2024-2025學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024-2025學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共24分，每題3分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1．（3分）紋樣作為中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要組成部分，是古人智慧與藝術(shù)的結(jié)晶，反映出不同時(shí)期的風(fēng)俗習(xí)慣，是中心對(duì)稱(chēng)圖形但不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．如意紋 B．冰裂紋 C．盤(pán)長(zhǎng)紋 D．風(fēng)車(chē)紋2．（3分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，∠P＝70°，則∠C為（）A．55° B．70° C．110° D．140°3．（3分）將拋物線y＝x2向右平移1個(gè)單位，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）24．（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中的這兩個(gè)格點(diǎn)三角形的旋轉(zhuǎn)中心是（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D5．（3分）同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，下列說(shuō)法正確的是（）A．兩枚硬幣都正面向上的可能性最大 B．兩枚硬幣都反面向上的可能性最大 C．一枚硬幣正面向上，一枚硬幣反面向上的可能性最大 D．以上三種情況的可能性相同6．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列各式成立的是（）A．a(chǎn)＜0 B．b＜0 C．c＜0 D．b2﹣4ac＜07．（3分）據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的《中華人民共和國(guó)2023年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》，我國(guó)原油產(chǎn)量從2021年到2023年增長(zhǎng)了5.1%，設(shè)這兩年的平均增長(zhǎng)率為x（）A．（1+x）2＝105.1% B．（1+x）2＝5.1% C．（1﹣x）2＝5.1% D．1+x2＝105.1%8．（3分）已知關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0（bc≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程bx+c＝0的根為x3，給出下面三個(gè)結(jié)論：①x1＜x2＜x3；②x1＜x3＜x2；③x3＜x1＜x2．上述結(jié)論中，所有可能正確的結(jié)論的序號(hào)是（）A．① B．② C．①③ D．①②③二、填空題（共24分，每題3分）9．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是．10．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一個(gè)根為x＝0，則a＝．11．（3分）請(qǐng)舉一個(gè)反例說(shuō)明命題“各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”是錯(cuò)誤的：．12．（3分）若代數(shù)式x2+10x+a可以配方為（x+b）2，則a+b＝．13．（3分）某射擊運(yùn)動(dòng)員在相同的條件下的射擊成績(jī)記錄如下：射擊次數(shù)20401002004001000射中9環(huán)以上次數(shù)153378158321801根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次“射中9環(huán)以上”的概率是．14．（3分）如圖，從一張邊長(zhǎng)為2cm的正方形紙片上剪出一個(gè)扇形，將剪下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐cm．15．（3分）埃拉托色尼是一位古希臘的杰出數(shù)學(xué)家，他首創(chuàng)了“地理學(xué)”這個(gè)詞，被尊稱(chēng)為“地理學(xué)之父”．他的名著《對(duì)地球大小的修正》中提出了一種測(cè)量地球周長(zhǎng)的設(shè)想，塞伊尼（點(diǎn)A）和亞歷山大（點(diǎn)B），兩地相距約800km，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，同一時(shí)刻在亞歷山大城豎起一根垂直于地面的木棍，利用影子測(cè)出太陽(yáng)光線與木棍所在直線的夾角α約為7.2°km．16．（3分）在半徑為5的圓中，有兩條弦的長(zhǎng)分別為6和8，這兩條弦的中點(diǎn)的距離x的取值范圍是．三、解答題（共52分，第17-22題，每題5分，第23-24題，每題7分，第25題8分）17．（5分）解方程：x2+2x﹣1＝0．18．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，求m的最小值．19．（5分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象和對(duì)稱(chēng)軸如圖所示．