可知：該函數(shù)是凸函數(shù)，不符合題意，故答案為：①③法2：利用二階導(dǎo)數(shù)判斷．①，所以該函數(shù)是凹函數(shù)，②，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)先凸后凹，③，是凹函數(shù)，④，是凸函數(shù)，故答案為：①③.19．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，由得或（因?yàn)?，故舍去），所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．故答案為：四、解答題20．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處的切線為軸．(1)求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間．【解析】（1）因?yàn)?，所以，依題意且，所以，解得.（2）由（1）可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，則，所以（）在定義域上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.21．（2024·廣東·一模）已知，函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間.(2)討論方程的根的個(gè)數(shù).【解析】（1）因?yàn)椋ǎ?所以：.由，又函數(shù)定義域?yàn)?，所以函?shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)?，所以：?dāng)時(shí)，，方程無解；當(dāng)，函數(shù)在上遞減，在遞增，所以，所以方程無解.綜上可知：方程的根的個(gè)數(shù)為.22．（2024·江西南昌·一模）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求的最大值.【解析】（1），令，得，即，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，即的最大值為.23．（2024·廣東韶關(guān)·二模）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線平行于軸．(1)求實(shí)數(shù)；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值．【解析】（1）由可得：，由題意，，解得；（2）由（1）得，，則，當(dāng)時(shí)，，則在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù).故時(shí)，函數(shù)有極小值為，無極大值.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，函數(shù)有極小值為，無極大值.24．（2024·高三·貴州安順·期末）已知函數(shù)(1)求的單調(diào)增區(qū)間；(2)方程在有解，求實(shí)數(shù)m的范圍.【解析】（1）的定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；故單調(diào)增區(qū)間為，；（2）由（1）知，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∵，，，，∴，，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，最小值為1，∴，∴.25．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，①當(dāng)，即時(shí)，由，得，由，得，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，因此在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)，即時(shí)，恒成立，因此在上單調(diào)遞增；④當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，因此在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．26．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞減.【解析】證明：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞減.27．（2024·高三·河南鄭州·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求，的值；(2)證明：在上單調(diào)遞增.【解析】（1）因?yàn)?，所以，依題意可得，即，解得，所以.（2）證明：由（1）可得，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增.28．（2024·高三·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，不等式在上存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，由，得，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）原條件等價(jià)于：在上存在實(shí)數(shù)解．化為在上存在實(shí)數(shù)解，令，

則，∴在上，，得，故在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，∴時(shí)，不等式在上存在實(shí)數(shù)解．29．（2024·高二·安徽滁州·開學(xué)考試）已知函數(shù)在處有極值.(1)求、的值；(2)求出的單調(diào)區(qū)間，并求極值.【解析】（1）因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)椋?，則，解得，此時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，，合乎題意.因此，，.（2）因?yàn)椋摵瘮?shù)的定義域?yàn)?，，令，可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，函數(shù)的極小值為，無極大值.30．（2024·高三·吉林長春·期末）已知函數(shù)．(1)，求函數(shù)的最小值；(2)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，所以，令，則有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，則