河南省新鄉(xiāng)市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

新鄉(xiāng)市2023-2024學(xué)年高一期末（下）測(cè)試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè)占25%，第二冊(cè)占75%.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.（）A. B.C. D.3.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（）A0 B.1 C. D.24已知平面向量，滿足，，且，則（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.0 B.1 C.2 D.6.將顏色為紅、黃、白的3個(gè)小球隨機(jī)分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人1個(gè)，則與事件“甲分得紅球，乙分得黃球或甲分得黃球、乙分得紅球”互為對(duì)立事件的是（）A.甲分得黃球 B.甲分得白球C.丙沒有分得白球 D.甲分得白球，乙分得黃球7.已知，且，則（）A.1 B.3 C.5 D.78.在正三棱柱中，，M是AB的中點(diǎn)，N是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與平面所成角的正切值的最大值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)分別在棱，，，上，且平面平面，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.平面10.Z國(guó)進(jìn)口的天然氣主要分為液化天然氣和氣態(tài)天然氣兩類.2023年Z國(guó)天然氣進(jìn)口11997噸，其中液化天然氣進(jìn)口7132噸，氣態(tài)天然氣進(jìn)口4865噸.2023年Z國(guó)天然氣及氣態(tài)天然氣進(jìn)口來源分布及數(shù)據(jù)如圖所示：下列結(jié)論正確的是（）A.2023年Z國(guó)從B國(guó)進(jìn)口的液化天然氣比從A國(guó)進(jìn)口的多B.2023年Z國(guó)沒有從A國(guó)進(jìn)口液化天然氣C.2023年Z國(guó)從C國(guó)進(jìn)口的液化天然氣一定比從D國(guó)進(jìn)口的多D.2023年Z國(guó)從B國(guó)進(jìn)口的液化天然氣一定比從D國(guó)進(jìn)口的多11.在中，D是BC的中點(diǎn)，，，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.面積最大值為C. D.若，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.函數(shù)的最大值為______.13.在某次調(diào)查中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法得到10個(gè)A類樣本，30個(gè)B類樣本.若A類樣本的平均數(shù)為5.5，總體的平均數(shù)為4，則B類樣本的平均數(shù)為______.14.已知某圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為3，下底面的半徑為1，若球O與該圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切，則球O的表面積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）求在上值域.16.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）證明：；（2）若，，求的周長(zhǎng).17.為了解某校高一年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階段性表現(xiàn)，該年級(jí)組織了一次測(cè)試.已知此次考試共有1000名學(xué)生參加，將考試成績(jī)分成六組：第一組，第二組，…，第六組.整理數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）該校根據(jù)試卷的難易程度進(jìn)行分析，認(rèn)為此次成績(jī)不低于110分，則階段性學(xué)習(xí)達(dá)到“優(yōu)秀”，試估計(jì)這1000名學(xué)生中階段性學(xué)習(xí)達(dá)到“優(yōu)秀”的人數(shù)；（2）若采用等比例分層抽樣的方法，從成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)的學(xué)生中共抽取6人，查看他們的答題情況來分析知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，再?gòu)闹须S機(jī)選取3人進(jìn)行面對(duì)面調(diào)查分析，求這3人中恰有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，E是PC中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱BP上，且，四邊形ABCD為正方形，.（1）證明：；（2）求三棱錐的體積；（3）求二面角的余弦值.19.在世界杯小組賽階段，每個(gè)小組內(nèi)的四支球隊(duì)進(jìn)行循環(huán)比賽，共打6場(chǎng)，每場(chǎng)比賽中，勝、平、負(fù)分別積3，1，0分.每個(gè)小組積分的前兩名球隊(duì)出線，進(jìn)入淘汰賽.