工程力學(xué) 課件 8壓桿穩(wěn)定

8.4臨界應(yīng)力與柔度臨界應(yīng)力總圖8.5壓桿的穩(wěn)定計(jì)算8.1穩(wěn)定的概念8.2兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷8.3不同支承條件下壓桿的臨界載荷第八章壓桿穩(wěn)定

問題：除強(qiáng)度、剛度失效外，還有

沒有其它形式的失效？研究對象：受壓桿或柱？FF強(qiáng)度：s>sys

屈服s>sb

破壞8.1穩(wěn)定的概念

穩(wěn)定平衡GG不穩(wěn)定平衡aF=Wsina不穩(wěn)定平衡;max剛體WFNF外界的微小干擾消除后，若能恢復(fù)原來的平衡狀態(tài)，則平衡是穩(wěn)定的；否則，平衡是不穩(wěn)定。護(hù)住坡腳，穩(wěn)定平衡。風(fēng)、雨8.1穩(wěn)定的概念穩(wěn)定臨界失穩(wěn)變形體F<FcrF=FcrF>Fcr越來越彎壓桿：擾動(dòng)消除后，桿軸線恢復(fù)直線。

---穩(wěn)定擾動(dòng)消除后，在微彎狀態(tài)下平衡。

---臨界平衡狀態(tài)擾動(dòng)消除后，桿越來越彎。

---失穩(wěn)任務(wù)：研究臨界平衡狀態(tài)，確定保持壓桿穩(wěn)定的臨界載荷Fcr。失穩(wěn)是除強(qiáng)度、剛度外的又一種失效形式?；钊茥U、氣門挺桿、結(jié)構(gòu)中的壓桿、立柱等細(xì)長壓桿設(shè)計(jì)必需考慮穩(wěn)定。拉桿沒有失穩(wěn)問題。

壓桿工程實(shí)例壓桿：受軸向壓力的細(xì)長桿。

壓桿工程實(shí)例腳手架中的壓桿

壓桿的穩(wěn)定性試驗(yàn)8.2兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷2.物理方程：---線彈性情況虎克定律：s=Ee

討論二端鉸支壓桿的臨界平衡狀態(tài)，建立力學(xué)分析模型。1.力的平衡：任一截面的彎矩：M(x)=-Fy(x)FFyxoy(x)xl幾何方程：彈性小變形情況撓度：dy/dx=M(x)/EI22=-Fy(x)/EII是截面對中性軸的慣性矩=-ky2令：k2=F/EI此二階齊次常微分方程的通解為：y=Asinkx+Bcoskx積分常數(shù)A、B由邊界條件確定。注意：若A=0，桿撓度y(x)≡0，與微彎平衡不符。1.x=0處，y=0邊界條件任務(wù)：求解方程

d2y/dx2+k2y=0代入通解，有：B=02.x=l處，y=0由通解有：Asinkl=0故必有：sinkl=0FFyxoy(x)

xl若取n=0，則有F=0，桿上無載荷，與微彎平衡不符穩(wěn)定臨界狀態(tài)：sinkl=0k=F/EI求F2sinkl=0kl=np

F=n

pEI/l(n=0,1,…n)22取n=1，則有F=pEI/l，是發(fā)生微彎平衡的最小值22F

與桿長l成反比，桿長的影響很大；與桿的抗彎剛度EI成正比，細(xì)桿EI小，更易發(fā)生失穩(wěn)。2cr細(xì)長壓桿易失穩(wěn)！8.2兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷歐拉公式的適用性限制：彈性小變形---小撓度的壓桿彈性穩(wěn)定問題。桿為均勻直桿，無初始曲率。壓力作用線與桿軸線完全重合，無偏心。實(shí)驗(yàn)表明對小偏心、小初曲率基本適用。二端鉸支壓桿穩(wěn)定臨界載荷的歐拉公式：22lEIFcrp=解：1)考慮穩(wěn)定:由歐拉公式