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若方程ax2+bx+c＝k總有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，直接寫(xiě)出k的取值范圍．20．（5分）北京天壇，原名“天地壇”，是中國(guó)現(xiàn)存最大的古代祭祀性建筑群．天壇內(nèi)壇由圜丘、祈谷壇、齋宮三組古建筑群組成（圖1）最下層圓形石壇的直徑，先畫(huà)出直徑再直接測(cè)量不太可能，研討后他們自制了一個(gè)直角曲尺，制定了測(cè)算方案并畫(huà)出了示意圖．直角曲尺的短邊AC長(zhǎng)為0.5m，在測(cè)量時(shí)，用直角曲尺的長(zhǎng)邊AB貼緊圓形石壇的邊緣，此時(shí)長(zhǎng)邊AB與圓形石壇的接觸點(diǎn)記為點(diǎn)D，量得AD的長(zhǎng)為5.2m請(qǐng)根據(jù)以上信息計(jì)算圜丘壇最下層圓形石壇的直徑．21．（5分）甲、乙兩人做游戲，同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，規(guī)則如下：甲勝兩枚骰子點(diǎn)數(shù)相同；乙勝兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為m．是否存在m的值使得甲、乙兩人獲勝的概率相同？請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法說(shuō)明你的結(jié)論．22．（5分）如圖，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，C為OB邊的中點(diǎn)，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1）求證：AB與⊙O相切；（2）若AB＝2，求AD的長(zhǎng)．23．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣b，0）．（1）求a的值和拋物線的對(duì)稱(chēng)軸（用含b的式子表示）；（2）若點(diǎn)A（2，y1），B（b，y2），C（b+1，y3）在該拋物線上，且y3＜y1＜y2，求b的取值范圍．24．（7分）在正方形ABCD中，E為射線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），將線段DE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，作FG⊥CF交射線AB于點(diǎn)G．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，①依題意補(bǔ)全圖形，并證明∠ADE＝∠FEG；②用等式表示線段AE和EG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）已知AB＝1，△EFG能否是等腰三角形？若能，直接寫(xiě)出使△EFG是等腰三角形的AE的長(zhǎng)度，說(shuō)明理由．25．（8分）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的兩點(diǎn)M（x1，y1）和N（x2，y2）給出如下定義：如果|x1﹣x2|≥1，或者|y1﹣y2|≥1，則稱(chēng)點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離很遠(yuǎn)．已知點(diǎn)A（3，0），B（3，3）．（1）在點(diǎn)，D（1，2），中到點(diǎn)A的距離很遠(yuǎn)的是點(diǎn)；（2）若拋物線y＝ax2上的任意一點(diǎn)到A，B兩點(diǎn)的距離都很遠(yuǎn)，則a的取值范圍是；（3）點(diǎn)P在△OAB的內(nèi)部或邊上，點(diǎn)Q在直線上，若點(diǎn)P到O，A，B，直接寫(xiě)出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)區(qū)域的面積的最小值及此時(shí)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

2024-2025學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號(hào)12345678答案DADCCBBC一、選擇題（共24分，每題3分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1．（3分）紋樣作為中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要組成部分，是古人智慧與藝術(shù)的結(jié)晶，反映出不同時(shí)期的風(fēng)俗習(xí)慣，是中心對(duì)稱(chēng)圖形但不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．如意紋 B．冰裂紋 C．盤(pán)長(zhǎng)紋 D．風(fēng)車(chē)紋【解答】解：A是軸對(duì)稱(chēng)圖形，但不是中心對(duì)稱(chēng)圖形；B既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形；C是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形；D不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，但它是中心對(duì)稱(chēng)圖形；故選：D．2．（3分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，∠P＝70°，則∠C為（）A．55° B．70° C．110° D．