第05講-平面向量之極化恒等式(高階拓展)(教師版)

第05講平面向量之極化恒等式（高階拓展）（核心考點精講精練）在向量的命題考查中，數(shù)量積的運算一直是熱點問題，一般情況下，我們掌握公式法、基底法、投影法和坐標法來求解數(shù)量積，但有時會計算量繁瑣、解題時間較長。而本節(jié)要學(xué)的極化恒等式可以從另一角度來綜合解題。利用向量的極化恒等式可以快速對共起點(終點)的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁，實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合，對于不共起點和不共終點的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法等價轉(zhuǎn)化為對共起點(終點)的兩向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式解決，需大家強化學(xué)習(xí)。知識講解極化恒等式恒等式右邊有很直觀的幾何意義:向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的，恒等式的作用在于向量的線性運算與數(shù)量積之間的聯(lián)系如圖在平行四邊形中,則在上述圖形中設(shè)平行四邊形對角線交于點,則對于三角形來說:極化恒等式的適用條件共起點或共終點的兩向量的數(shù)量積問題可直接進行轉(zhuǎn)化(2)不共起點和不共終點的數(shù)量積問題可通過向量的平移，等價轉(zhuǎn)化為共起點或共終點的兩向量的數(shù)量積問題在確定求數(shù)量積的兩個向量共起點或共終點的情況下，極化恒等式的一般步驟如下第一步:取第三邊的中點，連接向量的起點與中點;第二步:利用極化恒等式公式，將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長與第三邊長的一半的平方差;第三步:利用平面幾何方法或用正余弦定理求中線及第三邊的長度，從而求出數(shù)量積如需進一步求數(shù)量積范圍，可以用點到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊，兩邊之差小于第三邊或用基本不等式等求得中線長的最值(范圍)?？键c一、極化恒等式求值1．（全國·高考真題）設(shè)向量滿足，，則A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A方法一：基本方法【詳解】試題分析：因為，所以………………①，又，所以…………②，②得，所以考點：1．向量模的定義及運算；2．向量的數(shù)量積．方法二：極化恒等式由極化恒等式可得：故選A．2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.方法四：極化恒等式設(shè)CD中點為O點，由極化恒等式可得：故選：B.1．（江蘇·高考真題）如圖，在中，是的中點，是上的兩個三等分點，，，則的值是.

【答案】方法一【詳解】因為，，因此，【考點】向量數(shù)量積【名師點睛】研究向量的數(shù)量積，一般有兩個思路，一是建立平面直角坐標系，利用坐標研究向量的數(shù)量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種思路實質(zhì)相同，但坐標法更易理解和化簡.對于涉及中線的向量問題，一般利用向量加、減法的平行四邊形法則進行求解．方法二：極化恒等式因為是上的兩個三等分點,所以聯(lián)立解得:所以如圖,在中,已知,點分別在邊上,且,若為的中點,則的值為________解：取的中點,連接,則,在中,,考點二、極化恒等式求范圍（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D方法一【分析】依題意建立平面直角坐標系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；方法二：極化恒等式記AB的中點為M，連接CM，則由極化恒等式可得：即故選：D如圖所示,正方形的邊長為分別在軸,軸的正半軸(含原點)上滑動,則的最大值是_________答案:2解:如圖,取的中點,的中點,連接,則（當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立.)由極化恒等式得（全國·高考真題）已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是A． B． C． D．【答案】B方法一【分析】根據(jù)條件建立坐標系，求出點的坐標，利用坐標法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進行計算即可．【詳解】建立如圖所示的坐標系，以中點為坐標原點，則，，，設(shè)，則，，，則當(dāng)，時，取得最小值，方法二：極化恒等式解：取的中點,連接,取的中點,連接,由是邊長為2的等邊三角形,為中線的中點,則：所以.故選：．如圖,在平面四邊形中,,則的最大值為____解：取的中點,連接,由,由四點共圓,且直徑為.則.所以.設(shè)銳角的面積為1,邊的中點分別為為線段上的動點,則的最小值為_______解：如圖所示,取的中點為點到的距離,由極化恒等式,,,則已知的斜邊,設(shè)是以為圓心,1為半徑的圓上任意一點,則的取值范圍是（）A.B.C.D.解：如圖所示,在Rt上,不妨取的中點,則.設(shè)圓的半徑為,而,則,,則,因此的取值范圍是.故選：C【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，已知的半徑為2，，則（

）

A．1 B．-2 C．2 D．【答案】C【分析】判斷形狀可得，然后根據(jù)數(shù)量積定義直接求解即可.【詳解】由題知，為正三角形，所以，所以.故選：C2．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃┰诰匦沃校?若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標運算計算數(shù)量積，由三角函數(shù)的有界性即可求解.【詳解】以為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則,設(shè)，故所以其中，由于，所以，故選：B