若出現(xiàn)積分相同的情況，則需要通過凈勝球數(shù)等規(guī)則決出前兩名，每個(gè)小組前兩名球隊(duì)出線，進(jìn)入淘汰賽.假定積分相同的球隊(duì)，通過凈勝球數(shù)等規(guī)則出線的概率相同（例如：若B，C，D三支積分相同的球隊(duì)同時(shí)爭(zhēng)奪第二名，則每個(gè)球隊(duì)奪得第二名的概率相同）.已知某小組內(nèi)的A，B，C，D四支球隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，且每支球隊(duì)在每場(chǎng)比賽中勝、平、負(fù)的概率都是，每場(chǎng)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求A球隊(duì)在小組賽的3場(chǎng)比賽中只積3分的概率；（2）已知在已結(jié)束的小組賽的3場(chǎng)比賽中，A球隊(duì)勝2場(chǎng)，負(fù)1場(chǎng)，求A球隊(duì)最終小組出線的概率.新鄉(xiāng)市2023-2024學(xué)年高一期末（下）測(cè)試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè)占25%，第二冊(cè)占75%.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，集合里的元素為整數(shù)，集合需解出具體解集，結(jié)合交集，得解.【詳解】因，，所以.故答案選：C2.（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則可得答案.【詳解】.故選：B3.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（）A.0 B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用奇函數(shù)定義，列式計(jì)算即得.【詳解】由函數(shù)是奇函數(shù)，得，則，解得，函數(shù)定義域?yàn)?，是奇函?shù)，所以.故選：A4.已知平面向量，滿足，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)兩邊平方可得，再由向量的夾角公式計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)椋?，所以?故選：D.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】由圖中周期可得，由可得，后可得答案.【詳解】由圖可得，，則.因?yàn)?，所以，則.因?yàn)?，所以，，解得?因?yàn)?，所以，則，故.故選：A6.將顏色為紅、黃、白的3個(gè)小球隨機(jī)分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人1個(gè)，則與事件“甲分得紅球，乙分得黃球或甲分得黃球、乙分得紅球”互為對(duì)立事件的是（）A.甲分得黃球 B.甲分得白球C.丙沒有分得白球 D.甲分得白球，乙分得黃球【答案】C【解析】【分析】由對(duì)立事件的概念即可得解.【詳解】甲分得紅球，乙分得黃球或甲分得黃球，乙分得紅球，即丙分得白球，與丙沒有分得白球互為對(duì)立事件.故選：C.7.已知，且，則（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】利用湊角、兩角和與差的正弦展開式化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，展開化簡(jiǎn)，所以，故.故選：C.8.在正三棱柱中，，M是AB的中點(diǎn)，N是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與平面所成角的正切值的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，先畫出圖象，作，然后由面面的垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而可知為直線與平面所成的角，當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，取得最小值，從而可得直線與平面所成角的正切值的最大值.【詳解】如圖，作，垂足為G，連接.在正三棱柱中，平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，，所以平?故為直線與平面所成的角.當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，取得最小值.不妨設(shè)，則，的最小值為a，于是.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)分別在棱，，，上，且平面平面，下列結(jié)論正確是（）A. B.C. D.平面【答案】ABD【解析】【分析】利用面面平行的性質(zhì)結(jié)合線面平行的判定定理逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面與平面和平面的都相交，是交線，所以，故A正確；因?yàn)殚L(zhǎng)方體，所以平面平面，而平面與這兩個(gè)平行平面的都相交，是交線，所以，故B正確，如圖，連接，此時(shí)平面與平面和平面的都相交，是交線，所以，而，所以，又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，，所以四邊形平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以與不平行，故C錯(cuò)誤；如圖，連接，由長(zhǎng)方體性質(zhì)得面面，此時(shí)平面與這兩個(gè)平面的都相交，是交線，所以，又因?yàn)槊?