140°【解答】解：連接OA、OB，∵直線PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∵∠P＝70°，∴∠AOB＝110°，∵C是⊙O上一點(diǎn)，∴∠ACB＝55°．故選：A．3．（3分）將拋物線y＝x2向右平移1個(gè)單位，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2【解答】解：由“左加右減”的原則可知，將拋物線y＝x2向右平移1個(gè)單位，得到的拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2．故選：D．4．（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中的這兩個(gè)格點(diǎn)三角形的旋轉(zhuǎn)中心是（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【解答】解：如圖，兩個(gè)格點(diǎn)三角形分別為△ABP和△QRA、CQ、CB，設(shè)正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，由勾股定理得CA＝CP＝CQ＝＝，CB＝CR＝＝，∵△ABP和△QRA的每一組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)到點(diǎn)C的距離都相等，∴兩個(gè)格點(diǎn)△ABP和△QRA的旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)C，故選：C．5．（3分）同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，下列說(shuō)法正確的是（）A．兩枚硬幣都正面向上的可能性最大 B．兩枚硬幣都反面向上的可能性最大 C．一枚硬幣正面向上，一枚硬幣反面向上的可能性最大 D．以上三種情況的可能性相同【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩正面朝上的占1種，一個(gè)正面朝上，所以?xún)烧娉系母怕剩?，兩反面朝上的概率＝，另一個(gè)背面朝上的概率＝．故選：C．6．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列各式成立的是（）A．a(chǎn)＜0 B．b＜0 C．c＜0 D．b2﹣4ac＜0【解答】解：由函數(shù)圖象，可得函數(shù)開(kāi)口向上，則a＞0，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，則b＜0，圖象與y軸交點(diǎn)在y軸正半軸，則c＞8，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則b2﹣4ac＞3，故選：B．7．（3分）據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的《中華人民共和國(guó)2023年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》，我國(guó)原油產(chǎn)量從2021年到2023年增長(zhǎng)了5.1%，設(shè)這兩年的平均增長(zhǎng)率為x（）A．（1+x）2＝105.1% B．（1+x）2＝5.1% C．（1﹣x）2＝5.1% D．1+x2＝105.1%【解答】解：根據(jù)題意得：（1+x）2＝4.1%．故選：B．8．（3分）已知關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0（bc≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程bx+c＝0的根為x3，給出下面三個(gè)結(jié)論：①x1＜x2＜x3；②x1＜x3＜x2；③x3＜x1＜x2．上述結(jié)論中，所有可能正確的結(jié)論的序號(hào)是（）A．① B．② C．①③ D．①②③【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的方程x2+bx+c＝0（bc≠2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，所以x3+x2＝﹣b，x1x5＝c，則．又因?yàn)殛P(guān)于x的方程bx+c＝0的根為x5，所以，則，所以＝，，則當(dāng)x1＜x7＜0時(shí)，x3＞x2，x3＞x2，所以x6＜x2＜x3；當(dāng)8＜x1＜x2時(shí)，x5＜x1，x3＜x4，所以x3＜x1＜x5；當(dāng)x1＜0＜x6，且|x1|＜|x2|時(shí)，x7＜x1，x3＜x4，所以x3＜x1＜x7；當(dāng)x1＜0＜x8，且|x1|＞|x2|時(shí)，x4＞x1，x3＞x5，所以x1＜x2＜x6．故選：C．二、填空題（共24分，每題3分）9．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，3）．【解答】解：點(diǎn)P（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是：（﹣6．故答案為：（﹣2，3）．10．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一個(gè)根為x＝0，則a＝﹣1．【解答】解：把x＝0代入（a﹣1）x3﹣2x+a2﹣2＝0得a2﹣3＝0，解得a＝±1，∵a﹣6≠0，∴a＝﹣1．故答案為﹣3．11．（3分）請(qǐng)舉一個(gè)反例說(shuō)明命題“各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”是錯(cuò)誤的：矩形．【解答】解：矩形的各角都是90°，即各角相等，則命題“各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”是錯(cuò)誤的，故答案為：矩形．