，臨界載荷為：例1.二端鉸支圓截面直桿直徑d=20mm，長

l=800mm，E=200GPa，sys=240MPa，試求其臨界載荷和屈服載荷。Fcr<<FS，故隨F增大，桿先發(fā)生失穩(wěn)。kNdlEFcr2.24800642010200642433422=

=·=ppp2)考慮屈服：屈服載荷為：kNAFysyss3.75424020422=

===pspds例2:

矩形截面木桿，b=0.12m，h=0.2m，l=8m，二端球鉸支承。已知E=10GPa，試求桿的臨界載荷。yzxohbFF解：臨界載荷為：假定在xz平面內(nèi)發(fā)生微彎，I=Iy=hb3/12，有：

Fcr=min{Fxy,Fxz}=44.4kN，失穩(wěn)發(fā)生在I小的平面。I？22lEIFcrp=對于圓截面，各直徑軸的I相同。假定在xy平面內(nèi)發(fā)生微彎，I=Iz=bh3/12，有：kNlEIFzxy4.1238122.012.01010239222=

==ppkNlEIFyxz4.4481212.02.01010239222=

==pp8.3不同支承條件下壓桿的臨界載荷一、二端固定的壓桿受力分析：水平方向：反力

FAx=F

Fy

xA

y(x)

xlB

FAx固定端反力偶：MA=MB=M(對稱性)垂直方向：設(shè)有反力，但由平衡方程SFy=FAy+FBy=0必有FAy=FBy=0則由對稱性必有FAy=FBy；力的平衡：任一截面的彎矩：

FMFM(x)y(x)M(x)=M-F

y(x)MMFAyFBy在彈性（s=Ee）小變形情況下，幾何方程由撓曲線近似微分方程描述，即有：此二階常微分方程的通解為：

y=Asinkx+Bcoskx+M/F還有：dy/dx=q=Akcoskx-Bksinkx撓度方程轉(zhuǎn)角方程邊界條件1.x=0處，y=0B+M/F=0---(1)2.x=0處，q=0Ak=0---(2)3.x=l處，y=0Asinkl+Bcoskl+M/F=0---(3)4.x=l處，q=0Akcoskl-Bksinkl=0---(4)EIFyMEIxMdxyd-==)(22令：k2=F/EIEIMykdxyd=+222B+M/F=0---(1)Ak=0---(2)Asinkl+Bcoskl+M/F=0---(3)Akcoskl-Bksinkl=0---(4)

M≠0，故由(1)可知，B=-M/F≠0；若M=0，則同鉸支

k2=F/EI≠0，故由(2)可知，A=0；(3)式為，Bcoskl+M/F=0M/F=-BB≠0coskl-1=0由(4)必有，sinkl=0；

A=0，B≠0，k≠0對于二端固定的壓桿，有：Fy

xA

y(x)

xlB

FAxMMk=?coskl-1=0sinkl=0kl=np

coskl-1=0kl=2np

同時(shí)成立必有：kl=2np

n=0,1,…nsinkl=0對于二端固定的壓桿，有：k=?Fy

xA

y(x)

xlB

FAxMM

n

0。n=1時(shí)，kl=2p，有k=2p/l，代入k2=F/EI，給出二端固定壓桿的最小臨界載荷為：224lEIFcrp=二端鉸支22lEIFcrp=二端鉸支二端固定一端固定一端自由一端固定一端鉸支AlFMyFxByd不同支承條件下壓桿的臨界載荷Fy

xA

lB

FMMFFyxAlBFxAlBMy

FAyxyFAxFByM(x)=-FyFcr=p

2EI/l2M(x)=M-FyFcr=p

2EI/(0.5l)2M(x)=F(d-y)Fcr=p

2EI/(2l)2M=FBx(l-x)-FyFcr=p

2EI/(0.7l)2二、歐拉公式的一般形式二端鉸支二端固定一端固定一端自由一端固定一端鉸支m=1m=0.5m=2m=0.722lEIFcrp=2(0.7l)2EIFcrp=2(0.5l)2EIFcrp=2

