2024-2025學年甘肅省張掖市高三上學期10月月考數(shù)學質(zhì)量檢測試卷（附解析）

2024-2025學年甘肅省張掖市高三上學期10月月考數(shù)學質(zhì)量檢測試卷考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù)，導數(shù)，三角函數(shù)，三角恒等變換，解三角形，平面向量.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則的真子集個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】B【分析】根據(jù)交集運算和真子集的定義求解.【詳解】因為，所以，所以的真子集個數(shù)為個.故選：B.2.已知，，向量，滿足，則“，不共線”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)充分，必要條件的定義，結合向量共線定理，即可判斷.【詳解】若，不共線，由及平面向量基本定理，得；若，無論，共線與否，都有.綜上，“，不共線”是“”的充分不必要條件.故選：A3.已知，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出參數(shù)范圍比較即可.【詳解】因為，，，所以.故選：D.4.若曲線與軸，直線的交點分別為為坐標原點，則向量與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先求得兩點的坐標，然后根據(jù)向量運算求得正確答案.【詳解】依題意，，，解得，故，由，所以，解得，所以，所以，所以.故選：C5.已知是以為直徑的圓上一點，為的中點，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律即可求解.【詳解】如圖，連接，，因為是圓的直徑，所以，又，，則，又是的中點，則，.故選：B.6.已知角的始邊為軸的非負半軸，終邊過點，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由三角函數(shù)定義可得，，再結合二倍角公式與兩角差的余弦公式計算即可得解.【詳解】由三角函數(shù)的定義，得，，所以，，.故選：D.7.已知函數(shù)（為常數(shù)），若在上的最大值為，最小值為，且，則（）A.6 B.4 C.3 D.2【正確答案】D【分析】將函數(shù)解析式化為，令，則，設，，可判斷是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)及，求得答案.【詳解】因為，，令，則，設，，則，所以是奇函數(shù)，最大值為，最小值為，則，由，解得.故選：D.8.在中，角為銳角，的面積為，且，則周長的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用三角恒等變換、正弦定理等知識判斷出三角形是直角三角形，利用基本不等式求得周長的最小值.【詳解】依題意，，由得，即，，由于是銳角，所以，與一正一負，或，若，即，由于，所以，所以，，此不等式組無解，所以不成立.同理可得不成立.所以，所以，所以，.所以，所以三角形的周長，當且僅當時等號成立，所以三角形的周長的最小值為.故選：A本題涉及幾何中的面積和周長問題，結合了三角函數(shù)和基本不等式，考查了學生的綜合解題能力．解題過程中，利用基本不等式求周長的最小值，這是本題的關鍵點之一．基本不等式的應用不僅要找到正確的表達式，還需要驗證等號成立的條件，以確保最小值能夠?qū)嶋H取到．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù) B.的最小正周期為C.區(qū)間上單調(diào)遞減 D.在上有4個零點【正確答案】AB【分析】通過和差角公式化簡函數(shù)解析式，由三角函數(shù)圖形及性質(zhì)即可判斷.詳解】對于A：，顯然為偶函數(shù)，故A正確；對于B：最小正周期，故B正確；對于C：當時，，因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D：由，得，所以在上的零點有，，，共3個，故D錯誤.故選：AB.10.若實數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】把作為主元，求得，分類計算求得的最值，可判斷AB；方程變形為，可得判斷C；賦值法可判斷D.【詳解】因為，可得，當時，可得，令，求導得，令，可得，解得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，無最小值，故，當時，可得，令，求導得，令，可得，解得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，無最大值，故，故A正確，B錯誤；由，可得，所以，所以，當且僅當，即或時取等號，故C正確；當時，方程，，方程有解，所以，故D錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關于點對稱B.為奇函數(shù)C.是的極小值點D.在上有極值【正確答案】ABC【分析】由對稱中心的定義代入驗證可得滿足，即可知A正確；利用奇函數(shù)定義化簡可得B正確，對函數(shù)求導并判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，即可判斷C正確，利用輔助角公式化簡并根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可判斷D錯誤.【詳解】對于A，由易知,即滿足，所以的圖象關于點對稱，可得A正確；對于B，易知，滿足奇函數(shù)定義，即可得奇函數(shù)，即B正確；對于C，求導可得，不妨只研究當時的單調(diào)性，當時，，當時，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此在處取得極小值，所以是的極小值點，即C正確.對于D，由可知，當時，，此時函數(shù)在上是單調(diào)遞減的，因此在上沒有極值，即D錯誤.故選：ABC關鍵點點睛：本題關鍵在于利用中心對稱函數(shù)性質(zhì)驗證選項中的對稱中心是否滿足中心對稱表達式，并充分利用三角函數(shù)性質(zhì)解決極值點問題.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則曲線在點處的切線方程為__________.【正確答案】【分析】求導，即可求解斜率，根據(jù)點斜式即可求解直線方程.【詳解】，故，又，故曲線在點處的切線方程為，即，故13.