金融工程學(xué)：遠(yuǎn)期利率協(xié)議、遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議

九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）遞延期合同期成交日起始日基準(zhǔn)日結(jié)算日到期日rK………………協(xié)議利率r………………參考利率A………………名義本金Tc………………合同期B………………基礎(chǔ)期（英鎊貸款365天；美元貸款360天）九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）在實(shí)際應(yīng)用中，F(xiàn)RA只支付利息差額。在理論研究中，我們需要將FRA視為一個(gè)本金和利息都相互支付的一個(gè)產(chǎn)品。遞延期合同期成交日起始日基準(zhǔn)日結(jié)算日到期日買(mǎi)方本金本金+利息賣(mài)方本金本金+利息九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）即期利率和遠(yuǎn)期利率的概念即期利率是指從當(dāng)前時(shí)刻開(kāi)始計(jì)算并持續(xù)一定期限的投資的利率。注：考慮的投資是中間沒(méi)有支付的投資，這意味著所有的利息和本金在期末支付給投資者。遠(yuǎn)期利率是指由將來(lái)的某一時(shí)刻開(kāi)始的一定期限的利率。如1×4遠(yuǎn)期利率表示一個(gè)月之后開(kāi)始的期限為3個(gè)月的遠(yuǎn)期利率。遠(yuǎn)期利率與即期利率的關(guān)系推導(dǎo)九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）考慮一筆從t時(shí)刻開(kāi)始到T*時(shí)刻結(jié)束的投資策略：方案一：從t時(shí)刻以投資到T時(shí)刻，并賣(mài)出一份遠(yuǎn)期利率協(xié)議，協(xié)議期間為，協(xié)議利率為。方案二：從t時(shí)刻以投資到T*時(shí)刻。從無(wú)套利均衡原理可知：兩種投資方案的最終投資收益應(yīng)相等。遞延期合同期九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）遠(yuǎn)期利率與即期利率的關(guān)系推導(dǎo)（連續(xù)復(fù)利）遞延期合同期這個(gè)公式的含義是：如果我們知道了T-t債券的即期利率，又知道T*-T的即期利率，我們可以求T*-T的遠(yuǎn)期利率。九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）遠(yuǎn)期利率與即期利率的關(guān)系推導(dǎo)（時(shí)間段在一年以?xún)?nèi)）遞延期合同期九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）根據(jù)遠(yuǎn)期價(jià)格的定義，遠(yuǎn)期利率就是使遠(yuǎn)期合約價(jià)值為0的協(xié)議價(jià)格（）。因此理論上的遠(yuǎn)期利率（）應(yīng)等于：九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）遠(yuǎn)期利率協(xié)議的定價(jià)遠(yuǎn)期利率協(xié)議中的符號(hào)：成交日為t時(shí)刻結(jié)算日為T(mén)時(shí)刻到期日為T(mén)*

時(shí)刻協(xié)議期限為（T*-T）名義本金數(shù)額A合同約定的協(xié)議利率rK九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）遠(yuǎn)期利率協(xié)議多方的現(xiàn)金流多方（即借入名義本金的一方）的現(xiàn)金流為：T時(shí)刻：T*時(shí)刻：

如圖所示：rK………………協(xié)議利率遞延期合同期九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）遠(yuǎn)期利率協(xié)議的定價(jià)：現(xiàn)金流現(xiàn)值直接定價(jià)法。多方的兩筆現(xiàn)金流的現(xiàn)值即為遠(yuǎn)期利率協(xié)議多頭的價(jià)值。九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）遞延期合同期為此，我們要先將T*時(shí)刻的現(xiàn)金流用T*-T期限的遠(yuǎn)期利率貼現(xiàn)到T時(shí)刻，再貼現(xiàn)到現(xiàn)在時(shí)刻t，即：其中r已知，rK為合同簽訂，可根據(jù)債券市場(chǎng)得到。九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）例2如果3個(gè)月期即期利率為10％，6個(gè)月期即期利率為10.5％，那么3×6的遠(yuǎn)期利率應(yīng)按如下公式計(jì)算：九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）例3九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）假設(shè)2年期即期利率為10.5％，3年期即期利率為11％，本金為100萬(wàn)美元的2×3遠(yuǎn)期利率協(xié)議的合同利率為11％，請(qǐng)問(wèn)該遠(yuǎn)期利率協(xié)議的價(jià)值和理論上的合同利率等于多少？(連續(xù)復(fù)利）該合約理論上的合同利率為：該合約價(jià)值為：九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）練習(xí)2假設(shè)3個(gè)月期限的即期利率為5％，9個(gè)月期限的即期利率為8％，若你需簽訂一份3×9的遠(yuǎn)期利率協(xié)議，你應(yīng)選擇的合同利率是多少？九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）解九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）上題中，如果利率每個(gè)季度都發(fā)生變化：九、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）用歐洲美元期貨報(bào)價(jià)

