2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)統(tǒng)考第10章統(tǒng)計統(tǒng)計案例第2講用樣本估計總體學(xué)案含解析北師大版

PAGE13-第2講用樣本估計總體基礎(chǔ)學(xué)問整合1．用樣本的頻率分布估計總體分布(1)作頻率分布直方圖的步驟①求極差(即一組數(shù)據(jù)中eq\x(\s\up1(01))最大值與eq\x(\s\up1(02))最小值的差)．②確定eq\x(\s\up1(03))組距與eq\x(\s\up1(04))組數(shù)．③將數(shù)據(jù)eq\x(\s\up1(05))分組．④列eq\x(\s\up1(06))頻率分布表．⑤畫eq\x(\s\up1(07))頻率分布直方圖．(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的eq\x(\s\up1(08))中點，就得到頻率分布折線圖．②總體密度曲線：隨著eq\x(\s\up1(09))樣本容量的增加，作圖時eq\x(\s\up1(10))所分的組數(shù)增加，eq\x(\s\up1(11))組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線．(3)莖葉圖莖是指eq\x(\s\up1(12))中間的一列數(shù)，葉是從莖的eq\x(\s\up1(13))旁邊生長出來的數(shù)．2．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(2)中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排列，若有奇數(shù)個數(shù)，則最中間的數(shù)是中位數(shù)；若有偶數(shù)個數(shù)，則中間兩數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)．(3)平均數(shù)：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\x(\s\up1(14))eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平．(4)標(biāo)準(zhǔn)差：是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，s＝eq\x(\s\up1(15))eq\a\vs4\al(\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2])).(5)方差：s2＝eq\x(\s\up1(16))eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2](xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq\o(x,\s\up6(－))是樣本平均數(shù))．1．頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．2．標(biāo)準(zhǔn)差與方差的特點反映了各個樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)四周的程度．標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)四周越集中；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的兩邊越分散．3．平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，則：①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.1．(2024·全國卷Ⅰ)為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數(shù) B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)答案B解析因為可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)當(dāng)用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差．故選B.2．(2024·云川貴百校聯(lián)考)某課外小組的同學(xué)們從社會實踐活動中調(diào)查了20戶家庭某月的用電量，如下表所示：用電量/度120140160180200戶數(shù)23582則這20戶家庭該月用電量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()A．180,170 B．160,180C．160,170 D．180,160答案A解析用電量為180度的家庭最多，有8戶，故這20戶家庭該月用電量的眾數(shù)是180，解除B，C；將用電量按從小到大的依次排列后，處于最中間位置的兩個數(shù)是160,180，故這20戶家庭該月用電量的中位數(shù)是170.故選A.3．在樣本頻率分布直方圖中，共有9個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他8個長方形的面積和的eq\f(2,5)，且樣本容量為140，則中間一組的頻數(shù)為()A．28 B．40C．56 D．60答案B解析設(shè)中間一個小長方形的面積為x，其他8個長方形的面積為eq\f(5,2)x，因此x＋eq\f(5,2)x＝1，所以x＝eq\f(2,7).所以中間一組的頻數(shù)為140×eq\f(2,7)＝40.故選B.4．(2024·全國卷Ⅱ)演講競賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成果時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差答案A解析中位數(shù)是將9個數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數(shù)據(jù)，因而去掉1個最高分和1個最低分，不變的是中位數(shù)，平均數(shù)、方差、極差均受影響．故選A.5．(2024·江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．答案eq\f(5,3)解析這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，故方差為s2＝eq\f(1,6)×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝eq\f(5,3).6．(2024·全國卷Ⅱ)我國高鐵發(fā)展快速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車全部車次的平均正點率的估計值為________．答案0.98解析因為平均正點率eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98，所以經(jīng)停該站高鐵列車全部車次的平均正點率的估計值為0.98.核心考向突破考向一頻率分布直方圖及應(yīng)用例1(1)(2024·秦皇島模擬)某商場在國慶黃金周的促銷活動中，對10月1日9時至14時的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示．已知9時至10時的銷售額為3萬元，則11時至12時的銷售額為()A．8萬元 B．10萬元C．12萬元 D．15萬元答案C解析由頻率分布直方圖，知9時至10時的銷售額的頻率為0.1，故銷售總額為eq\f(3,0.1)＝30萬元．又11時至12時的銷售額的頻率為0.4，故銷售額為0.4×30＝12萬元．故選C.(2)某高校隨機抽取20個班，調(diào)查各班有出國意向的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示．以5為組距將數(shù)據(jù)分組為[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，所作的頻率分布直方圖是()答案A解析以5為組距將數(shù)據(jù)分組為[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，各組的頻數(shù)依次為1,1,4,2,4,3,3,2，可知畫出的頻率分布直方圖為選項A.1．頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法(1)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．(2)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．2．繪制頻率分布直方圖時需留意(1)制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是不是1來檢驗該表是否正確．(2)頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是eq\f(頻率,組距)，而不是頻率．(3)頻率分布直方圖中各小矩形的高的比就是相應(yīng)各組的頻率之比．[即時訓(xùn)練]1.(2024·貴州黔東南州聯(lián)考)近年呼吁高校招生改革的呼聲越來越高，在贊成高校招生改革的市民中按年齡分組，得到樣本頻率分布直方圖如圖，其中年齡在[30,40)歲的有2500人，年齡在[20,30)歲的有1200人，則m的值為()A．0.013 B．0.13C．0.012 D．0.12答案C解析由題意，得年齡在[30,40)歲的頻率為0.025×10＝0.25，則贊成高校招生改革的市民有eq\f(2500,0.25)＝10000人，又因為年齡在[20,30)歲的有1200人，則m＝eq\f(\f(1200,10000),10)＝0.012.