2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)統(tǒng)考第8章立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖學(xué)案含解析北師大版

PAGE1-第八章立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖基礎(chǔ)學(xué)問整合1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面相互eq\x(\s\up1(01))平行且eq\x(\s\up1(02))全等多邊形相互eq\x(\s\up1(03))平行且eq\x(\s\up1(04))相像側(cè)棱eq\x(\s\up1(05))平行且相等相交于eq\x(\s\up1(06))一點(diǎn)，但不肯定相等延長(zhǎng)線交于eq\x(\s\up1(07))一點(diǎn)側(cè)面形態(tài)eq\x(\s\up1(08))平行四邊形eq\x(\s\up1(09))三角形eq\x(\s\up1(10))梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線相互平行且相等，eq\x(\s\up1(11))垂直于底面相交于eq\x(\s\up1(12))一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于eq\x(\s\up1(13))一點(diǎn)—軸截面全等的eq\x(\s\up1(14))矩形全等的eq\x(\s\up1(15))等腰三角形全等的eq\x(\s\up1(16))等腰梯形eq\x(\s\up1(17))圓側(cè)面綻開圖eq\x(\s\up1(18))矩形eq\x(\s\up1(19))扇形eq\x(\s\up1(20))扇環(huán)—(3)特殊的四棱柱2．直觀圖(1)畫法：常用eq\x(\s\up1(21))斜二測(cè)畫法．(2)規(guī)則①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為eq\x(\s\up1(22))45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面eq\x(\s\up1(23))垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍eq\x(\s\up1(24))平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度eq\x(\s\up1(25))不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中eq\x(\s\up1(26))變?yōu)樵瓉淼囊话耄?．三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的eq\x(\s\up1(27))正前方、eq\x(\s\up1(28))正左方、eq\x(\s\up1(29))正上方視察幾何體畫出的輪廓線．說明：正視圖也稱主視圖，側(cè)視圖也稱左視圖．(2)三視圖的畫法①基本要求：eq\x(\s\up1(30))長(zhǎng)對(duì)正，eq\x(\s\up1(31))高平齊，eq\x(\s\up1(32))寬相等．②畫法規(guī)則：eq\x(\s\up1(33))正側(cè)一樣高，eq\x(\s\up1(34))正俯一樣長(zhǎng)，eq\x(\s\up1(35))側(cè)俯一樣寬；重疊的線只畫一條，看不到的線畫eq\x(\s\up1(36))虛線．1．常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖(1)球的三視圖都是半徑相等的圓．(2)水平放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰三角形．(3)水平放置的圓臺(tái)的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰梯形．(4)水平放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖均為全等的矩形．2．在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來，即“眼見為實(shí)、不見為虛”．在三視圖的推斷與識(shí)別中要特殊留意其中的虛線．3．斜二測(cè)畫法中的“三變”與“三不變”“三變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角變更，,與y軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?圖形變更.))“三不變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不變更，,與x，z軸平行的線段的長(zhǎng)度不變更，,相對(duì)位置不變更.))4．直觀圖與原圖形面積的關(guān)系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形(或S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖)．1．下列結(jié)論正確的是()A．側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐B．六條棱長(zhǎng)均相等的四面體是正四面體C．有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱D．用一個(gè)平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺(tái)答案B解析底面是等邊三角形，且各側(cè)面三角形全等，這樣的三棱錐才是正三棱錐，A錯(cuò)誤；斜四棱柱也可能有兩個(gè)側(cè)面是矩形，C錯(cuò)誤；截面平行于底面時(shí)，底面與截面之間的部分才叫圓臺(tái)，D錯(cuò)誤．2．如圖，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是()A．①② B．②③C．②④ D．③④答案C解析由幾何體的結(jié)構(gòu)可知，如圖放置的圓錐、正四棱錐各自的正視圖和側(cè)視圖相同，且其不與俯視圖相同；正方體的三個(gè)視圖都相同；正三棱臺(tái)的三個(gè)視圖都不相同，故選C.3．一水平放置的平面圖形，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，則原平面圖形的面積為()A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C．4eq\r(3) D．8eq\r(2)答案D解析由斜二測(cè)畫法可知，原平面圖形是一個(gè)平行四邊形，且平行四邊形的一組對(duì)邊長(zhǎng)為2.在斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖中，∠B′O′A′＝45°且O′B′＝2eq\r(2)，那么在原圖形中，∠BOA＝90°且OB＝4eq\r(2)，因此，原平面圖形的面積為2×4eq\r(2)＝8eq\r(2)，故選D.4．(2024·廣州期末)用一個(gè)平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是()答案B解析俯視圖中明顯應(yīng)有一個(gè)被遮擋的圓，所以內(nèi)圓是虛線，故選B.5．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()答案D解析由三視圖知該幾何體的上半部分是一個(gè)三棱柱，下半部分是一個(gè)四棱柱．故選D.6．某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析依據(jù)三視圖，還原四棱錐，如圖．在四棱錐S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC.AB＝1，AD＝DC＝SD＝2.明顯△SDA，△SDC是直角三角形．另外SD⊥AB，AB⊥AD，SD∩AD＝D，∴AB⊥平面SAD.又SA?平面SAD，∴AB⊥SA，即△SAB是直角三角形．又計(jì)算△SBC的三邊長(zhǎng)并由勾股定理知其不是直角三角形．故選C.

