《函數(shù)的增減性》課件

函數(shù)的增減性探索函數(shù)變化規(guī)律，掌握判斷函數(shù)增減性的方法，為后續(xù)學習函數(shù)性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。學習目標1理解函數(shù)增減性的定義掌握判斷函數(shù)增減性的方法。2認識單調(diào)遞增和單調(diào)遞減函數(shù)的性質(zhì)了解利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的增減性。3掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷極值點理解函數(shù)增減性與極值點的關(guān)系。函數(shù)的基本概念回顧定義域函數(shù)定義域是指所有允許輸入的自變量的集合。值域函數(shù)值域是指所有可能的函數(shù)值的集合。函數(shù)關(guān)系式函數(shù)關(guān)系式描述了自變量和因變量之間的關(guān)系。函數(shù)的增減性定義單調(diào)遞增函數(shù)如果對于區(qū)間I上的任意兩個自變量x1和x2，當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)，則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞增函數(shù)。單調(diào)遞減函數(shù)如果對于區(qū)間I上的任意兩個自變量x1和x2，當x1<x2時，總有f(x1)>f(x2)，則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減函數(shù)。函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)遞增當自變量增大時，函數(shù)值也隨之增大。單調(diào)遞減當自變量增大時，函數(shù)值隨之減小。判斷函數(shù)增減性的方法1定義法直接根據(jù)定義判斷2圖像法通過函數(shù)圖像判斷3導(dǎo)數(shù)法利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷單調(diào)遞增和單調(diào)遞減函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)遞增若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，則當x1單調(diào)遞減若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減，則當x1f(x2)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的增減性導(dǎo)數(shù)的符號導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的增減性密切相關(guān)。單調(diào)性當導(dǎo)數(shù)大于零時，函數(shù)單調(diào)遞增；當導(dǎo)數(shù)小于零時，函數(shù)單調(diào)遞減。極值導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點，稱為函數(shù)的駐點或臨界點，它們是函數(shù)的極值點候選者。利用一階導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性1導(dǎo)數(shù)為正函數(shù)單調(diào)遞增2導(dǎo)數(shù)為負函數(shù)單調(diào)遞減3導(dǎo)數(shù)為零函數(shù)可能存在極值點一階導(dǎo)數(shù)的符號可以幫助我們快速判斷函數(shù)在某個區(qū)間的單調(diào)性。當導(dǎo)數(shù)為正時，函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞增；當導(dǎo)數(shù)為負時，函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞減。若導(dǎo)數(shù)為零，則需要進一步分析以判斷函數(shù)是否在該點存在極值點。利用二階導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性1凹函數(shù)當函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在某個區(qū)間上恒大于零時，該函數(shù)在這個區(qū)間上為凹函數(shù)，即圖形向上彎曲。2凸函數(shù)當函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在某個區(qū)間上恒小于零時，該函數(shù)在這個區(qū)間上為凸函數(shù)，即圖形向下彎曲。3拐點當函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在某個點處等于零或不存在，且該點的左右兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)符號不同時，則該點稱為函數(shù)的拐點。利用導(dǎo)數(shù)判斷極值點1極值點函數(shù)在定義域內(nèi)，當自變量在某一點附近取值時，函數(shù)值比該點處的函數(shù)值都大（或?。?，則稱該點為函數(shù)的極大值點（或極小值點）2一階導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)為零或不存在，則該點可能是函數(shù)的極值點3二階導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)在某一點的二階導(dǎo)數(shù)大于零（或小于零），則該點為函數(shù)的極小值點（或極大值點）單調(diào)區(qū)間上的極值問題1單調(diào)區(qū)間函數(shù)的增減性決定了其在特定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。2極值點在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)可能存在極值點，即最大值或最小值。3極值問題利用函數(shù)的單調(diào)性，可以求解特定區(qū)間內(nèi)的極值。函數(shù)增減性與極值點的關(guān)系極值點函數(shù)的極值點是指函數(shù)取到極大值或極小值的點。增減性函數(shù)的增減性是指函數(shù)在某個區(qū)間上是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減。關(guān)系函數(shù)在極值點附近會發(fā)生增減性的變化，從遞增變?yōu)檫f減，或從遞減變?yōu)檫f增。例題演示1求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+3x的單調(diào)區(qū)間和極值點。首先，求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，得到f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2。當x≠1時，f'(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增。當x=1時，f'(x)=0，所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值，極小值為f(1)=1。例題演示2已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+3x，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值。首先，求f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2令f'(x)=0，解得x=1當x<1時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當x>1時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1)∪(1,+∞)因為f(x)在x=1處取得極值，所以f(x)的極值為f(1)=1例題演示3設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+3x-1求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值解：f'(x)=3x^2-6x+3令f'(x)=0，解得x=1當x<1時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增當x>1時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞增函數(shù)f(x)在x=1處取得極值極值為f(1)=0思考題1函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,則函數(shù)y=f(x+1)的單調(diào)性如何?為什么?思考題2如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的增減性？在給定區(qū)間上，如果函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)恒大于零，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增。如果函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)恒小于零，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減。通過判斷函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號，可以確定函數(shù)的增減性。思考題3假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增，那么f(x)在區(qū)間(a,b)上的圖像是什么樣的？思考題4已知函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$上單調(diào)遞增，且$f(a)<0$,$f(b)>0$，試證明：函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$上至少有一個零點。思考題5如何利用函數(shù)的增減性解決實際問題？函數(shù)增減性的應(yīng)用股票價格通過函數(shù)的增減性，可以分析股票價格的趨勢，找到最佳的買入和賣出時機。產(chǎn)品銷量利用函數(shù)的增減性可以預(yù)測產(chǎn)品銷量，幫助企業(yè)制定生產(chǎn)計劃和營銷策略。應(yīng)用案例1函數(shù)增減性在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，例如在經(jīng)濟學中，我們可以用函數(shù)的增減性來分析商品的價格變化趨勢。如果商品的價格隨著需求量的增加而下降，那么該商品的價格函數(shù)就是單調(diào)遞減的。應(yīng)用案例2汽車速度利用函數(shù)的增減性，我們可以分析汽車的速度變化趨勢，并根據(jù)速度變化來判斷汽車的加速和減速情況。股票價格通過函數(shù)的增減性可以分析股票價格的波動情況，從而做出更明智的投資決策。應(yīng)用案例3在經(jīng)濟學中，函數(shù)的增減性可以用來分析商品的需求量和價格之間的關(guān)系。例如，如果一個商品的需求量隨著價格的下降而增加，那么該商品的需求函數(shù)就是一個單調(diào)遞增函數(shù)。反之，如果一個商品的需求量隨著價格的上升而減少，那么該商品的需求函數(shù)就是一個單調(diào)遞減函數(shù)。利用函數(shù)的增減性，我們可以預(yù)測商品價格的變化對需求量的影響，從而制定有效的營銷策略。重點總結(jié)函數(shù)增減性判斷函數(shù)的增減性是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)單調(diào)性單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它描述了函數(shù)在定義域內(nèi)變化趨勢導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是判斷函數(shù)增減性的重要工具，可以幫助我們快速找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間思考與練習1練習1函數(shù)f(x)=2x^2+1在區(qū)間[-1,1]上的單調(diào)性如何？2練習2求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值點。3練習3已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，求a,b,c的取值范圍。4練習4已知函數(shù)f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1處取得極值，求a,b,c的值。學習反饋回顧本節(jié)課內(nèi)容，你還有什么問題嗎？哪些