故選C.2．為了解某校高三學(xué)生聯(lián)考的數(shù)學(xué)成果狀況，從該校參與聯(lián)考學(xué)生的數(shù)學(xué)成果中抽取一個樣本，并分成五組，繪成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組至第五組的頻率之比為1∶2∶8∶6∶3，第五組的頻數(shù)為6，則樣本容量為________．答案40解析因為第一組至第五組的頻率之比為1∶2∶8∶6∶3，所以可設(shè)第一組至第五組的頻率分別為k,2k,8k,6k,3k，又頻率之和為1，所以k＋2k＋8k＋6k＋3k＝1，解得k＝eq\f(1,20)＝0.05，所以第五組的頻率為3×0.05＝0.15，又第五組的頻數(shù)為6，所以樣本容量為eq\f(6,0.15)＝40.考向二莖葉圖的應(yīng)用例2(1)(2024·山東高考)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為()A．3,5 B．5,5C．3,7 D．5,7答案A解析甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65，由甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，得y＝5.又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均值相等，∴eq\f(1,5)×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝eq\f(1,5)×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.故選A.(2)(2024·鄭州質(zhì)量預(yù)料)PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．如圖是依據(jù)某地某日早7點到晚8點甲、乙兩個PM2.5監(jiān)測點統(tǒng)計的數(shù)據(jù)(單位：毫克/立方米)列出的莖葉圖，則甲、乙兩地濃度的方差較小的是()A．甲 B．乙C．甲、乙相等 D．無法確定答案A解析從莖葉圖上可以視察到：甲監(jiān)測點的樣本數(shù)據(jù)比乙監(jiān)測點的樣本數(shù)據(jù)更加集中，因此甲地濃度的方差較小．莖葉圖的繪制及應(yīng)用(1)制作莖葉圖的一般方法是：將全部兩位數(shù)的十位數(shù)字作為“莖”，個位數(shù)字作為“葉”，莖相同者共用一個莖，莖按從小到大依次由上到下列出．(2)估計數(shù)字特征，給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較?。甗即時訓(xùn)練]3.(2024·唐山五校聯(lián)考)某校開展攝影競賽，9位評委為參賽作品A給出的分?jǐn)?shù)如圖所示．記分員在去掉一個最高分和一個最低分后，算得平均分為91.復(fù)核員在復(fù)核時，發(fā)覺有一個數(shù)字(莖葉圖中的x)無法看清．若記分員計算無誤，則數(shù)字x應(yīng)當(dāng)是()A．1 B．2C．3 D．4答案A解析當(dāng)x≥4時，eq\f(89＋89＋92＋93＋92＋91＋94,7)＝eq\f(640,7)≠91.當(dāng)x<4時，eq\f(89＋89＋92＋93＋90＋x＋92＋91,7)＝91，所以x＝1，故選A.精準(zhǔn)設(shè)計考向，多角度探究突破考向三數(shù)字特征的應(yīng)用角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(1))樣本的數(shù)字特征與直方圖例3(2024·益陽模擬)為了了解某校九年級1600名學(xué)生的體能狀況，隨機抽查了部分學(xué)生，測試1分鐘仰臥起坐的成果(次數(shù))，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，依據(jù)統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯誤的是()A．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為26.25B．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為27.5C．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的人數(shù)約為320D．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)約為32答案D解析由頻率分布直方圖可知，中位數(shù)是頻率分布直方圖面積等分線對應(yīng)的數(shù)值，是26.25；眾數(shù)是最高矩形的中間值27.5；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的頻率為0.2，所以估計1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的人數(shù)為320；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的頻率為0.1，所以估計1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)為160.故D錯誤．角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(2))樣本的數(shù)字特征與莖葉圖例4為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫狀況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)(單位：℃)制成如圖所示的莖葉圖．考慮以下結(jié)論：①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；③甲地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差；④甲地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差．其中依據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的編號為()A．①③ B．①④C．②③ D．②④答案B解析由莖葉圖，得eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(26＋28＋29＋31＋31,5)＝29，∴eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙，s甲>s乙，故選B.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的意義及常用結(jié)論(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的狀況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波動大?。?2)方差的簡化計算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]，或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，即方差等于原始數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．[即時訓(xùn)練]4.如圖是某工廠對一批新產(chǎn)品長度(單位：mm)檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，估計這批產(chǎn)品的平均長度為________mm.答案22.75解析依據(jù)頻率分布直方圖，估計這批產(chǎn)品的平均長度為(12.5×0.02＋17.5×0.04＋22.5×0.08＋27.5×0.03＋32.5×0.03)×5＝22.75mm.5．對甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進(jìn)行了6次測試，測得他們的最大速度(單位：m/s)的數(shù)據(jù)如下：甲273830373531乙332938342836(1)畫出莖葉圖；(2)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度(m/s)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差、極差，并推斷選誰參與競賽比較合適？解(1)畫莖葉圖如下(中間數(shù)為數(shù)據(jù)的十位數(shù))．(2)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(27＋38＋30＋37＋35＋31,6)＝33.eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(33＋29＋38＋34＋28＋36,6)＝33.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.甲的極差為11，乙的極差為10.綜合比較以上數(shù)據(jù)可知，甲、乙平均數(shù)相同，但乙的極差、方差相對更小，成果更穩(wěn)定，故選乙參與競賽較合適．(2024·湖北黃岡模擬)從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)覺其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示．(1)直方圖中x的值為________；(2)在