核心考向突破考向一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1下列說法正確的是()A．有兩個(gè)平面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形C．有兩個(gè)平面相互平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后不肯定交于一點(diǎn)答案B解析A錯(cuò)誤，如圖1；B正確，如圖2，其中PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，可以證明∠PAB，∠PCB都是直角，這樣四個(gè)側(cè)面都是直角三角形；C錯(cuò)誤，如圖3；D錯(cuò)誤，由棱臺(tái)的定義知，其側(cè)棱必相交于同一點(diǎn)．識(shí)別空間幾何體的兩種方法(1)定義法：緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的狀況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，依據(jù)定義進(jìn)行判定．(2)反例法：通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可．[即時(shí)訓(xùn)練]1.下列結(jié)論正確的是()A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上隨意一點(diǎn)的連線都是母線答案D解析如圖1知，A不正確；如圖2，當(dāng)兩個(gè)平行平面與底面不平行時(shí)，截得的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，B不正確；若六棱錐的全部棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必定要大于底面邊長(zhǎng)，C錯(cuò)誤；由母線的概念知，D正確．考向二平面圖形與其直觀圖的關(guān)系例2(1)如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝2，則原圖形OABC的面積為()A．24eq\r(2) B．12eq\r(2)C．48eq\r(2) D．20eq\r(2)答案A解析由題意知原圖形OABC是平行四邊形，且OA＝BC＝6，設(shè)平行四邊形OABC的高為OE，則OE×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4eq\r(2)，∴S?OABC＝6×4eq\r(2)＝24eq\r(2).故選A.(2)在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________．答案eq\f(\r(2),2)解析因?yàn)镺E＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，所以O(shè)′E′＝eq\f(1,2)，E′F′＝eq\f(\r(2),4)，所以直觀圖A′B′C′D′的面積為S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).畫幾何體的直觀圖一般采納斜二測(cè)畫法，其規(guī)則可以用“斜”(兩坐標(biāo)軸成45°或135°)和“二測(cè)”(平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，平行于x軸和z軸的線段長(zhǎng)度不變)來駕馭．對(duì)直觀圖的考查有兩個(gè)方向，一是已知原圖形求直觀圖的相關(guān)量，二是已知直觀圖求原圖形中的相關(guān)量．[即時(shí)訓(xùn)練]2.(2024·桂林模擬)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2答案D解析如圖①、②所示的平面圖形和直觀圖．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于點(diǎn)D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.3.用斜二測(cè)畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為2eq\r(2)答案8cm2解析解法一：依題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，上、下底的長(zhǎng)分別與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面圖形的面積為8cm2.解法二：依題意可知，S直觀圖＝2eq\r(2)故S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖＝8cm2.精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破考向三空間幾何體的三視圖角度1由空間幾何體的直觀圖識(shí)別三視圖例3(1)(2024·全國(guó)卷Ⅲ)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()答案A解析視察圖形易知卯眼處應(yīng)以虛線畫出，俯視圖為，故選A.(2)(2024·南昌聯(lián)考)已知底面為正方形的四棱錐，其一條側(cè)棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的()答案C解析由題意，得該四棱錐的直觀圖如圖1所示，則其三視圖如圖2.角度2由空間幾何體的三視圖還原直觀圖例4(1)(2024·廣州二模)如圖是一個(gè)物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直觀圖是()答案D解析先視察俯視圖，由俯視圖可知B和D中的一個(gè)正確，由正視圖和側(cè)視圖，可知D正確．(2)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的全部面中直角三角形的個(gè)數(shù)是()A．2 B．3C．4 D．5

答案C解析由三視圖知，可將此幾何體還原在正方體中，為如圖所示的四棱錐P－ABCD.易知四棱錐P－ABCD的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，所以此幾何體的全部面中直角三角形的個(gè)數(shù)是4，故選C.角度3由兩個(gè)視圖補(bǔ)畫第三個(gè)視圖例5(1)(2024·天津模擬)將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正(主)視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()答案B解析由幾何體的正(主)視圖、俯視圖以及題意可畫出幾何體的直觀圖，如圖所示．從左側(cè)視察直觀圖，可知截面體現(xiàn)為從左上到右下的虛線．故選B.(2)(2024·沈陽模擬)一個(gè)錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下面選項(xiàng)中，不行能是該錐體的俯視圖的是()答案C解析若俯視圖為C，側(cè)視圖的寬應(yīng)為俯視圖中三角形的高eq\f(\r(3),2)，所以俯視圖不行能是C.故選C.三視圖問題的常見類型及求解策略(1)在分析空間幾何體的三視圖時(shí)，先依據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后依據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形態(tài)，即可得到結(jié)果．(2)在由三視圖還原空間幾何體的實(shí)際形態(tài)時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮．(3)常見的三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體①三視圖為三個(gè)三角形，對(duì)應(yīng)三棱錐；②三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)四棱錐；③三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)圓，對(duì)應(yīng)圓錐；④三視圖為一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)三棱柱；⑤三視圖為兩個(gè)四邊形，一個(gè)圓，對(duì)應(yīng)圓柱．[即時(shí)訓(xùn)練]4.若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是()答案A解析該幾何體是正方體的一部分，結(jié)合側(cè)視圖可知直觀圖為A中的圖．故選A.5．(2024·廣州市綜合測(cè)試)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的正視圖(等