2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專(zhuān)題03等式與不等式的性質(zhì)

專(zhuān)題03等式與不等式的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)梳理】1、比較大小基本方法關(guān)系方法做差法與0比較做商法與1比較或或2、不等式的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對(duì)稱(chēng)性傳遞性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性【方法技巧與總結(jié)】1、應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，解題時(shí)要做到言必有據(jù)，特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí)，有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法，以提高解題的效率.2、比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性.比較法又分為作差比較法和作商比較法.作差法比較大小的步驟是：（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大小；（4）下結(jié)論.作商比較大?。ㄒ话阌脕?lái)比較兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是：（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大??；（4）下結(jié)論.其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比較大小.作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且是冪或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法.【典型例題】例1．（2024·陜西西安·西安中學(xué)?？家荒＃┮阎瑒t下列選項(xiàng)中是“”的充分不必要條件的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A，當(dāng)，滿(mǎn)足，但不成立，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，但不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，但，故B正確；對(duì)于C，時(shí)，，但不成立，時(shí)，，但不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故D錯(cuò)誤.故選：B例2．（2024·北京房山·高三統(tǒng)考期末）已知，為非零實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)A：若，則，故錯(cuò)誤；對(duì)B：若，則，故錯(cuò)誤；對(duì)C：若，則，，左右同除，有，故錯(cuò)誤；對(duì)D：由且，為非零實(shí)數(shù)，則，即，故正確.故選：D.例3．（2024·湖南株洲·高三株洲二中?？茧A段練習(xí)）若則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A.因?yàn)?，則，則，故A錯(cuò)誤；B.因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；C.在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；D.因?yàn)椋院投即笥?，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以“=”不能取到，所以，故D正確.故選：D例4．（2024·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)，，為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，因?yàn)椋?，則，故，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，兩邊同乘以得，兩邊同乘以得，故，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，兩邊同除以得，D錯(cuò)誤.故選：C例5．（2024·河南·方城第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）“，是“”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由于，的正負(fù)性不確定，由“，”不能推出“”，故充分性不成立；同時(shí)當(dāng)“”時(shí)也不能推出“，”，故必要性也不成立.故選：D.例6．（2024·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則以下錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，?duì)于A，，,,綜上可得，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：D.例7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）甲?乙兩人解關(guān)于x的方程，甲寫(xiě)錯(cuò)了常數(shù)b，得到的根為或x=，乙寫(xiě)錯(cuò)了常數(shù)c，得到的根為或，則原方程的根是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【解析】令，則方程可化為，甲寫(xiě)錯(cuò)了常數(shù)b，所以和是方程的兩根，所以，乙寫(xiě)錯(cuò)了常數(shù)c，所以1和2是方程的兩根，所以，則可得方程，解得，所以原方程的根是或故選：D例8．（2024·云南昆明·校聯(lián)考一模）人體的正常溫度大約是36℃，當(dāng)人體溫度超過(guò)正常溫度的時(shí)認(rèn)定為高燒，則高燒溫度℃應(yīng)滿(mǎn)足的不等關(guān)系式是.【答案】【解析】依題意，.故答案為：例9．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，所以，則，又，所以，，由不等式的性質(zhì)得：，則的取值范圍為.故選：D.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A中，由，可得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，例如：當(dāng)，可得，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，例如：當(dāng)時(shí)，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，可得，又由，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，所以D正確.故選：D.2．（2024·北京西城·高三統(tǒng)考期末）設(shè)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A選項(xiàng)，若，滿(mǎn)足，但，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若，滿(mǎn)足，但，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若，滿(mǎn)足，但，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，圖象如下圖所示，由圖可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以D選項(xiàng)正確.故選：D3．（2024·四川成都·高三石室中學(xué)?？计谀┤?，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，，則，，所以，，即，所以，所以A，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以C錯(cuò)誤；因，所以D正確.故選：D4．（2024·新疆喀什·高三?？计谥校┮阎?，，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，，故，即.故選：D5．（2024·福建福州·高三福建省福州延安中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）鐵路總公司關(guān)于乘車(chē)行李規(guī)定如下：乘坐動(dòng)車(chē)組列車(chē)攜帶品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)，設(shè)攜帶品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高分別為、、（單位：），這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知．故選：D．6．（2024·安徽合肥·高三合肥一中?？计谀┮阎希?，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，若，則，則，所以．故選：B．7．