第06講-向量法求空間角(含探索性問(wèn)題)(分層精練)(原卷版)

第06講向量法求空間角（含探索性問(wèn)題）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·甘肅張掖·高二高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點(diǎn)B是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·浙江金華·高二統(tǒng)考期末）桁架橋指的是以桁架作為上部結(jié)構(gòu)主要承重構(gòu)件的橋梁．桁架橋一般由主橋架、上下水平縱向聯(lián)結(jié)系、橋門(mén)架和中間橫撐架以及橋面系組成．下面是某桁架橋模型的一段，它是由一個(gè)正方體和一個(gè)直三棱柱構(gòu)成．其中，那么直線AH與直線IG所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考二模）在四棱錐中，底面，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則直線與平面所成的角的正弦值為（

）A． B． C． D．6．（2023春·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)校考期中）在正方體中，為棱的中點(diǎn)，為直線上的異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則異面直線與所成的角的最小值為，則（

）A． B． C． D．7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“塹堵”“陽(yáng)馬”和“鱉臑”是我國(guó)古代對(duì)一些特殊幾何體的稱謂．《九章算術(shù)·商功》中描述：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，其一為鱉臑．”一個(gè)長(zhǎng)方體沿對(duì)角面斜解（圖），得到兩個(gè)一模一樣的塹堵（圖），再沿一個(gè)塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)和相對(duì)的棱斜解（圖），得到一個(gè)四棱錐，稱為陽(yáng)馬（圖），一個(gè)三棱錐稱為鱉臑（圖）．若鱉臑的體積為，，，則在鱉臑中，平面與平面夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．（2023·遼寧大連·?？寄M預(yù)測(cè)）有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線平面B．三棱錐的體積為定值C．異面直線與所成角的取值范圍是D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為10．（2023春·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谥校┤鐖D①，在矩形中，，為的中點(diǎn)將沿直線翻折至的位置，使得平面平面，如圖②所示，下列說(shuō)法法正確的有（

）A．平面平面B．異面直線與所成角的余弦值為C．點(diǎn)到平面的距離為D．二兩角的正弦值為三、填空題11．（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知平面，，，，，.若，，則與平面所成角的余弦值為_(kāi)_________.12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，書(shū)中將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如下圖，四面體P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，則二面角A-PC-B的余弦值為_(kāi)_________．四、解答題13．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)，.

(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.14．（2023·天津·校聯(lián)考二模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，E為PD中點(diǎn).(1)若.（i）求證：平面PCD；（ii）求直線BE與平面PCD所成角的正弦值；(2)若平面BCE與平面CED夾角的正弦值為，求PA.B能力提升1．（2023春·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)?？计谥校┰谡襟w中，為棱的中點(diǎn)，為直線上的異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則異面直線與所成的角的最小值為，則（

）A． B． C． D．2．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四棱臺(tái)的底面是直角梯形，，，，平面，是側(cè)棱所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，與所成角的余弦值的最大值為（

）

A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方體中，，，，當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，（

）A． B． C． D．4．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，且.

(1)記線段的中點(diǎn)為，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明；(2)求直線與平面所成角的正弦值.C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），且二面角的平面角大小為，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，PA，PB，PC互相垂直，，M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，且直線AM與平面PBC所成角的正切值的最大值是，則三棱錐外接球的體積是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·湖南岳陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）正四棱錐，底面四邊形為邊長(zhǎng)為2的正方形，，其內(nèi)切球?yàn)榍騁，平面過(guò)與棱，分別交于點(diǎn)M，N，且與平面所成二面角為30°，則平面截球G所得的圖形的面積為_(kāi)__________.4．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預(yù)測(cè)）在直角梯形中，，，，直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到如下圖的圓臺(tái)，已知點(diǎn)分別在線段上，二面角的大小為．

(1)若，，，證明：平面；(2)若，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求與平面所成最大角的正切值，并求此時(shí)二面角的余弦值．5．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直角梯形形狀如下，其中，，，．

(1)在線段CD上找出點(diǎn)F，將四邊形沿翻折，形成幾何體．若無(wú)論二面角多大，都能夠使得幾何體為棱臺(tái)，請(qǐng)指出點(diǎn)F的具體位置（無(wú)需給出證明過(guò)程）．(2)在（1）的條件下，若二面角為直二面角，求棱臺(tái)的體積，并求出此時(shí)二面角