3．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若等邊的邊長為2，平面內(nèi)一點滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解與合成，再利用向量的數(shù)量積運算求解即可.【詳解】，，.故選：C.4．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）在中，，，點是線段上靠近點的三等分點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先用，兩個向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算即可得到.【詳解】

，，因，所以，又，所以，故選：B5．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）若點是圓：上的任一點，直線：與軸、軸分別交于兩點，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．8【答案】C【分析】由于直線：與軸、軸分別交于、兩點，分別令，求得點坐標，再將圓：化成標準方程，由參數(shù)方程表示點的坐標，再代入中，由三角函數(shù)的最值即可求得的最小值.【詳解】令則，即，令，則，即，圓：，則設(shè)點，當(dāng)時取得最小值.故選：C.6．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在邊長為2的菱形中，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以為基底，求，利用函數(shù)性質(zhì)求最小值.【詳解】邊長為2的菱形中，，如圖所示，

則，，，，，由于，所以當(dāng)時，有最小值.故選：B7．（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預(yù)測）在矩形中，與相交于點，過點作于，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立直角坐標系，設(shè)，由和可列方程求出點E，再根據(jù)數(shù)量積坐標運算即可求解.【詳解】建立如圖所示直角坐標系：

則，設(shè)，則且，，解得，，在矩形中，為的中點，所以，由，所以，，故選：D.8．（2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)?？既＃┮赃呴L為2的等邊三角形ABC每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點，且，則的值為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】如圖所示，以B為坐標原點，建立平面直角坐標系，利用向量數(shù)量積的坐標表示計算即可.【詳解】如圖所示，以B為坐標原點，直線BC為x軸，過點B且垂直于BC的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則，，由，得，所以，，所以．

故選：C.二、填空題9．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知O為的外心，若，且，則.【答案】【分析】由平面向量數(shù)量積公式進行求解.【詳解】由圓的性質(zhì)可得，，故.故答案為：三、雙空題10．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形中，，，，.若為線段中點，則；若為線段（含端點）上的動點，則的最小值為.

【答案】/5.25【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標系，求出各點的坐標，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】因為，，所以為等邊三角形，因為，，所以在和中，，，則，得，，因為在中，，則，得，又，所以，以為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，，，，，，，則；設(shè)，，，則，因為，所以時，的最小值為.故答案為：；.

【能力提升】一、單選題1．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學(xué)?？级＃┮阎鰽BC是單位圓O的內(nèi)接三角形，若，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由題設(shè)易知且，，進而求即可得答案.【詳解】由圓O是△ABC的外接圓，且，故，所以，，則，僅當(dāng)時等號成立.故選：A2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知半徑為1的圓O上有三個動點A，B，C，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立平面直角坐標系，求出相關(guān)點和向量的坐標，用數(shù)量積的坐標運算.，轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點求參數(shù)最值問題.【詳解】因為，又，所以，所以，以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系：

則，，設(shè)，則，，，所以，設(shè)，即，依題意直線與圓有公共點，所以，得，所以的最小值為.

故選：A3．（2023·湖南長沙·周南中學(xué)?？级＃┮阎庑蜛BCD的邊長為1，，G是菱形ABCD內(nèi)一點，若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由題意可得出，點G為的重心，所以，，再由向量的數(shù)量及定義求解即可.【詳解】在菱形ABCD，菱形ABCD的邊長為1，，所以，所以，則為等邊三角形，因為，所以，設(shè)點M為BC的中點，則，所以，所以G，A，M三點共線，所以AM為BC的中線，所以，同理可得點AB，AC的中線過點G，所以點G為的重心，故，在等邊中，M為BC的中點，則，所以.故選：A

4．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，點分別在上，且，點是圓弧上的動點（包括端點），則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，設(shè)，則，利用平面向量的坐標運算得，結(jié)合基本不等式即可求得最值.【詳解】如圖，以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系

則，設(shè)，則，所以，因為，所以，又，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立則的最大值為，所以的最大值為，即的最小值為.故選：A.5．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，，點在線段上，，點是外接圓上任意一點，則最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)余弦定理求出線段的長度，再根據(jù)正弦定理求出外接圓的半徑，最后將寫成后再求，當(dāng)與同向時，取得最大值.【詳解】在中，，，在中，由余弦定理得，，又因為，所以，解得，從而，.設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理得，故.所以，當(dāng)與同向時，取得最大值為.故選：A.【點睛】6．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，已知，向量在向量上的投影向量為，點是邊上靠近的三等分點，則（

）A．3 B．6 C．7 D．9【答案】C【分析】先根據(jù)投影向量的公式結(jié)合題干條件得到，然后利用向量的運算將用表示，然后用向量的數(shù)量積進行運算.【詳解】

根據(jù)投影向量的計算公式，向量在向量上的投影向量為，由題意，，于是，即.又，∴．故選：C7．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）如圖所示，正方形的邊長為2，點，，分別是邊，，的中點，點是線段上的動點，則的最小值為（

）

A． B．3 C． D．48【答案】A【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)，，（），即可得到、，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】如圖建立平面直角坐標系，則、、、，設(shè)，，（），則，所以，所以，即，所以，，所以，又，所以當(dāng)時取得最小值為.