(2l)2EIFcrp=一般形式2

(ml)2EIFcrp=ml---壓桿的相當(dāng)長度m---相當(dāng)長度系數(shù)二端固定壓桿m=0.5一端固定、一端自由壓桿m=2前者的臨界載荷為后者的16倍。約束越強(qiáng)，m

，F(xiàn)cr

，桿越穩(wěn)定。壓桿失穩(wěn)是除強(qiáng)度、剛度外的又一種失效形式。拉桿沒有失穩(wěn)問題。小結(jié):二端鉸支：m=1；二端固定

m=0.5

一端固定、一端自由；m=2一端固定、一端鉸支；m=0.7歐拉公式:2

(ml)2EIFcrp=ml---壓桿的相當(dāng)長度m---相當(dāng)長度系數(shù)m越大，I越小，桿越長，越易失穩(wěn)。歐拉公式不適用于短桿（強(qiáng)度控制破壞）。8.4臨界應(yīng)力與柔度臨界應(yīng)力總圖線彈性小變形一、臨界應(yīng)力與桿的柔度歐拉公式22(ml)EIFcrp=壓桿截面應(yīng)力

s<sp由歐拉公式，壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力為：令i=I/A，只與截面幾何相關(guān)，稱為截面慣性半徑。2l=ml/i，稱為桿的柔度或細(xì)長比。由l可將桿分類。22)(lAEIAFcrcrmps==則臨界應(yīng)力可寫為：2222)/(lpmpsEilEcr==穩(wěn)定臨界應(yīng)力二、臨界應(yīng)力總圖線彈性失穩(wěn)。柔度：l=ml/i；截面慣性半徑:

i=(I/A)1/2o

scrAsuscr=suscr=p2E/l2中柔度桿spBCscr=a-bl大柔度桿

pD小柔度桿

ss=a-bll

l

lspcrs=pE/ll

lcr22p失穩(wěn)a,b材料參數(shù)，表12-2非線彈性失穩(wěn)。2222)/(lpmpsEilEcr==應(yīng)用歐拉公式，要求：pcrEslps￡=22ppElspl=3強(qiáng)度l

ls脆性延性?íì===bysucrssss壓桿臨界應(yīng)力計(jì)算o

scrAsuscr=suscr=p2E/l2中柔度桿spBCscr=a-bl大柔度桿

pD小柔度桿

ss=pE/ll

lcr22p大柔度桿：s=a-bll

l

lspcr中柔度桿：已知材料求l、lpsl=(a-su)/bsppEspl=計(jì)算壓桿柔度l=ml/i

由臨界應(yīng)力總圖判定壓桿類型，計(jì)算臨界應(yīng)力。方法小柔度桿：l

ls脆性延性?íì===bysucrssss例3：低碳鋼壓桿直徑d=40mm，二端鉸支。s=242MPa，E=200GPa，求桿長為L=1.5、0.8、0.5m時(shí)的臨界應(yīng)力和臨界載荷。ys解：1）查表確定l、l查表，對低碳鋼有：l=100，l=60，a=310，b=1.14sspp

2）計(jì)算桿的柔度l:

l=ml/i

二端鉸支壓桿：m=1；慣性半徑：i=(I/A)=[(

d/64)/(

d/4)]=d/4=10mm1/21/242桿1的柔度為：l=mL/i=1500/10=15011桿2的柔度為：l=mL/i=800/10=8022桿3的柔度為：l=mL/i=500/10=5033大柔度桿中柔度桿小柔度桿3）判定壓桿的類型，計(jì)算臨界應(yīng)力和臨界載荷:L=1.5m,l=150>l=100，大柔度桿由歐拉公式：