12．（3分）若代數(shù)式x2+10x+a可以配方為（x+b）2，則a+b＝30．【解答】解：x2+10x+a＝x2+10x+25﹣25+a＝（x+8）2﹣25+a，由題意得：﹣25+a＝0，b＝8，∴a＝25，b＝5，∴a+b＝25+5＝30，故答案為：30．13．（3分）某射擊運(yùn)動(dòng)員在相同的條件下的射擊成績(jī)記錄如下：射擊次數(shù)20401002004001000射中9環(huán)以上次數(shù)153378158321801根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次“射中9環(huán)以上”的概率是0.8．【解答】解：15÷20＝0.75，33÷40＝0.825，78÷100＝7.78，158÷200＝0.79，321÷400＝0.8025，801÷1000＝4.801，∴估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次“射中9環(huán)以上”的概率是0.80．故答案為：8.80．14．（3分）如圖，從一張邊長(zhǎng)為2cm的正方形紙片上剪出一個(gè)扇形，將剪下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐cm．【解答】解：∵弧BD的長(zhǎng)為＝π，設(shè)圓錐的底面半徑為rcm，則2πr＝π，∴r＝，∴圓錐的底面圓的半徑為cm．故答案為：．15．（3分）埃拉托色尼是一位古希臘的杰出數(shù)學(xué)家，他首創(chuàng)了“地理學(xué)”這個(gè)詞，被尊稱(chēng)為“地理學(xué)之父”．他的名著《對(duì)地球大小的修正》中提出了一種測(cè)量地球周長(zhǎng)的設(shè)想，塞伊尼（點(diǎn)A）和亞歷山大（點(diǎn)B），兩地相距約800km，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，同一時(shí)刻在亞歷山大城豎起一根垂直于地面的木棍，利用影子測(cè)出太陽(yáng)光線與木棍所在直線的夾角α約為7.2°40000km．【解答】解：由題意得：OA∥BC，∠CBD＝7.2°，，∴∠AOB＝4.2°，設(shè)地球的半徑為rkm，∴＝800，解得：πr＝20000，∴地球的周長(zhǎng)為2πr＝40000km，故答案為：40000．16．（3分）在半徑為5的圓中，有兩條弦的長(zhǎng)分別為6和8，這兩條弦的中點(diǎn)的距離x的取值范圍是1≤x≤7．【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F、OD，AB＝6，則AE＝BE＝AB＝3CD＝4，在Rt△OBE中，OE＝＝，在Rt△ODF中，OF＝＝，∴點(diǎn)E在以O(shè)點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，5為半徑的圓上，∵兩圓上兩點(diǎn)之間的最小距離為4﹣3＝4；兩圓上兩點(diǎn)之間的最大距離為4+3＝3，∴x的取值范圍為1≤x≤7．故答案為：8≤x≤7．三、解答題（共52分，第17-22題，每題5分，第23-24題，每題7分，第25題8分）17．（5分）解方程：x2+2x﹣1＝0．【解答】解：方程變形得：x2+2x＝5，配方得：x2+2x+7＝2，即（x+1）5＝2，開(kāi)方得：x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．18．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，求m的最小值．【解答】（1）證明：∵Δ＝（m﹣2）2﹣4（﹣m）＝m8﹣4m+4﹣m7+4m＝4＞6，∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）∵x＝，∴x1＝，x2＝∵方程的兩個(gè)根都是正數(shù)，∴＞0且，解得m＞4，∵方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，∴和都是正整數(shù)，∴m的最小值為3．19．（5分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象和對(duì)稱(chēng)軸如圖所示．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若方程ax2+bx+c＝k總有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，直接寫(xiě)出k的取值范圍．【解答】解：（1）由圖象可得，y＝ax2+bx+a的圖象過(guò)點(diǎn)（﹣1，4），3），∴，解得：，∴二次函數(shù)解析式為y＝﹣x5+2x+3；（3）由（1）知，二次函數(shù)解析式為y＝﹣x3+2x+3，則y＝﹣（x﹣7）2+4，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（8，4）．∵ax2+cx+c＝k有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，∴y＝ax5+bx+c與y＝k的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于0，∴3＜k＜2．20．（5分）北京天壇，原名“天地壇”，是中國(guó)現(xiàn)存最大的古代祭祀性建筑群．天壇內(nèi)壇由圜丘、祈谷壇、齋宮三組古建筑群組成（圖1）最下層圓形石壇的直徑，先畫(huà)出直徑再直接測(cè)量不太可能，研討后他們自制了一個(gè)直角曲尺，制定了測(cè)算方案并畫(huà)出了示意圖．直角曲尺的短邊AC長(zhǎng)為0.5m，在測(cè)量時(shí)，用直角曲尺的長(zhǎng)邊AB貼緊圓形石壇的邊緣，此時(shí)長(zhǎng)邊AB與圓形石壇的接觸點(diǎn)記為點(diǎn)D，量得AD的長(zhǎng)為5.2m請(qǐng)根據(jù)以上信息計(jì)算圜丘壇最下層圓形石壇的直徑．