，面，所以平面，故D正確.故選：ABD10.Z國(guó)進(jìn)口的天然氣主要分為液化天然氣和氣態(tài)天然氣兩類.2023年Z國(guó)天然氣進(jìn)口11997噸，其中液化天然氣進(jìn)口7132噸，氣態(tài)天然氣進(jìn)口4865噸.2023年Z國(guó)天然氣及氣態(tài)天然氣進(jìn)口來源分布及數(shù)據(jù)如圖所示：下列結(jié)論正確的是（）A.2023年Z國(guó)從B國(guó)進(jìn)口的液化天然氣比從A國(guó)進(jìn)口的多B.2023年Z國(guó)沒有從A國(guó)進(jìn)口液化天然氣C.2023年Z國(guó)從C國(guó)進(jìn)口的液化天然氣一定比從D國(guó)進(jìn)口的多D.2023年Z國(guó)從B國(guó)進(jìn)口的液化天然氣一定比從D國(guó)進(jìn)口的多【答案】ABC【解析】【分析】由餅狀統(tǒng)計(jì)圖的實(shí)際含義逐一驗(yàn)算各個(gè)選項(xiàng)即可求解.【詳解】對(duì)于B，2023年Z國(guó)從A國(guó)進(jìn)口天然氣2480噸，全部為氣態(tài)天然氣，所以2023年Z國(guó)沒有從A國(guó)進(jìn)口液化天然氣，B正確.對(duì)于A，2023年Z國(guó)從B國(guó)進(jìn)口天然氣2435噸，其中氣態(tài)天然氣1630噸，液化天然氣805噸，所以2023年Z國(guó)從B國(guó)進(jìn)口的液化天然氣比從A國(guó)進(jìn)口的多，A正確.對(duì)于C，假設(shè)2023年Z國(guó)氣態(tài)天然氣其余部分全部來自C國(guó)，共噸，則Z國(guó)從C國(guó)進(jìn)口液化天然氣噸，仍然大于從D國(guó)進(jìn)口的天然氣的總量，所以2023年Z國(guó)從C國(guó)進(jìn)口的液化天然氣一定比從D國(guó)進(jìn)口的多，C正確.對(duì)于D，2023年Z國(guó)從B國(guó)進(jìn)口液化天然氣噸，2023年Z國(guó)從D國(guó)進(jìn)口的天然氣總量為1666噸，若全部為液化天然氣，則2023年Z國(guó)從B國(guó)進(jìn)口的液化天然氣比從D國(guó)進(jìn)口的少，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.在中，D是BC的中點(diǎn)，，，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.面積的最大值為C. D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可判定A;根據(jù)三角形面積公式可判定B;根據(jù)向量運(yùn)算可判定C;結(jié)合正余弦定理可判定D.【詳解】在中，，所以，，A錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，最大，所以面積的最大值為，B正確.，C正確.在中，由正弦定理可得，得.在中，由余弦定理可得，即.在中，由余弦定理可得，即，所以，整理得，解得（舍去），D正確.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.函數(shù)的最大值為______.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得，再由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故函?shù)的最大值為4.故答案為：4.13.在某次調(diào)查中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法得到10個(gè)A類樣本，30個(gè)B類樣本.若A類樣本的平均數(shù)為5.5，總體的平均數(shù)為4，則B類樣本的平均數(shù)為______.【答案】3.5【解析】【分析】設(shè)B類樣本的平均數(shù)為x，通過總體的平均數(shù)列方程，進(jìn)而解方程可得B類樣本的平均數(shù).【詳解】設(shè)B類樣本的平均數(shù)為x，則，解得.故答案為：.14.已知某圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為3，下底面的半徑為1，若球O與該圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切，則球O的表面積為______．【答案】【解析】【分析】把空間問題降維，轉(zhuǎn)化在軸截面中進(jìn)行研究，需要理解軸截面的概念，利用等面積法及勾股定理建立等式求解．【詳解】解：如圖，在軸截面梯形中，，，設(shè)球O的半徑為r，．，解得：，因?yàn)?，所以，所以球O的表面積為，故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）求在上的值域.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用輔助角公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而求得的最小正周期；（2）利用輔助角公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而求得單調(diào)遞增區(qū)間；（3）利用整體代換的方法，求得在區(qū)間上的值域.【小問1詳解】.最小正周期為2π.【小問2詳解】令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.【小問3詳解】因?yàn)?，所以，所以?故在上的值域?yàn)?16.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）證明：；（2）若，，求的周長(zhǎng).