11P150MPaEcr73.8710200

223221===plpsF=sA=87.73

40

/4=110244(N)=110(kN)cr1cr12L=0.8m,l=60<l=80<l=100，中柔度桿，有：

22Pss=a-bl=310-1.14

80=218.8MPacr2F=sA=218.8

40

/4=274952N=275kNcr2cr22L=0.5m,l=50<l=60，小柔度桿，有：

33s

s=s=242MPayscr3F=sA=242

40

/4=304106N=304kNcr3cr32壓桿的長度對臨界載荷有顯著影響！8.5壓桿的穩(wěn)定設(shè)計(jì)計(jì)算實(shí)際使用壓力應(yīng)小于許用壓力。失穩(wěn)判據(jù)

F

Fcr穩(wěn)定性條件：][FnFFstcr=￡載荷偏心約束簡化幾何及計(jì)算材料分散性桿的初曲率誤差許用壓力

[F]=Fcr/nst穩(wěn)定安全系數(shù)

nst=Fcr/[F]stcrnFFn3=實(shí)際工作穩(wěn)定安全系數(shù)應(yīng)大于許用穩(wěn)定安全系數(shù)。n

一般大于強(qiáng)度安全系數(shù)。st與強(qiáng)度條件一樣，穩(wěn)定性條件可用于穩(wěn)定性計(jì)算，即：穩(wěn)定性校核、桿的幾何尺寸設(shè)計(jì)確定許用載荷、選材料等等。例4

千斤頂如圖。絲桿由優(yōu)質(zhì)碳鋼制成，內(nèi)徑d=40mm，最大頂升高度L=350mm，最大起重量F=80kN。若規(guī)定n=4，試校核其穩(wěn)定性。st解：1）由材料性能確定l

、l

查表12-2，對于優(yōu)質(zhì)碳鋼，有：

l=100，l=60，a=460，b=2.57sspp2）計(jì)算桿的柔度絲桿下端固定、上端自由，m=2；i=d/4

故絲桿的柔度為：l=mL/i=2

350/10=70FL3）判斷桿的類型，計(jì)算臨界載荷

l=60<l=70<l=100，是中柔度桿。有：

spF=sA=280.1

(40p/4)=351.98kNcrcr2s=a-bl=460-2.57

70=280.1MPacr

4）穩(wěn)定性校核

n=F/F=353.24/80=4.415>n=4

可見，絲桿是穩(wěn)定的。stcr解：1）確定lp、ls

查表，對鉻錳鋼有：

a=980，b=5.29，lp=55

2）計(jì)算桿的柔度活塞桿B端固定、C端鉸支，m=0.7；i=d/4=9mm

ABCFLFl=(a-s)/b=(980-780)/5.29=37.8sys故桿的柔度為：l=mL/i=0.71000/9=77.8l=77.8>lp，是大柔度桿例5鉻錳鋼制活塞桿BC，d=36mm，sys=780MPa,E=210GPa，最大外伸長度L=1m，若規(guī)定的許用穩(wěn)定安全系數(shù)為nst=6，試確定其最大許用壓力Fmax。3）計(jì)算臨界載荷

l=77.8>lp，大柔度桿F=sA=342.4

(40p/4)=348.52kNcrcr22s=pE/l=21010p/77.8=342.4MPacr2322

4）確定最大許用載荷F

Fmax[F]=Fcr/nst=348.52/6=58.09kNABCFLF例6鉻錳鋼制活塞桿BC，d=36mm，sys=780MPa,E=210GPa，最大外伸長度L=1m，若規(guī)定的許用穩(wěn)定安全系數(shù)為nst=6，試確定其最大許用壓力Fmax。討論：提高壓桿穩(wěn)定性的措施1）選擇合理的截面形狀目的：提高截面慣性矩I

歐拉公式:2

(ml)2EIFcrp=增大I減小m

l2）改善桿端約束目的：提高相當(dāng)長度系數(shù)m

一端固定一端自由

m=2

一端固定一端鉸支

m