【解答】解：如圖，連接OD．設(shè)OD＝OC＝rm．∵AB是⊙O的切線，∴OD⊥AB，∵CT⊥OD，AC⊥AB，∴∠CTD＝∠CAD＝∠ADT＝90°，∴四邊形ADTC是矩形，∴CT＝AD＝5.2m，DT＝AC＝6.5m，在Rt△OCT中，OC2＝OT3+CT2，∴r2＝（r﹣6.5）2+7.22，解得r＝27.29．所以圓形石壇的直徑＝27.29×8＝54.58m．21．（5分）甲、乙兩人做游戲，同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，規(guī)則如下：甲勝兩枚骰子點(diǎn)數(shù)相同；乙勝兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為m．是否存在m的值使得甲、乙兩人獲勝的概率相同？請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法說(shuō)明你的結(jié)論．【解答】解：存在．列表得：122455125453728455787455784453788105638910118787101112∵共有36種等可能的結(jié)果，點(diǎn)數(shù)相同的結(jié)果有6種，∴甲勝的概率為，∵兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為7的結(jié)果為6種，∴當(dāng)m＝7時(shí)，乙勝的概率為，即當(dāng)m＝7時(shí)，甲、乙兩人獲勝的概率相同．22．（5分）如圖，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，C為OB邊的中點(diǎn)，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1）求證：AB與⊙O相切；（2）若AB＝2，求AD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∴OA＝OB，∵C為OB邊的中點(diǎn)，∴OC＝，∴OA＝OC，∴OA是⊙O的半徑，∴AB與⊙O相切；（2）解：連接OD，∵BD與⊙O相切于點(diǎn)D，AB與⊙O相切，∴AB＝BD，在△ABO與△DBO中，，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO＝∠ABO＝30°，∴∠ABD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AD＝AB＝2．23．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣b，0）．（1）求a的值和拋物線的對(duì)稱(chēng)軸（用含b的式子表示）；（2）若點(diǎn)A（2，y1），B（b，y2），C（b+1，y3）在該拋物線上，且y3＜y1＜y2，求b的取值范圍．【解答】解：（1）將（﹣b，0）代入y＝ax2+bx，得ab4﹣b2＝0．∵a≠4，∴b≠0．∴a＝1．∴拋物線的解析式為y＝x2+bx，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線．（2）∵點(diǎn)A（2，y3），B（b，y2），C（b+1，y8）在該拋物線上，且y3＜y1＜y7，∴點(diǎn)C到對(duì)稱(chēng)軸的距離小于點(diǎn)A到對(duì)稱(chēng)軸的距離小于點(diǎn)B到對(duì)稱(chēng)軸的距離，即|b+1+|＜|3+|，解得．∴b的取值范圍為．24．（7分）在正方形ABCD中，E為射線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），將線段DE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，作FG⊥CF交射線AB于點(diǎn)G．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，①依題意補(bǔ)全圖形，并證明∠ADE＝∠FEG；②用等式表示線段AE和EG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）已知AB＝1，△EFG能否是等腰三角形？若能，直接寫(xiě)出使△EFG是等腰三角形的AE的長(zhǎng)度，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）①如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∵線段DE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，∴∠DEF＝90°，∴∠AED+∠FEG＝90°，∴∠ADE＝∠FEG；②如圖2，作CH⊥DE，交AD于H，∴∠DRC＝90°，∴∠DCR+∠RDC＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝CD，∴∠ADE+∠CDR＝90°，∴∠DCR＝∠ADE，∴△ADE≌△DCH（ASA），∴CH＝DE，DH＝AE，∵線段DE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，∴DE＝EF，∠DEF＝90°，∴DE⊥EF，CH＝EF，∴CH∥EF，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴∠HEF+∠CFE＝180°，∴∠DEH+∠DEF+∠CFG﹣∠EFG＝180°，∵CF⊥FG，∴∠CFG＝90°，∴∠DEH+90°+90°﹣∠EFG＝180°，∴∠DEH＝∠EFG，由（1）知，∠ADE＝∠FEG，∴△DEH≌△EFG（ASA），∴DH＝EG，∴AE＝EG；（2）如圖8，當(dāng)點(diǎn)E在A