北京市石景山區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué) 含答案

石景山區(qū)2024—2025學(xué)年第一學(xué)期高三期末試卷數(shù)學(xué)本試卷共7頁，滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘。請務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡交回。第一部分（選擇題共40分）選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，，則等于（A） （B）（C） （D）（2）若復(fù)數(shù)滿足，則（A） （B）（C） （D）（3）已知，且，則下列不等關(guān)系中正確的是（A） （B）（C） （D）（4）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是增函數(shù)的是（A） （B）（C） （D）（5）圓心在軸上的圓與直線相切于點(diǎn)，則圓心的縱坐標(biāo)為（A）1 （B） （C）2 （D）3（6）在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是7，則（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（7）某食品的保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲藏溫度（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）．若該食品在的保鮮時(shí)間是小時(shí)，在的保鮮時(shí)間是小時(shí)，則該食品在的保鮮時(shí)間是（A）小時(shí) （B）小時(shí) （C）小時(shí) （D）小時(shí)（8）“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（9）我國有著豐富悠久的印章文化，印章是簽署文件時(shí)代表身份的信物，因其獨(dú)特的文化內(nèi)涵，有時(shí)作為裝飾物來使用．圖1是一個(gè)金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)可以看作是一個(gè)正四棱柱和一個(gè)正四棱錐組成的幾何體，如圖2所示．已知正四棱柱和正四棱錐的底面邊長為4，體積之比為，且該幾何體的頂點(diǎn)在球的表面上，則球的半徑為（A）2 （B）3 （C）4 （D）5（10）已知集合，若存在，使得，則集合的個(gè)數(shù)為（A） （B）（C） （D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為．（12）向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若向量與共線，則實(shí)數(shù)．（13）設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于．（14）已知函數(shù).若，則；若對任意的正數(shù)，方程都恰有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.（15）首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在和，使得是等比數(shù)列；②若且是奇數(shù)，則為奇數(shù)；③若且，則存在使得；④若且，則是遞減數(shù)列．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：的周長為；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（17）（本小題13分）某城市的甲、乙兩個(gè)區(qū)，甲區(qū)有500個(gè)居民小區(qū)，乙區(qū)有300個(gè)居民小區(qū)．為了解甲、乙兩個(gè)區(qū)在綠化與垃圾分類兩方面的達(dá)標(biāo)情況，進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：（單位：個(gè)）綠化達(dá)標(biāo)垃圾分類達(dá)標(biāo)綠化達(dá)標(biāo)且垃圾分類達(dá)標(biāo)甲區(qū)300250200乙區(qū)180150120（Ⅰ）從甲乙兩區(qū)的所有居民小區(qū)中隨機(jī)抽取一個(gè)居民小區(qū)，求抽到的是“甲區(qū)且綠化達(dá)標(biāo)”的概率；（Ⅱ）從甲區(qū)和乙區(qū)中各隨機(jī)抽取一個(gè)居民小區(qū)，設(shè)表示這兩個(gè)居民小區(qū)中“垃圾分類達(dá)標(biāo)”的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）城市管理部門計(jì)劃按照分層抽樣從甲、乙兩區(qū)抽取40個(gè)居民小區(qū)進(jìn)行評比，在抽取的40個(gè)居民小區(qū)中，設(shè)為“綠化達(dá)標(biāo)”居民小區(qū)的數(shù)量，為“綠化達(dá)標(biāo)且垃圾分類達(dá)標(biāo)”居民小區(qū)的數(shù)量，試判斷方差的大?。ńY(jié)論不要求證明）（18）（本小題14分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是邊長為的正方形，是的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度．（19）（本小題15分）已知橢圓的離心率為，且橢圓的左、右焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過橢圓的上頂點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，過點(diǎn)作與垂直的直線，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若，求的值．（20）（本小題15分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.