計(jì)算3×15遠(yuǎn)期利率協(xié)議價(jià)格遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議雙方在現(xiàn)在時(shí)刻（t時(shí)刻）約定買(mǎi)方在結(jié)算日（T時(shí)刻）按照合同中規(guī)定的結(jié)算日直接遠(yuǎn)期匯率（K）用第二貨幣（本幣）向賣(mài)方買(mǎi)入一定名義金額（A）的原貨幣（外幣），然后在到期日（T*時(shí)刻）再按合同中規(guī)定的到期日直接遠(yuǎn)期匯率（K*）把一定名義金額（在這里假定也為A）的原貨幣出售給賣(mài)方的協(xié)議?，F(xiàn)金流貼現(xiàn)直接定價(jià)法：根據(jù)該協(xié)議，多頭的現(xiàn)金流為：T時(shí)刻：A單位外幣減AK本幣T*時(shí)刻：AK*本幣減A單位外幣這些現(xiàn)金流的現(xiàn)值即為遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議多頭的價(jià)值（f）。十、遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議成交日起始日基準(zhǔn)日結(jié)算日到期日買(mǎi)方

tT*TKK*A單位外幣AK單位本幣A單位外幣AK*單位本幣

tT*外幣要轉(zhuǎn)化為本幣進(jìn)行折現(xiàn)，外幣的即期價(jià)格為S十、遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議S我們來(lái)復(fù)習(xí)一下遠(yuǎn)期外匯的定價(jià)構(gòu)建兩個(gè)資產(chǎn)組合e-rf（T－t）單位外幣f為該資產(chǎn)按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的已知收益率。假設(shè)收益再投資該證券，一年后=e-f（T－t）*ef（T－t）=1遠(yuǎn)期合約多頭1份Ke-r（T－t）現(xiàn)金合約的交割匯率K1單位外幣在到期時(shí)相當(dāng)于K單位本幣復(fù)利S表示以本幣表示的一單位外匯的即期價(jià)格1單位外幣按照rf折現(xiàn)，并轉(zhuǎn)化為本幣。買(mǎi)方TA單位外幣AK單位本幣A單位外幣AK*單位本幣

tT*十、遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議

r

r*本幣

rf外幣r*f外幣的即期價(jià)格為SS表示以本幣表示的一單位外匯的即期價(jià)格，K表示遠(yuǎn)期合約中約定的以本幣表示的一單位外匯的交割價(jià)格。十、遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議由于遠(yuǎn)期匯率就是合約價(jià)值為零的協(xié)議價(jià)格（這里為K和K*），因此T時(shí)刻交割的理論遠(yuǎn)期匯率（F）和T*時(shí)刻交割的理論遠(yuǎn)期匯率（F*）分別為：與我們前面得到的利率平價(jià)關(guān)系一致將公式代回，得到：十、遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議我們用W*表示T時(shí)刻到T*時(shí)刻的遠(yuǎn)期差價(jià)。定義W*=F*-F，表示遠(yuǎn)期差價(jià)。其中，和分別表示T時(shí)間到T*時(shí)刻本幣和外幣的遠(yuǎn)期利率。我們用W表示t時(shí)刻到T時(shí)刻的遠(yuǎn)期差價(jià)，我們可以得到：F為理論遠(yuǎn)期價(jià)格（匯率）（2）交易雙方簽定一份3×6FRA，協(xié)議期限為91天，名義貸款金額為一百萬(wàn)美元，協(xié)議利率6%。在基準(zhǔn)日市場(chǎng)3月期美元利率為5.5%，計(jì)算交割金額，說(shuō)明結(jié)算資金流向。（1）假設(shè)3個(gè)月期和6個(gè)月期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率分別為6%和8%，而一種十年期債券現(xiàn)貨價(jià)