若定義在上的函數(shù)滿足：，且，則______.【正確答案】3【分析】根據(jù)題意，由條件可得4為的一個周期，然后取即可得到的值，即可得到結果.【詳解】因為，所以，所以，4為的一個周期，則，又，取，得，所以，故.故314.如圖的“心形”曲線恰好是半圓，半圓，曲線組合而成的，則曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于__________.【正確答案】【分析】先求出兩個半圓面的面積，再求曲線與、軸圍成的區(qū)域的面積，根據(jù)對稱性得出與、軸圍成的區(qū)域的面積，即可得解.【詳解】設，線段的中點為，如圖，因為曲線關于點對稱，所以可將曲線與軸、軸圍成的區(qū)域割補為直角三角形的區(qū)域，于是曲線與軸、軸圍成的區(qū)域的面積就是直角三角形的面積，即；根據(jù)對稱性，可得曲線與、軸圍成的區(qū)域的面積為，又曲線所圍成的“心形”區(qū)域中，兩個半圓的面積為，所以曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于.故關鍵點睛：解法的關鍵是根據(jù)余弦型函數(shù)為中心對稱圖象，據(jù)此采用割補的方法，轉(zhuǎn)化為直角三角形的面積.四?解答題；本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（1）已知是第三象限角，且是方程的一個實根，求的值；（2）已知，且，求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意得到的值，將除以，分子分母同時除以，即可得到有關的式子，代入即可得到答案；（2）先根據(jù)完全平方公式得到的值，然后再利用完全平方公式得到的值，構造等式即可求得結果.【詳解】（1）由，得，或，∵是方程的一個實根，且是第三象限角，∴，∴；（2）∵，∴，則，∵，所以，，故，.16.已知函數(shù)，且圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為.（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將圖象上的所有點的橫坐標向右平移個單位長度（縱坐標不變），再向上平移個單位長度，再將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上存在零點，求的取值范圍.【正確答案】（1）；單調(diào)遞增區(qū)間為：；（2）【分析】（1）先利用誘導公式、正弦的和角公式、二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求出解析式，利用整體思想分離參數(shù)結合二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可.【小問1詳解】由，因為圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為，所以其最小正周期為，則，令，解之得；【小問2詳解】由題意可知將圖象上的所有點的橫坐標向右平移個單位長度（縱坐標不變），再向上平移個單位長度可得，再將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)，當，所以，令，則條件可化為在時有解，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，易知，則，解之得.17.在中，角的對邊分別為.（1）求；（2）已知為的平分線，交于點，且為線段上一點，且，求的周長.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結合和差公式展開化簡可得；（2）利用面積公式和余弦定理列方程組求解出，可知為等腰三角形，然后結合已知即可得解.【小問1詳解】，，，，，，，又，.【小問2詳解】因為BD為的平分線，，所以，又，，所以，即，①由余弦定理，得，即，②由①②可得（舍去負值），，所以a，c是關于的方程的兩個實根，解得.又因為BD為的平分線，所以，又，，所以，，所以的周長為.18.如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構成的坐標系，稱為“完美坐標系”.設，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實數(shù)對叫做向量的“完美坐標”.（1）若向量的“完美坐標”為，求；（2）已知，分別為向量，的“完美坐標”，證明：；（3）若向量，的“完美坐標”分別為，，設函數(shù)，x∈R，求的值域.【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）【分析】（1）先計算的值，再由，利用向量數(shù)量積的運算律計算即可；（2）利用向量數(shù)量積的運算律計算并化簡即可得證；（3）利用（2）的公式計算，設，求出，將轉(zhuǎn)化成，結合二次函數(shù)的圖象即可求得的值域.【小問1詳解】因為的“完美坐標”為，則，又因為，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，且夾角為，所以,，所以.【小問2詳解】由（1）知，所以，即.【小問3詳解】因為向量，的“完美坐標”分別為，，由（2）得.令，則，因為x∈R，所以，即，令，因為的圖象是對稱軸為，開口向上的拋物線的一部分，所以當時，取得最小值，當時，取得最大值，所以的值域為.思路點睛：本題在求解與之相關函數(shù)問題時，應按照新定義，準確寫出函數(shù)解析式，對于較復雜的三角式，常常運用整體換元思想，將其轉(zhuǎn)化成熟悉的函數(shù)，如二次函數(shù)、雙勾函數(shù)等，利用這些函數(shù)的圖象性質(zhì)特征求解即可.19.已知函數(shù).（1）證明：當時，只有1個零點；（2）當時，討論的單調(diào)性；（3）若，設，證明.【正確答案】（1）證明見解析（2）答案見詳解（3）證明見解析【分析】（1）利用導函數(shù)與單調(diào)性關系，確定的單調(diào)性，即可證明；（2）利用導函數(shù)與單調(diào)性的關系，結合的不同取值討論求解；（3）將所需證明的不等式等價轉(zhuǎn)化為，設，則只需證明，即，構造函數(shù)利用導函數(shù)與最值的關系證明.【小問1詳解】當時，，則函數(shù)的定義域為，恒成立，所以在單調(diào)遞增，且，根據(jù)零點唯一性定理可知，只有1個零點為0.【小問2詳解】，因為，所以定義域為，，因為，當，即時，恒成立，即，則函數(shù)在單調(diào)遞減；當，即時，方程的兩個根