【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理以及三角恒等變換即可得證；（2）由正弦定理以及三角恒等變換即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，則（或，舍去），即.【小問2詳解】因?yàn)?，，所以?.由，可得，.故的周長(zhǎng)為.17.為了解某校高一年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階段性表現(xiàn)，該年級(jí)組織了一次測(cè)試.已知此次考試共有1000名學(xué)生參加，將考試成績(jī)分成六組：第一組，第二組，…，第六組.整理數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）該校根據(jù)試卷的難易程度進(jìn)行分析，認(rèn)為此次成績(jī)不低于110分，則階段性學(xué)習(xí)達(dá)到“優(yōu)秀”，試估計(jì)這1000名學(xué)生中階段性學(xué)習(xí)達(dá)到“優(yōu)秀”的人數(shù)；（2）若采用等比例分層抽樣的方法，從成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)的學(xué)生中共抽取6人，查看他們的答題情況來分析知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，再?gòu)闹须S機(jī)選取3人進(jìn)行面對(duì)面調(diào)查分析，求這3人中恰有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率.【答案】（1）200人（2）【解析】【分析】（1）用學(xué)生成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率乘以1000即可得解；（2）寫出從6人中任選3人的樣本空間，以及抽取的3人中恰有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)的樣本空間寫出來，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式即可求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖，可得學(xué)生成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為0.04，在內(nèi)的頻率為0.16，故估計(jì)這1000名學(xué)生中階段性學(xué)習(xí)達(dá)到“優(yōu)秀”的人數(shù)為.【小問2詳解】學(xué)生成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為0.08，在內(nèi)的頻率為0.16，則抽取的6人中，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有2人，在內(nèi)的有4人.記成績(jī)?cè)趦?nèi)的4名學(xué)生為a，b，c，d，在內(nèi)的2名學(xué)生為E，F(xiàn)，則從6人中任選3人，樣本空間可記，共包含20個(gè)樣本.用事件A表示“這3人中恰有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)”，則A={aEF，bEF，cEF，dEF}，A包含4個(gè)樣本.故所求概率.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱BP上，且，四邊形ABCD為正方形，.（1）證明：；（2）求三棱錐的體積；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定求證；（2）由轉(zhuǎn)化求解；（3）由線面垂直的性質(zhì)得即二面角的平面角，即可求解．【小問1詳解】證明：因?yàn)榈酌?，底面，所?因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所?因?yàn)椋云矫?因?yàn)槠矫?，所?在中，，E是PC的中點(diǎn)，則.因?yàn)?，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋?，所以平?因?yàn)槠矫?，所?【小問2詳解】連接交于點(diǎn)，如圖所示：則，又底面，平面，得，而，則平面，則點(diǎn)C到平面的距離為，因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以，，，，所以，，所以.【小問3詳解】解：由（1）可得平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以?為二面角的平面角.，.因?yàn)?，所以，解?因?yàn)椋?，所?故二面角的余弦值為.19.在世界杯小組賽階段，每個(gè)小組內(nèi)的四支球隊(duì)進(jìn)行循環(huán)比賽，共打6場(chǎng)，每場(chǎng)比賽中，勝、平、負(fù)分別積3，1，0分.每個(gè)小組積分的前兩名球隊(duì)出線，進(jìn)入淘汰賽.若出現(xiàn)積分相同的情況，則需要通過凈勝球數(shù)等規(guī)則決出前兩名，每個(gè)小組前兩名球隊(duì)出線，進(jìn)入淘汰賽.假定積分相同的球隊(duì)，通過凈勝球數(shù)等規(guī)則出線的概率相同（例如：若B，C，D三支積分相同的球隊(duì)同時(shí)爭(zhēng)奪第二名，則每個(gè)球隊(duì)奪得第二名的概率相同）.已知某小組內(nèi)的A，B，C，D四支球隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，