故選：A8．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）已知菱形ABCD的邊長為2，，點E在邊BC上，，若G為線段DC上的動點，則的最大值為（

）A．2 B．C． D．4【答案】B【分析】利用向量的數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運算，結(jié)合向量的線性運算即可求解.【詳解】由題意可知，如圖所示因為菱形ABCD的邊長為2，，所以,，設(shè)，則，因為，所以,,,當(dāng)時，的最大值為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決此題的關(guān)鍵是利用向量的線性運算求出，結(jié)合向量數(shù)量積定義和運算即可.二、填空題9．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）半徑為的兩圓和圓外切于點，點是圓上一點，點是圓上一點，則的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)點關(guān)于點的對稱點為，則點在圓上，計算可得出，求出的取值范圍，即可得出的取值范圍.【詳解】設(shè)點關(guān)于點的對稱點為，則點在圓上，所以，，因為，所以，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)、同向且、反向時，，當(dāng)時，則，所以，，所以，，所以，，因為，則，故當(dāng)且四邊形為菱形時，，因此，.故答案為：.10．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）周長為4的，若分別是的對邊，且，則的取值范圍為．【答案】【分析】利用平面向量的數(shù)量積公式結(jié)合余弦定理可得，再根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊結(jié)合基本不等式求出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為周長為4的，分別是的對邊，且，所以，令，∴，∴，解得，又∵，∴，∴故，又在上遞減，∴，故答案為：.【真題感知】1．（天津·高考真題）已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊的中點，連接并延長到點，使得，則的值為A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：設(shè)，，∴，，，∴，故選B.【考點】向量數(shù)量積【名師點睛】研究向量數(shù)量積，一般有兩個思路，一是建立直角坐標系，利用坐標研究向量數(shù)量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種實質(zhì)相同，坐標法更易理解和化簡.平面向量的坐標運算的引入為向量提供了新的語言——“坐標語言”，實質(zhì)是“形”化為“數(shù)”．向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可以用坐標來進行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來．2．（廣東·高考真題）在平面直角坐標系中，已知四邊形是平行四邊形，，，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為四邊形是平行四邊形，所以，所以，故選D．考點：1、平面向量的加法運算；2、平面向量數(shù)量積的坐標運算．3．（2020·海南·統(tǒng)考高考真題）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.【詳解】的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.【點睛】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識點有向量數(shù)量積的定義式，屬于簡單題目.

4．（天津·高考真題）如圖，在中，，，，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵，∴，又∵，∴，∴，故選．5．（福建·高考真題）已知，，，若點是所在平面內(nèi)一點，且，則的最大值等于（

）.A． B． C． D．【答案】A【詳解】以為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，，即，所以，，因此，因為，所以的最大值等于，當(dāng)，即時取等號．考點：1、平面向量數(shù)量積；2、基本不等式．6．（山東·高考真題）已知菱形的邊長為，，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：由題意得，設(shè)，根據(jù)向量的平行四邊形法則和三角形法則，可知，故選D.考點：向量的數(shù)量積的運算.7．（天津·高考真題）是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊的中點，連接并延長到點，使得，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：設(shè)，，∴，，，∴.【考點】向量數(shù)量積【名師點睛】研究向量的數(shù)量積問題，一般有兩個思路，一是建立直角坐標系，利用坐標研究向量數(shù)量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種實質(zhì)相同，坐標法更易理解和化簡.平面向量的坐標運算的引入為向量提供了新的語言——“坐標語言”，實質(zhì)是將“形”化為“數(shù)”．向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來．8．（天津·高考真題）在如圖的平面圖形中，已知,則的值為A． B．C． D．0【答案】C【詳解】分析：連結(jié)MN，結(jié)合幾何性質(zhì)和平面向量的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：如圖所示，連結(jié)MN，由可知點分別為線段上靠近點的三等分點，則，由題意可知：，，結(jié)合數(shù)量積的運算法則可得：.本題選擇C選項.點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用．9．（天津·高考真題）如圖，在平面四邊形ABCD中，若點E為邊CD上的動點，則的最小值為A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：由題意可得為等腰三角形，為等邊三角形，把數(shù)量積分拆，設(shè)，數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。詳解：連接BD,取AD中點為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，。設(shè)=所以當(dāng)時，上式取最小值，選A.點睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。10．（四川·高考真題）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，，.若點M，N滿足，則（）A．20 B．15 C．9 D．