2024年數(shù)學高考一輪復習零點定理試卷

3.6零點定理（精講）一．函數(shù)的零點1．零點的定義：對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．2．零點的幾個等價關系：方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點?函數(shù)y＝f(x)有零點．易錯點：函數(shù)的零點不是函數(shù)y＝f(x)圖象與x軸的交點，而是y＝f(x)圖象與x軸交點的橫坐標，也就是說函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù).二．函數(shù)零點存在定理1.概念：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．2.變號零點：函數(shù)零點存在定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點，而連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件.三．二分法1.定義：對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．2.給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f(x)零點x0的近似值的一般步驟如下：①確定零點x0的初始區(qū)間[a，b]，驗證f(a)f(b)<0．②求區(qū)間(a，b)的中點c．③計算f(c)，并進一步確定零點所在的區(qū)間：(ⅰ)若f(c)＝0(此時x0＝c)，則c就是函數(shù)的零點；(ⅱ)若f(a)f(c)<0(此時x0∈(a，c))，則令b＝c；(ⅲ)若f(c)f(b)<0(此時x0∈(c，b))，則令a＝c．④判斷是否達到精確度ε：若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復②～④．一．確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法1.利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0．若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點；2.數(shù)形結合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．二．函數(shù)零點個數(shù)的判定方法1.解方程法：若對應方程f(x)＝0可解，通過解方程，則方程有幾個解就對應有幾個零點．2.函數(shù)零點的存在性定理法：利用定理不僅要判斷函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)的零點個數(shù)．3.數(shù)形結合法：合理轉化為兩個函數(shù)的圖象(易畫出圖象)的交點個數(shù)問題．先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的個數(shù)，就是函數(shù)零點的個數(shù)．三．根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結合法將其轉化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，需準確畫出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍．四．根據(jù)函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍1.直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．2.分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決．3.數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解．五．嵌套零點1.概念：在某些情況下，需要將某函數(shù)作為另一個函數(shù)的參數(shù)使用，這一函數(shù)就是嵌套函數(shù)．在函數(shù)里面調用另外一個函數(shù)，就叫做函數(shù)嵌套．如果調用自身，就叫遞歸調用，也叫遞歸嵌套．2.求嵌套函數(shù)y＝g[f(x)]零點的技巧(1)換元解套：將嵌套函數(shù)的零點問題通過換元轉化為函數(shù)t＝g(x)與y＝f(t)的零點問題．(2)依次求解：令f(t)＝0求t，代入t＝g(x)求出x的值或判斷圖象交點個數(shù)．(3)求解此類問題要抓住函數(shù)的圖象性質，通過兩層函數(shù)的零點個數(shù)及取值范圍確定嵌套函數(shù)的零點．(4)含參數(shù)的嵌套函數(shù)方程還應注意讓參數(shù)的取值“動起來”，結合性質、圖象抓臨界位置，確定參數(shù)取值范圍．易錯點1．有關函數(shù)零點的結論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調函數(shù)，則f(x)至多有一個零點；(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號；(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號．2．f(a)f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點的充分不必要條件．3．函數(shù)f(x)的零點是一個實數(shù)，是方程f(x)＝0的根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標，不要把它當成一個點．4．函數(shù)零點存在性定理是零點存在的一個充分條件，而不是必要條件；判斷零點個數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調性、對稱性或結合函數(shù)圖象等綜合考慮．5．忽視分類討論，如：函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c有且只有一個零點，要注意討論a是否為零．考法一零點區(qū)間【例1-1】（2023·吉林長春）函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的定義域為，又與在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，所以，根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間為，故選：C.【例1-2】（2023·廣東肇慶）已知唯一的零點同時在區(qū)間和內，下列說法錯誤的是（