（21）（本小題15分）項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱為一個(gè)滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列：①；②．（Ⅰ）判斷數(shù)列是否為一個(gè)滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的5階數(shù)列？是否為一個(gè)滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的5階數(shù)列？說明理由；（Ⅱ）若數(shù)列為一個(gè)滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列，證明：的最小值為；（Ⅲ）若數(shù)列為一個(gè)滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列，求的最小值．（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）石景山區(qū)2024—2025學(xué)年第一學(xué)期高三期末數(shù)學(xué)試卷答案及評分參考一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A （2）A （3）B （4）C （5）D（6）D （7）D （8）C （9）B （10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11） （12）（13） （14），（15）①②④三、解答題（共6小題，共85分）（16）(本小題滿分13分)解：（Ⅰ）在中，由正弦定理得，．由知，且，即，得，因?yàn)?，所以．…?分 （Ⅱ）選①據(jù)題意，，由余弦定理得，整理得，．……13分選②在中，因?yàn)?，所以，由正弦定理得，，即，解得；因?yàn)椋?，．…?3分選③根據(jù)余弦定理，整理得，所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，三角形不唯一確定．（17）(本小題滿分13分)解：（Ⅰ）設(shè)事件“抽到的是甲區(qū)且綠化達(dá)標(biāo)”，因?yàn)樵摮鞘性圏c(diǎn)區(qū)的所有居民小區(qū)共有個(gè)，甲區(qū)且綠化達(dá)標(biāo)的居民小區(qū)共有個(gè)，，所以，抽到的是“甲區(qū)且綠化達(dá)標(biāo)”的概率為．………4分（Ⅱ）的所有取值集合為，依題意，從甲區(qū)中隨機(jī)抽取一個(gè)居民小區(qū)，它是“垃圾分類達(dá)標(biāo)”小區(qū)的概率為，從乙區(qū)中隨機(jī)抽取一個(gè)居民小區(qū)，它是“垃圾分類達(dá)標(biāo)”小區(qū)的概率為，，，，所以的分布列為：數(shù)學(xué)期望為：．………11分（Ⅲ）．………13分18(本小題滿分14分)解：（Ⅰ）證明：連接，設(shè)，連接，因?yàn)樵谒睦忮F中，四邊形是正方形，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)所以在中，，又,所以．………4分（Ⅱ）法1：，，所以．因?yàn)樗倪呅问钦叫危?，，因?yàn)?，，所以．?：因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以．又四邊形為正方形，，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，由題意得，，，，，所以，，因?yàn)?，所以．……?分（Ⅲ）因?yàn)槠矫妫矫?，平面，所以．因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，平面的法向量為，則，所以，即令，則，，，設(shè)直線與平面所成的角為，解得，或，所以或．………14分（19）(本小題滿分15分)解：（Ⅰ）由題意知，，．又，解得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．………5分（Ⅱ）因?yàn)?，由題意可知，直線的斜率存在，且不為．所以直線的方程為．聯(lián)立消去，得，解得或，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)不同，所以，因?yàn)橹本€的方程為．因?yàn)樗灾本€．聯(lián)立，解得所以．因?yàn)榇怪庇谥本€所以．在直角和直角中，所以即．因?yàn)榇氲?，化簡得解得因?yàn)椋缘闹禐椋?5分（20）(本小題滿分15分)（Ⅰ）時(shí)，，.又，則.所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；………4分（Ⅱ）的定義域?yàn)?，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，此時(shí)的增區(qū)間為，無減區(qū)間.當(dāng)時(shí)，解得，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減；時(shí)，在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為.………10分（Ⅲ）因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以方程，即在上有兩個(gè)不等實(shí)根.所以，解得.則要證不等式即證，即，不妨設(shè)，即證，令，，則，所以在上遞增，則，所以成立，所以.………15分（21）(本小題滿分15分)（Ⅰ）不是一個(gè)滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的5階數(shù)列，因?yàn)椋且粋€(gè)滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的5階數(shù)列，因?yàn)?且，滿足兩個(gè)性質(zhì)…4分（Ⅱ）因?yàn)閿?shù)列為一個(gè)滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的階數(shù)列，所以，即．又，所以，同時(shí)，所以解得.又?jǐn)?shù)列是一個(gè)滿足“絕對值關(guān)聯(lián)”的6階數(shù)列，所以的最小值為.