（2024·山東煙臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）已知且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，由，故，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，由，故，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：由指數(shù)函數(shù)可知，在定義域上單調(diào)性不確定，故無(wú)法確定的大小，比如當(dāng)時(shí)，則，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由冪函數(shù)可知，在定義域上單調(diào)遞增，且，所以，選項(xiàng)D正確.故選：D.8．（2024·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，，所以，.故選：A9．（2024·重慶長(zhǎng)壽·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，對(duì)都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知函數(shù)，對(duì)都有成立，即對(duì)恒成立，即，對(duì)恒成立，設(shè)，由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：A10．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，由，?故選：A.二、多選題11．（2024·江蘇南通·高三江蘇省如東高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，即，則，故B正確；對(duì)于C，取，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，即，則，故D正確.故選：BD.12．（2024·江蘇揚(yáng)州·高三?？茧A段練習(xí)）下列不等關(guān)系成立的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】BC【解析】A選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，即，又，即，所以，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，即，又，即，所以，所以，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，即，又，即，所以，無(wú)法判斷與是否異號(hào)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC.13．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）已知，，，下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【解析】當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)A可能不成立，例如但是錯(cuò)誤的.因?yàn)楦鶕?jù)不等式性質(zhì)可得正確.因?yàn)?，所以所以即所以故C錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，所以正確.故選：BD14．（2024·河北邢臺(tái)·寧晉中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；又，所以，故B正確；因?yàn)?，所以，故C對(duì)；因?yàn)椋?，所以，故D對(duì).故選：BCD15．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于中，由不等式，可得，所以，不等式的兩邊同乘，可得，所以A正確；對(duì)于B中，因?yàn)?，所以，即，所以，所以B正確；對(duì)于中，由，則，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，因?yàn)?，所以，則，即，所以，所以D正確.故選：ABD.16．（2024·河南信陽(yáng)·高三河南宋基信陽(yáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】依題意，，所以，所以，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確.所以，所以，所以C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC17．（2024·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）某工藝廠用A、B兩種型號(hào)不銹鋼薄板制作矩形、菱形、圓3種圖形模板，每個(gè)圖形模板需要A、B不銹鋼薄板及該廠2種薄板張數(shù)見(jiàn)下表矩形菱形圓總數(shù)A531055B12613125該廠簽購(gòu)制作矩形、菱形、圓3種模板分別為x，y，z（）塊.上述問(wèn)題中不等關(guān)系表示正確為（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因?yàn)槊總€(gè)矩形模板需要5張A薄板，每個(gè)菱形模板需要3張A薄板，每個(gè)圓模板需要10張A薄板，且共有55張A薄板，所以，因?yàn)槊總€(gè)矩形模板需要12張B薄板，每個(gè)菱形模板需要6張B薄板，每個(gè)圓模板需要13張B薄板，且共有125張B薄板，所以.故選：BC.18．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則下列說(shuō)法一定正確的是（

）A． B．C． D．若，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，B正確；對(duì)于C，由，得，則，C正確；對(duì)于D，由，，得，，D正確.故選：BCD19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）正數(shù)、滿(mǎn)足，則下列不等式成立的有（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)、時(shí)滿(mǎn)足，但是，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，，所以，故D正確．故選：ABD．20．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】選項(xiàng)A：由，得，則，所以，A錯(cuò)誤．選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，B正確．選項(xiàng)C：由，得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確．選項(xiàng)D：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，D正確．故選：BCD21．（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知，則是“”的充分不必要條件有（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對(duì)于A，取，此時(shí)有，故A不符合題意；對(duì)于B，由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，故B符合題意；對(duì)于C，，故C不符合題意；對(duì)于D，，故D符合題意.故選：BD.三、填空題22．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，，則的取值范圍是【答案】．【解析】設(shè)，則，解得，所以，因?yàn)?，，所以，，可得，即的取值范圍為．故答案為：?3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，則的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所?即的取值范圍為.故答案為：.24．（2024·河南洛陽(yáng)·高三洛陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某雜志以每本2.5元的價(jià)格銷(xiāo)售，可以售出8萬(wàn)本，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若單價(jià)每提高0.1元，銷(xiāo)售量就相應(yīng)減少2000本.設(shè)提價(jià)后該雜志的單價(jià)為x元，則用不等式表示銷(xiāo)售的總收入仍不低于20萬(wàn)元為.【答案】【解析】若提價(jià)后該雜志的單價(jià)為x元，則銷(xiāo)售量為萬(wàn)本，則提價(jià)后銷(xiāo)售的總收入為萬(wàn)元，所以不等關(guān)系“銷(xiāo)售的總收入仍不低于20萬(wàn)元”可以用不等式表示為：.故答案為：25．（2024·上海嘉定·高三?？计谥校┤絷P(guān)于，的方程組與的解集相等，則.【答案】/3.5【解析】∵方程組與的解集相同，∴方程組的解也是它們的解，由得，∴即，∴.故答案為：26．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）糖水不等式：成立的實(shí)數(shù)是有條件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是