）A．函數(shù)在內有零點 B．函數(shù)在內無零點C．函數(shù)在內有零點 D．函數(shù)在內無零點【答案】A【解析】因為唯一的零點同時在區(qū)間和內，則該函數(shù)唯一的零點同時在區(qū)間內，可知B，C，D正確，對于A，函數(shù)唯一的零點可能在內，也可能在內，故A錯誤.故選：A【一隅三反】1．（2023春·江蘇宿遷）函數(shù)的零點所在的區(qū)間可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，則函數(shù)的零點即為函數(shù)的交點的橫坐標，如圖，作出函數(shù)的圖象，由圖可知函數(shù)的交點在第一象限，且只有一個交點即函數(shù)的零點大于零，且只有一個零點，又，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間可以是.故選：C.2．（2023廣東揭陽）函數(shù)的零點所在的區(qū)間為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)為上的增函數(shù)，因為函數(shù)在上是連續(xù)的曲線，且，，所以，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為.故選：B.3．（2023春·湖南）函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，，，所以，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間為，故選：C．考法二零點個數(shù)【例2-1】（2023·福建廈門）函數(shù)的零點的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)個【答案】C【解析】令，則，所以的零點為1和，故有兩個零點，故選：C【例2-2】（2023·全國·高三對口高考）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，，則在上的零點個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】先繪制在上的圖像，根據(jù)是奇函數(shù)，可得到在上圖像和，再由得到的周期為2，令，則，所以，即可得到的圖像，

由圖可知，，所以在有6個零點，故選：D．【例2-3】（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預測）已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是（

）A．253 B．506 C．507 D．759【答案】B【解析】由得，所以，即是以8為周期的周期函數(shù)，當時，有兩個零點2和4，當時，，令，則有，當時，，，所以無解，所以當時，無零點，又，因此在上函數(shù)有個零點，當時，有兩個零點2和4，當時，無零點，當時，無零點，因此有上，有個零點．故選：B．【一隅三反】1．（2023·四川）方程的實數(shù)解的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】在同一直角坐標系中畫出函數(shù)和的圖象，由圖象可知：兩個函數(shù)圖象只有一個交點，故方程的實數(shù)解的個數(shù)為1，故選：B

2．（2023北京）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【解析】由題意可知：要研究函數(shù)的零點個數(shù)，只需研究函數(shù)，的圖像交點個數(shù)即可.畫出函數(shù)，的圖像，因為時，，時，，時，，可知當和時，圖像各有一個交點，時，必有一個交點，且交點為，及第二象限的點C.

故選：D考法三零點個數(shù)求參數(shù)【例3-1】（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)有且只有一個零點的充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)恒過點，所以函數(shù)有且只有一個零點函數(shù)沒有零點函數(shù)的圖像與直線無交點，數(shù)形結合可得，或即函數(shù)有且只有一個零點的充要條件是或,只有選項是函數(shù)有且只有一個零點的充分條件,

故選：A【例3-2】（2023·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）已知函數(shù)，，若方程恰有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】作出與的圖象，如圖，當時，設與相切于點，則，解得，所以，由圖象可知，當時，與有2個交點，與有1個交點，即與有3個交點.；當時，設與相切于點，由可知，，解得或（舍去），此時，而，由圖象知，當時，與有3個交點.綜上，或時圖象有3個交點，即方程恰有三個不相等的實數(shù)根.故選：A【例3-3】（2023·海南）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足，若函數(shù)有6個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．【答案】【解析】函數(shù)有6個零點，等價于函數(shù)與有6個交點，當時，，當時，，，令，解得：；令，解得：，當時，遞增，當時，遞減，的極大值為：，作出函數(shù)的圖象如下圖，

與的圖象有6個交點，則，故實數(shù)m的取值范圍是.故答案為：【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)有兩個不同的零點的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，則1是的一個零點，則有兩個不同的零點有兩種情形：①1是方程的根，則，即，此時方程有1，兩個根，故有1，兩個不同的零點；②1不是方程的根，則方程有兩個相同的實數(shù)根，則，得，此時，故有1，兩個不同的零點；綜上，函數(shù)有兩個不同的零點，則或，所以是有兩個不同的零點的一個充分不必要條件，故選：A.2.（2023·四川巴中）已知函數(shù)在上恰有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，因為，所以，則，解得．故選：A．3．（2023·山東濟南·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)若函數(shù)有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】

依題意，函數(shù)有四個不同的零點，即有四個解，轉化為函數(shù)與圖象由四個交點，由函數(shù)函數(shù)可知，當時，函數(shù)為單調遞減函數(shù)，；當時，函數(shù)為單調遞增函數(shù)，；當時，函數(shù)為單調遞減函數(shù)，；當時，函數(shù)為單調遞增函數(shù)，；結合圖象，可知實數(shù)的取值范圍為.故選：A4．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）已知函數(shù)，若函數(shù)有且只有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】當時，，，所以當時，當或時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，且，；當時，，，所以當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，令，則，又.作出函數(shù)的函數(shù)圖象如下：

若有且只有三個零點，即與只有三個交點，由圖可知需滿足.故答案為：考法四函數(shù)零點的范圍求參數(shù)【例4-1】（2023·北京·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，若方程的實根在區(qū)間上，則k的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，，當時，解得；當時，，其中，，當時，解得，綜上k的最大值是1.故選：C.【例4-2】（2023春·上海青浦·）若關于的方程在上有解，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】程在上有解，等價于函數(shù)與在有交點，因為，所以，所以，解得.故答案為：【一隅三反】1．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┖瘮?shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由零點存在定理可知，若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，顯然函數(shù)為增函數(shù)，只需滿足，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D2.（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點．則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由在上單調遞增，在上單調遞增，得函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，因為函數(shù)在區(qū)間存在零點，所以，即，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：B.3．（2023·安徽滁州·?？寄M預測）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．【答案】【解析】因為與在上都單調遞增，所以在上單調遞增，因為在區(qū)間上有零點，所以，即，即，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：.考法五零點比較大小【例5-1】（2023·黑龍江）已知：的零點，那么a，b，大小關系可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意：的零點，則，令，則，而，則其圖象可由圖象向下平移2個單位得到，故可作出函數(shù)的大致圖象如圖：

由此可知應介于兩數(shù)之間，結合選項可知可能的結果為，故B，C，D錯誤，A正確，故選：A【例5-2】（2023·山東濱州·）已知函數(shù)在區(qū)間內的零點分別是a，b，c，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)在上單調遞減，函數(shù)在上都單調遞增，因此函數(shù)在上都單調遞減，在上最多一個零點，，即有，，則，而，即，所以.故選：A【一隅三反】1．（2023秋·廣東江門）已知，，的零點分別是，，，則，，的大小順序是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)，，的零點，即為函數(shù)分別與函數(shù)、、的圖象交點的橫坐標，如圖所示：由圖可得.故選：B2．（2023秋·北京）已知，，滿足，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在同一平面直角坐標系內作出的圖像過點；過點；過點；過點，則與圖像交點橫坐標依次增大，又與圖像交點橫坐標分別為，則.故選：C3．（2023·全國·高三專題練習）設，，，則、、的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】構造函數(shù)，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，且，，因為，由零點存在定理可知；構造函數(shù)，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，且，，因為，由零點存在定理可知.因為，則，因此，.故選：B.考法六零點之和【例6】（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）函數(shù)的所有零點之和為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】令，得，解得或，即為零點，令，，的周期，對稱軸，且的對稱軸，做出和的圖象如圖所示：顯然，在和上各存在一個零點，，，在(4,5)上兩函數(shù)必存在一個交點，在上有兩個零點，同理在上存在兩個零點，所以在上存在6個零點，因為和關于對稱，則零點關于對稱，所以的所有零點之和為.故選：C【一隅三反】1．（2022北京）是上的偶函數(shù)，若方程有五個不同的實數(shù)根，則這些根之和為（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【解析】因為函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以函數(shù)圖象關于軸對稱，那么，即有5個實數(shù)根，可知其中4個實數(shù)根，有兩對關于軸對稱，另外一個為，所以這些根的和為0.故選：C2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則的所有零點之和為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】時，由得，時，由得或，所以四個零點和為．故選：D．3．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的所有零點之和為______．【答案】6【解析】令，得，解得或，即為零點，令，，可知的周期，對稱軸，且的對稱軸，做出和的圖象如圖所示：顯然，在和上各存在一個零點，在處的切線為x軸，在上存在零點，同理在上存在零點，所以在上存在6個零點，因為和的函數(shù)圖象關于對稱，則零點關于對稱，所以的所有零點之和為.故答案為：6.考法七二分法【例7-1】（2023·湖南）下列圖象中，不能用二分法求函數(shù)零點的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】根據(jù)零點存在定理，對于A，在零點的左右附近，函數(shù)值不改變符號，所以不能用二分法求函數(shù)零點.故選：A．【例7-2】（2023·全國·高三專題練習）用二分法求方程近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，，所以函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點，所以用二分法求方程近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是.故選：B.【例7-3】（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下：

那么方程的一個近似解（精確度為0.1）為（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【答案】C【解析】由所給數(shù)據(jù)可知，函數(shù)在區(qū)間內有一個根，因為，，所以根在內，因為，所以不滿足精確度，繼續(xù)取區(qū)間中點，因為，，所以根在區(qū)間，因為，所以不滿足精確度，繼續(xù)取區(qū)間中點，因為，，所以根在區(qū)間內，因為滿足精確度，因為，所以根在內，所以方程的一個近似解為，故選：C【一隅三反】1．（2023山東）下列圖像表示的函數(shù)中能用二分法求零點的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】四個圖像中，與x軸垂直的直線和圖像只有一個交點，所以四個圖像都表示函數(shù)的圖像，對于A，函數(shù)圖像和x軸無交點，所以無零點，故錯誤；對于B，D，函數(shù)圖像和x軸有交點，函數(shù)均有零點，但它們均是不變號零點，因此都不能用二分法求零點；對于C，函數(shù)圖像是連續(xù)不斷的，且函數(shù)圖像與x軸有交點，并且其零點為變號零點.故選：C．2．（2022·陜西西安·西安中學?？寄M預測）某同學用二分法求函數(shù)的零點時，計算出如下結果：，，下列說法正確的有（

）A．是滿足精度為的近似值.B．是滿足精度為的近似值C．是滿足精度為的近似值D．是滿足精度為的近似值【答案】B【解析】，又A錯誤；，又，滿足精度為的近似值在內，則B正確，D錯誤；，C錯誤.故選：B.3．（2023春·江蘇宿遷）用二分法求方程在內的近似解，已知判斷，方程的根應落在區(qū)間（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，因為與在上單調遞增，所以在上單調遞增，因為，，，所以在上有唯一零點，即，故，所以方程的根落在區(qū)間上，故選：B.4．（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)在(1,2)內有一個零點，要使零點的近似值滿足精確度為0.01，則對區(qū)間至少二等分（

）A．5次 B．6次 C．7次 D．8次【答案】C【解析】區(qū)間的長度為，第次二等分，區(qū)間長度變?yōu)椋坏诖味确?，區(qū)間長度變?yōu)?；第次二等分，區(qū)間長度變?yōu)椋坏诖味确?，區(qū)間長度變?yōu)椋坏诖味确?，區(qū)間長度變?yōu)?；第次二等分，區(qū)間長度變?yōu)?，第次二等分，區(qū)間長度變?yōu)?所以要使零點的近似值滿足精確度為0.01，則對區(qū)間至少二等分次.故選：C考法八嵌套零點【例8-1】（2023·四川涼山）函數(shù)，則函數(shù)的所有零點之和為（

）A．0 B．3 C．10 D．13【答案】D【解析】令，由得或，所以或，當時，或，當時，則或，解得，所以函數(shù)的所有零點之和為.故選：D.【例8-2】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，對，令，令，可知在上單調遞增，在上單調遞減，且趨向負無窮時，，時，，故結合對數(shù)函數(shù)圖象，可畫出函數(shù)圖像如下圖所示：函數(shù)的零點，即，令，代入可得，由圖像可知，即，結合函數(shù)圖像可知，有1個解，綜合可知，函數(shù)的零點有1個，故選：A.【例8-3】（2023·北京朝陽·二模）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當時，.若關于x的方程有且僅有兩個不相等的實數(shù)解則實